В момент вращения атома этот момент будет огромным и значимым, по сравнению с которым все происходящее покажется всего лишь лучистой вспышкой через тысячелетия. Как красиво!
В нашей памяти есть лишь прошлое и будущее, просто воспоминания и информация о прошлом, разделенные временным интервалом. В центре сознания находится фрактал – сигнал по которому мы соображаем, вспоминаем, ощущаем и думаем. Вслед за фракталом движется бесчисленное облако аксонов.
Посредством конуса можно будет осуществить переброску сознания во многие эпохи. Например, во времена, когда наш разум был молод, и мир в нашем сознании не был представлен таким образом.
В нашей памяти есть лишь прошлое и будущее, просто воспоминания и информация о прошлом, разделенные временным интервалом. В центре сознания находится фрактал – сигнал по которому мы соображаем, вспоминаем, ощущаем и думаем. Вслед за фракталом движется бесчисленное облако аксонов.
Посредством конуса можно будет осуществить переброску сознания во многие эпохи. Например, во времена, когда наш разум был молод, и мир в нашем сознании не был представлен таким образом.
Дойдя до этого момента, и включив эту центрифугу, мы успеем вспомнить все что с нами происходило, за год или за два. Потом ум расплавится, превратившись в нечто вроде небольшого шара и над ним появится его собственная окончательная форма.
Главное то, что в нашем мозге есть центры, где задействованы органы чувств, и именно там сформирована реальность. А вот в центре Вселенной, где формируется мир, располагается… Ну как это вам объяснить?
Главное то, что в нашем мозге есть центры, где задействованы органы чувств, и именно там сформирована реальность. А вот в центре Вселенной, где формируется мир, располагается… Ну как это вам объяснить?
Растаяв в потоке гравитационных полей, конус сначала станет сверкающим серебряным столбом, а потом достигнет своей стремительной и конечной фазы и превратится в маленькую точку. Когда это произойдет, я по сигналу включим магнитосистему и все время повторится снова – как было тогда.
Ты как из голубого автобуса сумел вылезти, веселый проказник?
В античном мире оп был бы гением. А так обычный шизофреник.
Снежинка Коха. Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».
Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.
Основные свойства кривой Коха
1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».
2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3)n–1. Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.
3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно — снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена.
Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.
Основные свойства кривой Коха
1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».
2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3)n–1. Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.
3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно — снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена.
bump
Фрактал "Звезда Дюрера" или "Пятиугольник Дюрера" был назван в честь немецкого живописца и графика Альбрехта Дюрера. Именно он в 1525 изобретает правило построения правильного пятиугольника.
Пример фрактала правильного пятиугольника:
В основу фрактала положен так называемый "расширенный" пятиугольник.
"Звезда Дюрера" выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе.
Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей, в которых в точности равно так называемой "золотой пропорции" (1.618033989 или 1/(2*cos72)) в качестве генератора.
Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.
Ниже изображено как построить "Звезду Дюрера" посредством множественного "вырезания" треугольников.
Пример фрактала правильного пятиугольника:
В основу фрактала положен так называемый "расширенный" пятиугольник.
"Звезда Дюрера" выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе.
Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей, в которых в точности равно так называемой "золотой пропорции" (1.618033989 или 1/(2*cos72)) в качестве генератора.
Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.
Ниже изображено как построить "Звезду Дюрера" посредством множественного "вырезания" треугольников.
Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага, а на флэш-демонстрации вы можете потренироваться и получить шаги вплоть до десятого.
Выкидывание центральных треугольников — не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.
Следующий способ получить треугольник Серпинского еще больше похож на обычную схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломаную из трех звеньев (она сама получается в первой итерации). Откладывать эту ломаную нужно попеременно то вправо, то влево. Видно, что уже восьмая итерация очень близка к фракталу, и чем дальше, тем ближе будет подбираться к нему линия.
Но и на этом не всё. Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.
Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольник A1A2A3. Отмечают любую начальную точку B0. Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B1 — середину отрезка с концами в этой вершине и в B0 (на рисунке справа случайно выбралась вершина A1). То же самое повторяют с точкой B1, чтобы получить B2. Потом получают точки B3, B4, и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности Bi, то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского. Ниже изображено, что получается, когда отмечено 100, 500 и 2500 точек.
Фрактальная размерность log23 ≈ 1,584962... . Треугольник Серпинского состоит из трех копий самого себя, каждая в два раза меньше. Взаимное расположение их таково, что если уменьшить клеточки сетки в два раза, то число квадратиков, пересекающихся с фракталом, утроится. То есть N(δ/2) = 3N(δ). Если сначала размер клеток был 1, а с фракталом пересекалось N0 из них (N(1) = N0), то N(1/2) = 3N0, N(1/4) = 32N0, ..., N(1/2k) = 3kN0. Отсюда получается, что N(δ) пропорционально , и по определению фрактальной размерности она равна как раз log23.
Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Это означает, что в фрактал не влезет ни один, даже очень маленький, кружок. То есть, если отталкиваться от построения первым способом, из треугольника «вынули» всю внутренность: после каждой итерации площадь того, что остается, умножается на 3/4, то есть становится всё меньше и стремится к 0. Это не строгое доказательство, но другие способы построения могут только усилить уверенность, что это свойство всё-таки верно.
Неожиданная связь с комбинаторикой. Если в треугольнике Паскаля с 2n строками покрасить все четные числа белым, а нечетные — черным, то видимые числа образуют треугольник Серпинского (в некотором приближении).
Ковер (квадрат, салфетка) Серпинского. Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ему удалось доказать, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна какому-то подмножеству этого дырявого квадрата. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д.
Как и у треугольника, у квадрата нулевая площадь. Фрактальная размерность ковра Серпинского равна log38, вычисляется аналогично размерности треугольника.
Пирамида Серпинского. Один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего: 5 копий начальной пирамиды, сжатой в два раза, составляют первую итерацию, ее 5 копий составят вторую итерацию, и т. д. Фрактальная размерность равна log25. У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.
Губка Менгера. Обобщение ковра Серпинского в трехмерное пространство. Чтобы построить губку, нужно бесконечное повторение процедуры: каждый из кубиков, из которых состоит итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков, из которых выбрасывают центральный и его 6 соседей. То есть каждый кубик порождает 20 новых, в три раза меньших. Поэтому фрактальная размерность равна log320. Этот фрактал является универсальной кривой: любая кривая в трехмерном пространстве гомеоморфна некоторому подмножеству губки. У губки нулевой объем (так как на каждом шаге он умножается на 20/27), но при этом бесконечно большая площадь.
Выкидывание центральных треугольников — не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского. Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.
Следующий способ получить треугольник Серпинского еще больше похож на обычную схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломаную из трех звеньев (она сама получается в первой итерации). Откладывать эту ломаную нужно попеременно то вправо, то влево. Видно, что уже восьмая итерация очень близка к фракталу, и чем дальше, тем ближе будет подбираться к нему линия.
Но и на этом не всё. Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.
Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольник A1A2A3. Отмечают любую начальную точку B0. Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B1 — середину отрезка с концами в этой вершине и в B0 (на рисунке справа случайно выбралась вершина A1). То же самое повторяют с точкой B1, чтобы получить B2. Потом получают точки B3, B4, и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности Bi, то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского. Ниже изображено, что получается, когда отмечено 100, 500 и 2500 точек.
Фрактальная размерность log23 ≈ 1,584962... . Треугольник Серпинского состоит из трех копий самого себя, каждая в два раза меньше. Взаимное расположение их таково, что если уменьшить клеточки сетки в два раза, то число квадратиков, пересекающихся с фракталом, утроится. То есть N(δ/2) = 3N(δ). Если сначала размер клеток был 1, а с фракталом пересекалось N0 из них (N(1) = N0), то N(1/2) = 3N0, N(1/4) = 32N0, ..., N(1/2k) = 3kN0. Отсюда получается, что N(δ) пропорционально , и по определению фрактальной размерности она равна как раз log23.
Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Это означает, что в фрактал не влезет ни один, даже очень маленький, кружок. То есть, если отталкиваться от построения первым способом, из треугольника «вынули» всю внутренность: после каждой итерации площадь того, что остается, умножается на 3/4, то есть становится всё меньше и стремится к 0. Это не строгое доказательство, но другие способы построения могут только усилить уверенность, что это свойство всё-таки верно.
Неожиданная связь с комбинаторикой. Если в треугольнике Паскаля с 2n строками покрасить все четные числа белым, а нечетные — черным, то видимые числа образуют треугольник Серпинского (в некотором приближении).
Ковер (квадрат, салфетка) Серпинского. Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ему удалось доказать, что любая кривая, которую можно нарисовать на плоскости без самопересечений, гомеоморфна какому-то подмножеству этого дырявого квадрата. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д.
Как и у треугольника, у квадрата нулевая площадь. Фрактальная размерность ковра Серпинского равна log38, вычисляется аналогично размерности треугольника.
Пирамида Серпинского. Один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего: 5 копий начальной пирамиды, сжатой в два раза, составляют первую итерацию, ее 5 копий составят вторую итерацию, и т. д. Фрактальная размерность равна log25. У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.
Губка Менгера. Обобщение ковра Серпинского в трехмерное пространство. Чтобы построить губку, нужно бесконечное повторение процедуры: каждый из кубиков, из которых состоит итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков, из которых выбрасывают центральный и его 6 соседей. То есть каждый кубик порождает 20 новых, в три раза меньших. Поэтому фрактальная размерность равна log320. Этот фрактал является универсальной кривой: любая кривая в трехмерном пространстве гомеоморфна некоторому подмножеству губки. У губки нулевой объем (так как на каждом шаге он умножается на 20/27), но при этом бесконечно большая площадь.
Дракон Хартера, также известный как дракон Хартера — Хейтуэя, был впервые исследован физиками NASA — John Heighway, Bruce Banks, и William Harter. Кривая дракона принадлежит к семейству некоторых фрактальных кривых, которые могут быть получены рекурсивными методами. Дракон Хартера был описан в 1967 году Мартином Гарднером (Martin Gardner) в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American». Многие свойства фрактала были описаны Чандлером Девисом и Дональдом Кнутом.
Фрактал может быть записан как L-система с параметрами:
• угол равен 90°
• начальная строка — FX
• правила преобразования строк:
• X X+YF+
• Y -FX-Y
Для его построения возьмем отрезок. Повернем его на 90 градусов вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Получим уголок из двух отрезков. Повторим описанную процедуру. Повернем уголок на 90 градусов вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной.
Повторяя названные действия и уменьшая ломаные, будем получать все более сложные линии, напоминающие фигуру дракона.
Пример алгоритма на delphi:
procedure Dragon(x1,y1,x2,y2,Depth:Longint;canv:TCanvas);
procedure Paint(x1,y1,x2,y2,k:Longint);
var tx,ty:Longint;
begin
if k=0 then
begin
canv.MoveTo(x1,y1);
canv.LineTo(x2,y2);
Exit;
end;
tx:=(x1+x2) div 2+(y2-y1) div 2;
ty:=(y1+y2) div 2-(x2-x1) div 2;√
Paint(x2,y2,tx,ty,k-1);
Paint(x1,y1,tx,ty,k-1);
end;
begin
Paint(x1,y1,x2,y2,Depth);
end;
Можно увидеть «повторения» в кривой дракона. Очевидно, что рисунок повторяется по той же схеме, с наклоном в 45 ° и коэффициентом сжатия равном корню из двух. Таким образом, точки сгиба образуют логарифмическую спираль, что относит её к кривым Пеано.
Кривые дракона обладают еще одним интересным свойством: при совмещении нескольких из них, они не пересекаются, создавая потрясающие узоры.
Фрактал может быть записан как L-система с параметрами:
• угол равен 90°
• начальная строка — FX
• правила преобразования строк:
• X X+YF+
• Y -FX-Y
Для его построения возьмем отрезок. Повернем его на 90 градусов вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Получим уголок из двух отрезков. Повторим описанную процедуру. Повернем уголок на 90 градусов вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной.
Повторяя названные действия и уменьшая ломаные, будем получать все более сложные линии, напоминающие фигуру дракона.
Пример алгоритма на delphi:
procedure Dragon(x1,y1,x2,y2,Depth:Longint;canv:TCanvas);
procedure Paint(x1,y1,x2,y2,k:Longint);
var tx,ty:Longint;
begin
if k=0 then
begin
canv.MoveTo(x1,y1);
canv.LineTo(x2,y2);
Exit;
end;
tx:=(x1+x2) div 2+(y2-y1) div 2;
ty:=(y1+y2) div 2-(x2-x1) div 2;√
Paint(x2,y2,tx,ty,k-1);
Paint(x1,y1,tx,ty,k-1);
end;
begin
Paint(x1,y1,x2,y2,Depth);
end;
Можно увидеть «повторения» в кривой дракона. Очевидно, что рисунок повторяется по той же схеме, с наклоном в 45 ° и коэффициентом сжатия равном корню из двух. Таким образом, точки сгиба образуют логарифмическую спираль, что относит её к кривым Пеано.
Кривые дракона обладают еще одним интересным свойством: при совмещении нескольких из них, они не пересекаются, создавая потрясающие узоры.
Так и что в итоге? Я в центр всего проникал. А вычленить суть невозможно. И хуле мусора тогда..
Пишу в эпичном треде.
Хуй
Фрактал наводят меня на мысль о теории всей моей жизни. Нужно поместить всю солнечную систему в гигантский конус из крепкого металла и раскрутить по центрифуге со скоростью света. Зачем, спросите вы? Это позволит осуществить главную цель, попасть в давно забытое прошлое. Не слишком далеко, нет, в начало нулевых. Наш мозг то и его не помнит, есть лишь субъективная блеклая картинка.
Вы верно подметили, я преследую собственные эгоистичные цели. Мечтаю попасть обратно. Прошлое - другой мир для меня.
Не замечаете нечто фрактальное вокруг? Конус с планетами во время кручения станет подобен отсутствую структуры фракталов. И запомните - время - слоеный пирог. Так то. Доперло? А что станет с людьми? Чёрная дыра. Ну а как же. А дыра в космосы суть тот же фрактал. Вы вдумайтесь. Мы крошечные мошки на краю фрактальной вселенной бесконечной. Смешно? Смотреть фрактальный видеоролик суть наблюдать вселеную. А потом на конусе появляется дыра, где вращается звезда, и мы летим туда, назад к нормальной точке отсчета. И чтобы не сбиться со курса, на конус со скоростью света будут смотреть тысячи и тысячи людей, ослепленных блеском медного листа.