Добавлена поддержка Ежчана (
ejchan.net,
ejchan.site). Набегаем, тестируем архивацию,
сообщаем о замеченных проблемах.
К сожалению, значительная часть сохранённых до 2024 г. изображений и видео была потеряна (
подробности случившегося). Мы призываем всех неравнодушных
помочь нам с восстановлением утраченного контента!
https://github.com/openai/math/blob/main/CONTENTS.md
https://openai.com/index/sharing-ai-progress-in-mathematics/
Вот лишь некоторые из работ для понимания:
Квазигипотеза Римана
Заявлено отсутствие нулей у всех L-функций Дирихле, включая zeta(s), при Re(s) > 7/8. То же заявлено для L-функций Гекке конечного порядка над Q(√−3). Рядом лежат препринт с другим доказательством для более слабой области Re(s) > 11/12 и работа про равномерное исключение нулей Ландау - Зигеля. Это ещё не полная гипотеза Римана, но прежние результаты оставляли сужающуюся с ростом высоты полоску у края, а фиксированной зоны без нулей не было. Нахождение фиксированной свободной от нулей полосы шириной 1/8 считается фундаментальным сдвигом в аналитической теории чисел, которого не могли добиться больше века.
Продвижение по гипотезе Ходжа
Рациональная гипотеза Ходжа заявлена для любых комплексных CM-абелевых многообразий в любой размерности и коразмерности, а также для произвольных произведений проективных K3-поверхностей, с алгебраичностью соответствий Куги - Сатаке. Через теоремы Милна отсюда выводятся гипотеза Тейта для всех абелевых многообразий над конечными полями и стандартная гипотеза типа Ходжа для абелевых многообразий в любой характеристике. Именно эти следствия делают заявку особенно громкой. В геометрии это один из самых серьезных частных прорывов за последние десятилетия.
Гипотеза уникальных игр (UGC)
Доказана гипотеза Хота, а рядом даны прямые доказательства NP-трудности для Max-Cut лучше константы Гоеманса - Уильямсона и для Vertex Cover лучше 2. В Lean формулировка такая: для любых 0 < ε, δ < 1/2 существует полиномиальная детерминированная редукция 3-SAT к Unique Games (игры-сдвиги над F₂^s) с полнотой ≥ 1−ε и корректностью ≤ δ. По теореме Рагхавендры из UGC следует оптимальность базовой SDP-релаксации для любой Max-CSP. Для компьютер сайенс это один из самых важных результатов релиза: известные алгоритмы (Goemans–Williamson и др.) оптимальны при P != NP.
Гипотеза Бирча–Свиннертон-Дайера (BSD)
Заявлена полная формула для ведущего коэффициента ряда Тейлора BSD для эллиптических кривых над Q при условии, что коранг q-степенной группы Зельмера равен 0 или 1. Дополнительно - конечность группы Тейта–Шафаревича в этих случаях. В комбинации с доказательством гипотезы Голдфельда о распределении рангов квадратичных твистов они заявляют полную справедливость формулы BSD для множества плотности 1 среди всех квадратичных твистов любой эллиптической кривой над Q. Полное решение BSD при этом не заявлено, т.к. ранги ≥ 2 ещё не затронуты.
Полное решение гипотезы Малера
Решены симметричная и несимметричная гипотезы во всех размерностях, экстремумы - тела Ханнера и симплексы, случаи равенства классифицированы. Для симметричных тел ширина Громова произведения K × K° равна 4
Корреляции мультипликативных функций, Човла
Доказана "обычная" двухточечная гипотеза Човлы с оценкой O(X/(log X)^c) для функции Лиувилля и бинарная скорректированная гипотеза Эллиотта. Новизна в обычном, не логарифмическом усреднении: раньше был известен лишь логарифмический вариант (Тао, 2016).
Какея: 3D и 4D
Заявлено доказательство максимальной гипотезы Какея в размерности 3 и гипотезы о полной размерности Какея в размерности 4: любое множество в R^4, содержащее единичный отрезок в каждом направлении, имеет хаусдорфову размерность 4. Для гармонического анализа и геометрической теории меры это очень крупный прорыв.
Показатель сложности матричного умножения ω≤9/4=2.25
Заявлен крупнейший сдвиг в компьютер сайенс за десятилетия: константа матричного умножения над C опущена сразу с 2.371... до ровно 2.25. После 35 лет борьбы за тысячные доли после Копперсмита - Винограда такой прыжок называют "эффектом Боба Бимона". Предложена новая техника построения тензорных рангов, обходящая классические барьеры лазерного метода.
Дерандомизация логарифмической памяти: L=RL=BPL
В теории сложности заявлена полная дерандомизация вычислений с логарифмической памятью. Построены псевдослучайные генераторы критического порядка, доказывающие эквивалентность детерминированных и вероятностных логарифмических классов памяти как для односторонней, так и для двусторонней ошибки.
Умножение целых чисел быстрее O(n log n)
Заявлен детерминированный алгоритм, перемножающий два n-битных целых числа в худшем случае за время O(n(logn)^1−κ), где показатель сдвига равен фиксированной микроконстанте k=2^-182, на стандартной детерминированной многоленточной машине Тьюринга с конечным алфавитом. В 1971 году Арнольд Шёнхаге и Фолькер Штрассен выдвинули гипотезу, что барьер O(n log n) является фундаментальным нижним пределом сложности умножения целых чисел. В 2019–2021 годах Дэвид Харви и Йорис ван дер Хувен закрыли верхнюю границу, построив алгоритм ровно за O(n log n), и большинство специалистов сходилось во мнении, что быстрее умножать невозможно. Решение опровергает полувековую гипотезу Шёнхаге - Штрассена в классической бит-модели.