рейт
Рейт
Эй, омежки, сосать
рейт, сколько лет? с кем ассоциируюсь?
40, с деревенщиной.
Милый, но я бы не дала
мимо тян
Как думаете чем 3 занимается? Где живёт? Чем интересуется?
В прошлом треде не рейтнули
Норм борода?
Норм борода?
Почему?(
че с глазами
у меня уже дети могли быть такого возраста как аноны, думаю не зря общение на дваче скатилась в такое школьниперство, в 2011 все ждали когда будет ночь и все школьники съебут с борды, сейчас гавно льется все 24 часа
рейт рубашку мою? сколько лет? похож на быдлана или на доброго парню рубаху?
Хуета, если честно. Но ты ничего такой
5/10
Ну че как?
Типичный модный школьник, лицо не блещет интеллектом
По красоте если оценивать, то 5-6/10
на грушу лицо похоже
Рейт
Вот же пиздец будет если кто то рили зальет свое ебало
Рейт (кун)
Виталя, как печень?
пошол нахуй, я 10 из 10 а ты чмоха порвалась маня жирная
Рейт
ну нет, такое ощущение что ты так рад что там что-то растет, но как то частями - ps ну я вообще бороду и усы не ношу
Такая себе борода. Сбрей усы и отрасти бороду как у уэйна статика. Будет лучше смотреться отвечаю
Привет, Виталь, я узнал тебя по твоей физиономии. Возвращайся с пляжа скорей, фаны ждут подруба.
Рейт плз
типичное чмоне ебало
Козлов, ты?
Я альфач
все как положено - скулы и т.д.
Дрожи, выходи на бой, я тебе лично отвечу
Рейт меня
Пошёл на хуй
ты на ранке фоткалась, манька?
Сотрудник вайлдберриз из 10.
Красавец 10/10
Мимотян
а так и есть.
заходишь, слушаешь всё это и понимаешь что выражаются люди которым дай бог лет 16 стукнуло.
и они на полном серьёзе темы задвигают, как они уже мир прохавали и как они в нём всё поняли и вообще, все кто с ними не согласны дураки.
и аргументы для дураков.
Век методичек, ей богу.
напишут себе памятки, скринят и форсят их во всех тредах, как будто если одно и тоже говно пихать везде - то оно более интересное станет.
Вкатился
10/10
8.5/10
Стоп, я уже видел этот тред дня 3 назад
Чмоха пидораха 2/10
Я бы тебе дала. Из какого города?
Надо бороду сбивать?
Рейт
Рейт
Я чеченец, а не пидораха
История циклична.
Если я скину сюда свой ебасос у вас монитор треснет от страха лол
Че происходит, я уже видел его, теже фото и посты, что у меня в голове я видел
Сноу ниггер
Запрещаю оценивать кого-то, кроме меня Великого! Тян можете не сдерживаться
Рюзке, я вашу маму ебал. Иншаллах
Далбич малолетний, не позорь Демона.
Из лабытнанг
Патлатый обрыган
мимо тян
франкенштейн
Няшная. :3
Такой уродливый?
Типичный пидораха
1/10
Детка, рейт меня
Я лучше
Трахнул бы его, между складок.
Затрахал бы до смерти.
Не игнорьте посты, рейт
О, я помню у третьей бриллиант спиздил. Она ещё алхимический магазин держит.
Я 100 км от тебя. Приедешь ко мне няшется?
Мимотня
Из Харькова.
> не позорь
Мало того, что пидорашка, так еще какого-то куколда "защищает", лолд
БАЛДЁЁЁЖ БАЛДЁЁЁЖ
В жопу даешь? Бочку делаешь?
r8 dolboeba
Алкаш какой-то
Фу, ну и мразь
Мимотян
Что-то вы долго оцениваете...
Сука дебилы не всех рейтят твари
Вкатился
Типичный пидораха
0.5/10
сколько лет? чэд?
Что за приложение?
Бля, хули тебя так много то, а?
Ебать, чо у тебя с лицом? Это какая болезнь?
Ты пидор а то я да
Рейт меня плз
Мерзкий тип
Завидуешь моей Красоте?
Хрюкнул с мамбета
рейт, хули
Это же прыгающий рооомкааа
Бомбическая
пошел на хуй
что за прога?
Чед в треде
Задавайте ответы
Задавайте ответы
Скоро у меня будет секс
называется ты пидор
Я дурак?
9/10
прогу хочу
Чтобы тян писали на несколько аккаунтов сразу...
Всем привет в итт треде
Когда пукаешь, чем пахнет?
На ротан берешь?
В жопу даешь?
Бочку сделал?
нет ты
10 акита ину из 10
Ну и мразь, лол
3/10
Рейт
Я бы собаку выебал
Нате
Гига альфа в треде.
Поссал на зумерков итт.
Проиграл с хайва
Завистливые инцелы
Напрограммировал тебе за щеку, проверяй.
Пидарье закрывайте тред, вас всех ждет деанон и травля
Час где-то идеальный угол выбирала. Рейт, что ли)
Ублюдки, скажите, что вы жирните просто, не хочу встречать горькую правду про 13-тилетних обитателей этой помойки
Твоей маме зять не нужен?
Типичный пидораха
2/10
толсто
Рейт
> Час где-то идеальный угол выбирала. Рейт, что ли)
Еще раз вкатываюсь
Рейт
Рейт
Отсосал бы тебе.
Рейт
Валентин бертович
Это чья мать, кто потерял?
Гоу
Что за оружие?
Рейт :3
норм внеха? какой лвл?
9/10
>выбирала
Хуемразь, плес
Это же бототред дядь)
Пидорас
4/10
Тебе же хуже, чмоха. Всех чекать щекой и РАБотать
Огр, хватит сидеть в телефоне. Фаны требуют контента.
Типичная натаха-пидорахен, 0.5/10
Трапик ;D
В голос с этой Хабаси
10\10
Дыряна
Рейтните плс
Сукалол
Привет, Колян
1\10
Жду
Никто не рейтнули го ещё раз
Типичный пидораха
1/10
Хуй за щеку жди, щас всем тредом скинемся
Как там Саша?
4/10
Вибрирующая волшебная палочка. :3
Элджей, иди нахуй
привет, чухан откуда знаеш меня?
Рейт будьте добры
Селедка справа что-то недоброе задумала
Лизнул бы тебе, твою обвисшую брухлю.
У меня нет аккаунт в сетях
Файндклон
рейт
Вкатываюсь, блять
Рейт
Рейт
пасути в прошлом треде писал про то что он похож
Оценка омежки не учитывается
Ебать хуйня! УГ!
Какая-то героинщица позорная.
Закрывай вкладку, от тебя воняет говном, отсюда чувствую.
Который? :з
Завидуй молча
4/10
Город? Классная тян слева
иди нахуй, комми
Сосед твой с Марьиной рощи
Дыряночка писечка 10/10
Слова прыгающего романа не учитываются.
Как ты вообще в тред попал, Ромка? Мама разрешила?
Надеюсь, что все эти треды нацелены на постиронию и все эти фотки взяты из инета, мне страшно сидть на борде с такими всратышами
Ля какой буйвол. Прям чувствую что на самбо ходишь
Вот вам еще фоток, мальчики. :*
5-6/10
Тупа топ
Надеюсь, что все эти треды нацелены на постиронию и все эти фотки взяты из инета, мне страшно сидть на борде с такими всратышами
рейт
Обидно было :(
ну скинь фотку чмоха, пиздежом пахнет
...що?
Содомит
больше не скидывай уродец
Рейт нас
шизики и расолухи мимо.
шизики и расолухи мимо.
Сидим с тянкой в летней кафешке.
Программист 300к сек
Рейт
Рейт
так шяс зима еблан
Укусил бы ее за пизду как Гарик Куколд Харламов лол
Данте, ты?
Рейт.
рейт
Рейт
Вкатился
Че скажите по внехе?
Че скажите по внехе?
Старуха/10
Рейтните плз(
Ебло перекошенное
6/10
Тоже люблю пёрнуть в ладошку и занюхнуть.
Давай другую фотку
ебаных альфачей красавцев полон тред, и эти люди ещё сука ноют про как им тяночку хочется. Пиздец, моя депрессия усилилась пойду нахуярюсь.
Норм ли моя внешность?? Рейт
Рейт. Шизики проходите мимо.
Сходи в душ, лицо все черное.
Рейт
20/10
Просто Бог, тупа тор, хочу в твои объятия
бля хуита какая то, первый раз вижу
Alligatoah/10
Оо, бототред, наес
10/10
Могу отдать тебе свою тянку
Покажи своей мамке мои фото, чтоб потекла
Какие же отбросы тут сидят, жуть какая
ёбырь твой?)
Че тут забыл солист Блек Айд Пис
8/10 лицо немного посерьезнее и вообщн альфач.
Мимотян.
Реуйт
10/10
Рейт
Твоё лицо от вида омег, которые тут сидят
Куда альфы подевались? Я здесь один такой?
Куда альфы подевались? Я здесь один такой?
Ебал бы и ебал, еще чтобы она меня ничтожеством называла. Ух!
Совсем уже мозги все пропил
0/10
Трахнешь мою тян, а я подрочу, можешь братков позвать
Ебать ты лупоглазик омежный, таких в печах сжигали.
Мимотян
Саша Баран Коэн в молодости
Ну даров)
че паибалу получить захотели за плохие посты?
рейт
Рейт
Рейт
Тяночки, Асечку, писучку
Хбуду вылизывать все у вас
Кидайте телегу
Тяночки, Асечку, писучку
Хбуду вылизывать все у вас
Кидайте телегу
продрачил
Рейт, я в маске. Служу Цезарю, скоро уйду со службы и заведу семью.
Тян, налетайте.
Тян, налетайте.
Хуя вы тут комики...
Если она доминирует и зовет тебя ничтожеством то скорее всего ебать тебя как раз будет она волшебной дилдой на застежках лол
справа
3/10
мимотян
Ты какой-то хач, девочки, кидайте телегу мне
Пятки мои потные вылижешь?
мимо тян
Рейт
Тяночки, Асечку, писучку
Хбуду вылизывать все у вас
Кидайте телегу
Тяночки, Асечку, писучку
Хбуду вылизывать все у вас
Кидайте телегу
Ох, роскошная девушка, я бы Вас любил всю ночь, весь день, всю жизнь, в ярких лучах солнца иль в темень непросветную.
Выебу вас обоих. Всё тянки мои
Да. :3
Ланий, ты?
Рейтаните по серьезке плиз
Когда 2ch превратился в сборище нормисов?
Фу, алкаш
2/10
Мимотян
Обожаю тебя. ♥ ♥ ♥
>Пятки мои потные вылижешь?
мимо тян
2.4/10
Как будто в обливионе персонажа делали лол
Чмо
Бан.
4/10, ебло и борода модели "В нашем городе совершенно невозможно найти девушку, точно вам говорю"
5/10 Васян Классический
Грустный девственник "мама чомуу", 4/10
Тупа генетический отброс, скорее всего еще и Сергеем зовут, 3/10
Нормальный чел, 6/10, возможно даже был СЕКЬС
Мамин маньяк, этим бы ртом и челюстью говно хлебать. Но при более позитивной подаче тянки могут течь.
Существо неопределенного пола, похоже на некрасивую бабу из средней полосы РФ
Сасный школьник, все пожилые педики-папики твои. 7/10
Нитакойкакфсе из палаты мер и весов (tips fedora)
Гопник, решивший запилить себе пидорскую прическу и посмотреть, что будет.
10/10
Года 4 назад, слоупок
Типичный мидораха 2/10
Ток без хейта
Рейт
Рейт
Тебя не Кириллом звать?
Обезяна не души
Мечта гопника.
норм, 28+
Олег лол блять, сколько лет сколько зим (10 почти уже лол) Че как жизнь?
сратый
Когда ты на РАБотку ходить начал, чтобы шлюхам донатить
Ну и иди нахуй
Фу, тян
10/2
Мимоалкаш
Хуево, тян не дают
А ты кто? Здоров)
Омежка порвался
да как же вы заебали меня, выблядки
Рейт
Фулл
Рейт
Рейтните, без хейта ((
Я Игорь, помнишь меня? Вместе в школе учились
Хохол/10.
Что-то хуево паяешь, братишка, неаккуратно.
Ты куда съебался в итоге? Последний раз когда виделись собирался "в деревню ходить босиком и угарать по толстовщине"
Обосрался с тебя, ты нахуй щеки прикусил и подбородок выдвинул вперёд?
Пикрил ты?
Уебки, пиздуйте в сок и рейтите там друга в очко. Сажи
сссука додик
Заебись кунчик, на супермена похож, и на ведьмака
Рейтните меня, заебал и уже((
и где сага блять?
Хотя меня конеш мало ебет мнение харкачевского быдла
мупр мур мур мур
бля я надеюсь это оч хроший фотошоп
Нет.
Покажи Кирилла, мне интересно.
Чувак, без негатива, но у тебя крысиная морда, но ты не отчаивайся сейчас год крысы, мимотян
Я все ещё здесь.
Че по рейтам???
Че по рейтам???
Ебааать, какой уродец, я хуею...
хули нет, 10 шакалов из 10
Нахуй ты лицо замазал
из снов моих с утра бежишь проворно/10
я не справлюсь с вайпом этих уебанов один
Прическу смени
тебя по фенотипу рейтили же?
>Фу, алкаш
>2/10
>Мимотян
6/10 за челюсть
ребенок/10
>мупр мур мур мур
крыжовник сладкий, терпкая сирень
Ща я посрать схожу и помогу, и вообще хули моча не банит этот скам? Танцульки нахуй, аниме нахуй, а социоблядство нормально???
Гигачад в треде, задавайте ответы.
Рейт
Я не храню фоток знакомых. Просто бровями похож и подбородком. Когда общался с ним последний раз, он ходил в качалку, вот я и подумал, мол накачался.
пхахаха. пошел ты нахуй, пидр душный))
Рейт
Тёлочки, я здесь
Вылежу ваши писечки. Можете присесть мне на лицо. Ещё очень люблю толстых фемочек. :3
Рейтаните))
Вылежу ваши писечки. Можете присесть мне на лицо. Ещё очень люблю толстых фемочек. :3
Рейтаните))
Охуенно, нравится твой стиль.
мимо натурал кун
аварец ?
подстригись нормально и вперед цеплять тянучек
Ебло попроще
Бамп
а то. асечку писечку гугл координаты заверните 2 пожалуйста, спасибо. Жаль зеленый.
>пхахпх, пошел ты нахуй, пидор душный))
Чепушилка додик
Планируешь начать траповать?
Бля, нахуя вы это делаете? Это же двач.
Фух, добежал, а можно я у вас покакаю?
Нет
>>2108126358
8/10
8/10
Аджарец.
Петух
>ребенок/10
Чеканной монееетой уоу
>пук
Зачем её вылёживать? Я и так належалась в кровати за праздники.
7\10
Че по рейтам?
ты как телка выглядешь, патлы бы хоть сбрил
>нормально
Ето как?
Провинциальный пидор
Все куны считают стремной
Как по меркам двача?
Как по меркам двача?
Бля ахуенный тред, ебать мы раскачались пачаны, раньше такого треда не было. ПИЗДАТО!
Могу быть твоим рабом..
Кто по нации?
Инцел додик дворняга
Город?
По меркам двача ты говно.
Рейтните плз((
Это не борода, а клочковатый девственный пушок. Сбривай офк.
Инцел омежка пидорашка
Какие точеные черты лица. Девочка из аристократической семьи?
Ого, да ты моя мечта, что движет мною, и преград не зная, иду к тебе, не уставая!
Забей норм девчонка - те кто считают стремной думаешь сами лучше ? Похожа но не буду писать на кого по крайней мере 1 фото
похожий на тебя хуй меня кинул на 8к
где мои деньги, леха?
Додик выродок с омежьем подбородком.
>ЛИЦ АНОНА
>АНОНА
>ЛИЦ
Твой леха из какого города?
Трахнешь мою жопу? Няш
Подписанный полупокер пидорантель.
Рейт . Слава роду!
Новиопная пидараха
Жирная пидораха
целую обнимаю
Чед в треде
Как я вам?
Как я вам?
Что с жопаном?
Да хоть собаку, куда выезжать.
рейт
1/10
ехидный_блинчик/10
>Новиопная пидараха
рате
2\10
Это Децл?
Выеби меня
Как говно собачье, которое на ботинок прилипло
Вот эта охуенная 10/10, скиньте моар такого типажа.
Чед? Пхахпхха, не смеши людей, школьник, ты же омега ебаная.
Ананас.
Рейтните плз
Ну так пости его жопан тогда и заценим лол
>Новиопная пидараха
Высокомерная сука
Вы мне льстите, милорд.
Хуя вас сдуло
Ещё раз
Рейтаните аноны плз
Рейтаните аноны плз
В телеграмм канале осел. Ведет войну на информационном поле, уличая матриархат в манипуляциях над общественным сознанием
Это один из самых тупых хуесос которого я когда либо знал. Поднимаю свою самооценку смотря его видосы, лол.
Хуйня, бабам похуй на внешку.
Полупокер быдлан
Ты сама рейти других, шмара бля
Немец.
Понятно. Сочту за комплимент :3
Турники и брусья дают о себе знать.
страшенное уебище
Ну такое, пидораха.
4/10
Кидай фото с супом, рассмотрю.
Пидор наркоман
А что насчет вышиванок? Он расовый самурай
Петух инцел
Я СОСТРАДАНЬЕ ЗА ЛЮБОВЬ ГОТОВ ПРИНЯТЬ! АНОН ОТВЕРЖЕННЫЙ С ПРОКЛЯТЬЕМ В ГОЛОВЕ, Я НИКОГДА НЕ БУДУ СЧАСТЛИВ НА ЗЕМЛЕ! И ПОСЛЕ СМЕРТИ МНЕ НЕ ОБРЕСТИ ПОКОЙ... Я ДУШУ ДЬЯВОЛУ ПРОДАМ ЗА НОЧЬ С ТОБОЙ!
Господи, БОГИНЯ, 15/10! Асечку, контактик, тележечку, молю на коленях!
Бля ахуенный тред, ебать мы раскачались пачаны, раньше такого треда не было. ПИЗДАТО! ЧИЛИМ БЛЯ
нахуй иди выродок
Рейт меня
На месте. Че по рейтам?
Сап двач
Пидораха обыкновенный колхозник.
К чему ты это высрал?
Прошу, аноны, оцените
хуя ты чихнутый
Кинаман.
Обезьяна пёс
Отрицание уже, работочмоха нормисная?
Аааа, уберите уберите, фи
Ребят, насколько пиздец из 10?
Перекат?
Раньше я думал что я всратан, но благодаря двачу я понял, что я не так уж и плох
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
саша, я отдам
7/10, волосы бы длинее
Пидораха необыкновенный, поэт.
Додик чмоня
Почем нынче час?
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Любит в жопу / 10
Максимальный пиздец.
Секс машина на месте)
Хочу поугарать с инцелов)
Хочу поугарать с инцелов)
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Грязная шлюха-хачиха. Съебала отсюда, животное.
Говно блять полупидр
Дантес из 10
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Модель с асоса
Какая-то проститутка, индивидуалка?
Пожалуй, это лучший из возможных вопросов.
Гнездо на башке, гребень
Сеги петухам
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
>Додик чмоня
Сага. Скрыл.
ебадь вы дауны ебаные, сами на себя базу данных делаете, тут майоров ояебу просто.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Страшная жирная баба вкатывайся в лезбиянки.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Рейтните. Че вы такие злые?
Отойди уже от вентилятора
омежку обосрали, вот и бесится))
Уебывайте в сок.
сука, сажу забыл
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
7/10
Грязный патлач залетел
Сажи
Мне нравится. ДС2?
Ананас пидор ебаный
>майоры
О бля, хули ты тут забыл, в этом паблике?
>тян приветствуются
Они не приветствуются. Они идут нахуй с мужского сайта
Я ж не долбоеб, чтобы выкладывать свое ебало на обозрение долбоебам.
Рейт
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
специально для двачей распечатал. зачем - только хуй знает
Неплохо неплохо
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Твои глаза как два алмаза, Блестят из дырки унитаза
Ебать, тупа бестия, такие ночью приходят и силы из тебя высасывают а ты и не против
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
А что не так?
Занимаюсь этим делом
С поэзией никак не связан
Окей.
Спасибо, полагаю
Абу благословил этот пост.
>Хелфигер
Тебе что, тридцать лет?
Рейт
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
И где же руснявые круглоголовые унтеры?
Большинство в треде больше на немцев или шведов похожи.
Русофобы, оправдывайтесь.
Большинство в треде больше на немцев или шведов похожи.
Русофобы, оправдывайтесь.
>лицо
>анона
>анона
Полизали бы мне писю? :3
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Так это всё шелупонь, ни один из этих додиков не сидит из под прокси, не юзает даркнеты и не делает плохих вещей.
уебал бы тебе ногой по еблищу шмара
Запихал бы тебе в писю речного карася
>И где же руснявые круглоголовые унтеры?
>
>Большинство в треде больше на немцев или шведов похожи.
>
>
>Русофобы, оправдывайтесь.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
насрал бы тебе в ухо
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Жирдяйка
шути, двач
Пиздос,кто черномазого в рашку впустил,ебать бля..
Да без проблем куда приезжать лол
ДС
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
вот и первый мусорок. Nuff said.
Куколды здесь?
Унтер/10
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Проиграл в голос
Хуй саси.
Я нихуя не выдвигал и не прикусывал, у меня всегда ебало такое
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Если я буду делать что то плохое, я бы делал это так чтобы это было афишировано хуль прятаться епта в чем логика прятанья как крыса и действий тех или иных из тени. Не нравится система действовать надо открыто и ебашить и показывать себя как есть ( а не гнить в норах под сотней проксей и прочего говна прячась как крыса)
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Рейт.
На завод или в армию, нахуй. Тупой, но не всратый, 6/10
В 2004 был бы самым успешным говнарем на районе, сейчас хех кек мда. 5/10
Борода похожа на волосы, выдранные с жопы и лобка, но без нее ты будешь совсем ебаный и всратый. Сбрей все, оставив только goatee. 5/10
При должной подаче в РФ это может считаться чэдом-сердцеедом. Жаль, если ирл ты алкаш-пиздализ. 7/10
Блеадь, еще одно существо неопределенного пола. Эстрагенчик, страпончик?
Нормальная зумерская сосочка, можно помакать. 6/10
Иллюстрация к запросу "инцел+челюсть".
хуя компенсация
я тут недавно с тян пиздел, 20 летней, она мне выдала
".....ну смотри, открываешь какой нибудь паблик типа того же двача..."
Знатного баребуха словил.
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Содержание
1\tОпределение
1.1\tЗамечания
1.2\tКомплексные многообразия
1.3\tСовместимые структуры
1.4\tОтображения
2\tПодмножества и вложения
3\tЛитература
Определение
Пусть {\displaystyle X}X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки {\displaystyle x\in X}x\in X найдется её окрестность {\displaystyle U}U, гомеоморфная открытому подмножеству пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n}, то {\displaystyle X}X называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности {\displaystyle n}n.
Пара {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ), где {\displaystyle \phi }\phi — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой {\displaystyle X}X в точке {\displaystyle x}x. Таким образом, каждой точке соответствует набор {\displaystyle n}n вещественных чисел {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), которые называются координатами в карте {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ). Множество карт {\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,}\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-атласом {\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )}{\displaystyle (0\leqslant k\leqslant \infty )} многообразия {\displaystyle X}X, если:
совокупность всех {\displaystyle U_{\alpha }}U_{\alpha } покрывает {\displaystyle X}X, т.е. {\displaystyle X=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }
для любых {\displaystyle \alpha ,\beta \in A}\alpha ,\beta \in A таких, что {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing , отображение:
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })
является гладким отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k;
{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} с картой {\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}{\displaystyle (U_{\beta },\phi _{\beta }).}
Два {\displaystyle C^{k}}C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует {\displaystyle C^{k}}C^k-атлас. Совокупность {\displaystyle C^{k}}C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые {\displaystyle C^{k}}C^k-структурами, при {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant \infty }1\leqslant k\leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие {\displaystyle X}X, наделенное {\displaystyle C^{k}}C^k-структурой, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-гладким многообразием.
Замечания
Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую {\displaystyle C^{a}}{\displaystyle C^{a}}-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} ^{n} более общих пространств {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} или даже {\displaystyle K^{n}}K^n, где {\displaystyle K}K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае {\displaystyle K=\mathbb {C} }{\displaystyle K=\mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры ({\displaystyle k\geqslant 1}k\geqslant 1) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структура, и на {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-многообразии,{\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }0\leqslant k\leqslant \infty , — {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структура, если {\displaystyle 0\leqslant r\leqslant k}0\leqslant r\leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразие, {\displaystyle r\geqslant 1}r\geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что {\displaystyle C^{0}}C^{0}-многообразие нельзя наделить {\displaystyle C^{1}}C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число {\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)} {\displaystyle C^{1}}C^1-неизоморфных {\displaystyle C^{\infty }}C^\infty-структур на {\displaystyle n}n-мерной сфере равно:
{\displaystyle n}n\t1\t2\t3\t4\t5\t6\t7\t8\t9\t10\t11\t12
{\displaystyle \theta (n)}{\displaystyle \theta (n)}\t1\t1\t1\t\t1\t1\t28\t2\t8\t6\t992\t1
Отображения
Пусть {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y — непрерывное отображение {\displaystyle C^{r}}C^{r}-многообразий {\displaystyle X,Y}X,Y; оно называется {\displaystyle C^{k}}C^k-морфизмом (или {\displaystyle C^{k}}C^k-отображением, {\displaystyle k\leqslant r}k\leqslant r, или отображением класса {\displaystyle C^{k}}C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт {\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })} на X и {\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })}{\displaystyle (V_{\beta },\psi _{\beta })} на Y такой, что {\displaystyle f(U_{\alpha })\subset V_{\beta }}f(U_{\alpha })\subset V_{\beta } и отображение:
{\displaystyle \psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })}\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta }(V_{\beta })
принадлежит классу {\displaystyle C^{k}}C^k. Биективное отображение {\displaystyle f}f, если оно и {\displaystyle f^{-1}}f^{-1} являются {\displaystyle C^{k}}C^k-отображениями, называется {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае {\displaystyle X}X и {\displaystyle Y}Y и их {\displaystyle C^{r}}C^{r}-структуры называются {\displaystyle C^{k}}C^k-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество {\displaystyle Y}Y {\displaystyle n}n-мерного {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразия {\displaystyle X}X называется {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием размерности {\displaystyle m}m в {\displaystyle X}X, если для произвольной точки {\displaystyle y\in Y}y\in Y существует карта {\displaystyle (U,\phi )}(U,\phi ) {\displaystyle C^{k}}C^k-структуры {\displaystyle X}X, такая, что {\displaystyle y\in U}{\displaystyle y\in U} и {\displaystyle \phi }\phi индуцирует гомеоморфизм {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} с (замкнутым) подпространством {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\subset \mathbb {R} ^{n}}\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}; иными словами, существует карта с координатами {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}(x^{1},\ldots ,x^{n}), такая, что {\displaystyle U\cap Y}{\displaystyle U\cap Y} определяется соотношениями {\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}{\displaystyle x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}.
Отображение {\displaystyle f:X\to Y}f:X\to Y называется {\displaystyle C^{k}}C^k-вложением, если {\displaystyle f(X)}f(X) является {\displaystyle C^{k}}C^k-подмногообразием в {\displaystyle Y}Y, а {\displaystyle X\to f(X)}X\to f(X) — {\displaystyle C^{k}}C^k-диффеоморфизм.
Любое {\displaystyle n}n-мерное {\displaystyle C^{k}}C^k-многообразие допускает вложение в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}\mathbb{R} ^{{2n+1}}, а также в {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}\mathbb{R} ^{{2n}}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений {\displaystyle C^{k}(X,\mathbb {R} ^{2n+1})}C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.
Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.
Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.
Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.
Приятно ммм а писечку отлижешь?
Пидор пасив
Толян ты че с собой сделал?
Говнорожий пидор. Выродок
Мамбет залогинься
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Київська духовна академія і семінарія; Інститут рукопису На
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Київська духовна академія і семінарія; Інститут рукопису На
нет, мне он просто на халяву достался.
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Ага, попробуй афишировать торговлю героином в детском саду, сразу 100 бутылок в жопу запихают на 40+ лет, паровозиком. С зоны будешь веселые треды потом создавать.
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Пососёшь?
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Дима пидораз
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Да откуда же вы лезите блять, быдло ебаное. Аноны блять, какие вы блять аноны еблами светить. Хртьфу!
допустим
Чекни те плизз :з
Ты рил думаешь что тут есть хоть кто то со своим свиблом лол
фублять
>харкач 2020
>думаешь
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
папич/10
Одно ебало с моего города уже видел. Этот долбоёб этого даже не скрывает. Педофил ебаный.
Здесь рейтаните плз
Наталья Яковенко выдвигает тезис о тюркском происхождении рода Немиричей, возможно, даже из среды автохтонных тюркских вассалов князей Киевской Руси. Она отмечает, что трудно даже с полной уверенностью установить, где располагалась родовая земля, составлявшая первичную «отчину и дедину» Немиричей. Ведь те огромные земельные комплексы, которые впоследствии, в течение XVI в. оказываются в их руках — это или выслуги, или имения, вошедшие за невестками или купленные земли. Согласно предположению А. Яблоновского, поземельным гнездом рода, скорее всего было, село Приборцы (позднее Приборск) в верховьях Тетерева, который упоминается в ревизии в Чернобыле 1552 года, как собственность Иосифа Немирича.[10] Приборск был вкраплен в Труденовскую волость (ныне Иванков), входившей в состав владений князей Половцев со Сквира. Но поскольку то предположение Н. Яковенко опирается на большое количество соображений гипотетического характера, возникает ряд вопросов, которые ставят его под сомнение. Ведь, Труденовичи по Половцам Рожиновским перешли на Ивашка Немирича лишь в 1536 году[11]. До этого, Труденовичи — это дедичное имение Юхновичей, которые получил Олехно Юхнович вместе с другими имениями, также, как и Михал Юрьевич со Сквира Половец, ещё от киевского князя Олелька Владимировича.[12] Наконец, несмотря на то, что основной усадебный комплекс Немиричей размещён на Киевском Полесье, зафиксировано и их владения на Волыни. Отсюда не удивительно, что Немиричи некоторыми исследователями отождествляются с ответвлением рода волынского земянина — Немири Резановича, луцкого старосты в 1445—1452 гг, активного сторонника и придворного князя Свидригайла[13]. Та же Н. Яковенко также рассматривала эту версию, но, не имея на тот момент аргументов в её пользу, отказалась от неё.[14] Но, позже О. Задорожная обнаружила, что ещё К. Несецкий в середине XVIII в. связал киевских Немиричей с волынским родом Немир Резановичей.[15] Вот что писал геральдик в статье о Немиричах герба Клямры: «Война или Немирич, сестре своей Марии, которая была замужем за князем Михайлом Чарторыйским в 1458 году — те добра записовал: Житан, Чесный Хрест, Бубнов, Горычов, Тышковичи, Щутяты, Литовиж, Кречов, Горки и Олешко с прилеглостями, как доказывают аутентичные документы дому княжат Чарторыйских»[16]. В данном случае К. Несецкий опирался, в том числе, на известные пять документов из архива князей Чарторыйских (привилеи Немире Резановичу и его племяннику Митку, а также тестамент его сына Якова Войны Немировича, очевидно позднейший фальсификат в пользу князей Чарторыйских).[17][18]
Северин Урусский в описании Немиричей герба Клямры, не соглашаясь ни с Окольским о литовском предке Немиричей Андрее — сыне троцкого воеводы Миколая Гржимала[19][20], ни с Несецким о предке Григорию Вороне с Подолья, выдвигает свою версию о происхождении киевских Немиричей от Немир Резановичей: «…najprawdopodobniej przeciez pochodza od ktoregos z Niemirow, nadanych juz przez Witolda na Wolyniu i Podolu, tak naprzyklad Niemira z przydoomkiem Rezanowicz».[21]
Известный польский историк Владислав Семкович также рассматривал Немиричей полесско-киевских и волынских Немир Резановичей, как один род: «Protoplastą tej rodziny był Niemira Rezanowicz (Razanowicz), bojar wołyński, sprawujący w latach 1445 do 1452 urząd starosty łuckiego. Bratem jego był Kozaryn Rezanowicz, występujący w połowie XV w., a dalszym krewnym (plemiennikiem) niejaki Mitko, obdarzony w 1450 szeregiem nadań królewskich na Wołyniu. Ów Niemira Rezanowicz miał z żony Anny syna Jakuba Wojnę Niemirowicza i córkę Marię, która wyszła za kniazia Michała Wasilewicza Czartoryjskiego… Otoz przypuszam, ze to jestto rodzina Niemirowiczow (Niemiryczow), ktora rozrodzona na Woluniu i w Kijowszczyzni, uzywala pozniej herbu Klamry».[22]
Иван Левковский придерживается мнения о том, что не только паны Немиричи герба Клямры, а и бояре Левковские, Невмержицкие, Можаровские, Геевские, Верповские, Солтаны Стецковичи, Шишки Ставецкие, Доротичи, Покалевские, Ходаковские, Русиновичи, Дривинские, Литинские, Толпыженские, Хренницкие, Шибенские и другие их собратья — все вместе являются представителями огромного «руського» рода Немиричей (того же, с которого вышел Немира Резанович) и происходят от общего предка второй половины XIV века.[23] По его мнению, учитывая данные Гербовников Б. Папроцкого и К. Несецкого, этим легендарным предком мог быть Григорий Воронович. Так, в статье о Ельцах герба Лелива, К. Несецкий называет предком многих родов, в том числе Немиричей, Грегора Вороновича с Подолья, который перешёл на службу к королю Ягайло, в Григория был сын Александр, служивший князю Свидригайлу из своей отчизны на Подолье и ставший винницким старостой, в этого Александра было семь сыновей, в одного из которых Гридка, тоже было семь сыновей. Первый был Пётр, он оставил двоих сыновей Немиру и Черешню. Немира был предком Немиричей герба Клямры в Киевском воеводстве, а Черешня — предком Черленковских (Кмит). Этим же сыновьям и присудил король польский бояров Котчища, яко выслугу Петра Гридкевича[24]. Но старый геральдик Папроцкий, говорит лишь о семи сыновьях Александра и от одного из них — Матвея Кмиты, ведёт родовод Кмит Чернобыльских: Грегор Воронович —> Александр (Кмита) Грегорович —> Матвей Кмита —> Криштоф Кмита, Семён Кмита —> Филон Кмита Чернобыльский (сын Семёна)[25].
Ответ на вопрос, каким образом Велавская земля на овручском Полесье, включая и Смолчанскую землю, то есть Левковскую-Невмирицкую и Верповскую земли (согласно Дела Можаровских, Велавская земля и Каменщизна входили в состав Смолчанской или Смольняной земли), оказалась в руках Немир Резановичей из Волыни, находится в словах геральдика К. Несецкого в статье о Немиричах герба Клямры: «Piotr, jeden z synów siedmiu Hrydzka i najstarszy, zostawił dwóch synów, Niemirę i Czeresnią, od Czeresni poszli Czerlińscy, czyli Czerlinkowscy, od Niemiry Niemirzycowie: na dowód tego, dekretem się jakimsiś świadczy, którym Bojarów Kotczysca, jako wysługę Piotra Hryckiewicza przysądza obiema braci».[26] Действительное существование данного документа подтвердилось: среди рукописей липовецкого архива Юноша-Росцишевских в перечне документов Турбовского семейного архива панов Ельцов («DOCUMENTA FASCICULO PRIMO COMPREHENSA PER COLLEGIUM OWRUCIENSIS SOCIETATIS IESUS TERMINO COINDESCENSION ANO 1740 IN BONIS TURBOWKA COMPORTATA ET COMMUNICATA SUCCESSEORIBUS OTIM PHILIPPI THEODORI JELCOW»), исследователям стало известно его название (кверенда): «List ksiaza Alexandra Litewskiego dany Niemirze y Czereszni Rydkiewiczom na Kodczyce» (Без указания даты. «Лист князя Александра Литовского, даный Немире и Черешне [Г]ридкевичом на Котчище»).[27] Не секрет, что и в Грамоте Сигизмунда I, овручскому старосте Криштофу Кмитичу (родной дядя известного Филона Кмиты Чернобыльского), от 10 июня 1544 года, староста четыре раза назван Криштофом Немиричем, очевидно, по своим веледниковским владениям («земли Матвеевское, пана Криштофовы»), которые перед Матвеем Алексанровичем Кмитой (Кмитой Александровичем) принадлежали пану Немире за правления великого князя Витовта (Микула О[с]ташкович Невмирицкий отчизну Невмирицкую держал «по продку своем Невмире за великого князя Витовъта»[28]), как имение-повет Каменец (Каменщизна) или по-другому, Немиричизна: «…od nayiaśnieyszego króla jego mości, Zygmunta, w sprawie antecessorom offerentis do wielmożnego niegdy Krzysztofa Niemirycza, starosty Owruckiego»[29]. Другие источники косвенно подтверждают, что отцом братьев: Немири, Казарина и Митка Резановичей был Пётр — прадед бояр Васка и Ивашка Сенковичей Русиновичей,[30] отчизной которых, как и Давыда Велавского, была соседняя с Немиричизной Велавская земля (Котчищи и Литовский остров).[31][32][33][34][35][36][37] Учитывая это, оказывается, что луцким старостой в 1443 году (не позднее, чем с 23 IX 1442) стал пан Иван Петрович, один из найдавнейший наместников луцких, согласно памятной записки, сделанной осенью 1538 или летом 1540 года,[38][39][40] сторонник Свидригайла (брат Немири — Иван Козарин Резанович?),[41] а вовсе, как принято было считать,[42] не князь Василий Фёдорович Острожский или его ставленник (от Казимира).[43][44]
В связи с этим, совсем неудивительно, что отчизные имения черняховско-олевских Немиричей: Кузьмичи, Добрынь и Медведное по традиции ещё на рубеже XVI—XVII вв. считались составной частью добр тех самых Котчищ.[45] Котчище – это место, удобное для установки котцов, то есть eзов[46], а ез (яз) — место в реке, перегороженное перевязанным между собою частоколом для ловли рыбы.[47]
Привилей киевского воеводы Мартина Гаштольда Микуле Невмирицкому от 30 апреля 1474 года в «Потверженье привилею Немирицкихъ, шляхты киевские, на их имение Невмирицкое» от 8 января 1591 года (НИАБ, ф. КМФ-18, оп. 1, Дело 197, Лист 33).
пошел нахуй
ух
Ня
Несмотря на мои 37 яб не стал
Блятб, елеватор еще не сдох?
Постим свои ёбла, рейтим чужие, тян приветствуются.