Я выложу несколько сюжетов из математики.
Классификация поверхностей.
(Топологическая, компактных)
Берем поверхность и разрезаем на конечное число многоугольников. Запоминаем как мы разрезали и сейчас будем склеивать.
Представляем себе не многоугольники, а сферы с дырками.
(Это те же многоугольники, «вывернутые», ну вы поняли)
(Топологическая, компактных)
Берем поверхность и разрезаем на конечное число многоугольников. Запоминаем как мы разрезали и сейчас будем склеивать.
Представляем себе не многоугольники, а сферы с дырками.
(Это те же многоугольники, «вывернутые», ну вы поняли)
Сначала мы рассмотрим случай, когда лишних сторон на дырках нет.
Если склеиваемые стороны на одной дыре (два варианта).
Второй, возможно, нуждается в пояснении. Это проективная плоскость (в виде сферы с отождествленными противоположными точками), которая вклеена по красной окружности.
Если склеиваемые стороны на одной дыре (два варианта).
Второй, возможно, нуждается в пояснении. Это проективная плоскость (в виде сферы с отождествленными противоположными точками), которая вклеена по красной окружности.
Если склеиваемые стороны на двух разных дырах, но эти дыры на одной связной компоненте (тоже два варианта).
Я буду называть их ручка и ручка клейна.
Я буду называть их ручка и ручка клейна.
Наконец, если две дыры на разных компонентах, то просто соединяем их трубочкой.
Возможно, предварительно вывернув одну сферу наизнанку.
Возможно, предварительно вывернув одну сферу наизнанку.
К сферам может быть присобачено ещё что-нибудь, это ни на что не влияет.
Итого, что мы получаем. На каждом шаге получаются сферы с дырками, ручками, ручками клейна и проективными плоскостями. Таким образом мы можем последовательно отождествлять стороны пока они не закончатся и в итоге получим это.
Итого, что мы получаем. На каждом шаге получаются сферы с дырками, ручками, ручками клейна и проективными плоскостями. Таким образом мы можем последовательно отождествлять стороны пока они не закончатся и в итоге получим это.
Стоп, а если на дырках есть другие стороны? Эти стороны просто соединятся в новые дырки.
Дырки можно двигать по связным компонентам как угодно, так что не важно, что они на ручке, проективной плоскости итд.
Дырки можно двигать по связным компонентам как угодно, так что не важно, что они на ручке, проективной плоскости итд.
Одна из сторон может выродится (то есть ее может не быть), тогда будет как-то так.
То есть теперь точно получились сферы с дырками, ручками, ручками клейна и проективными плоскостями.
Ручка клейна = 2 проективные плоскости.
Доказательство: склейте сначала горизонтальные, затем вертикальные стороны этой дырки, потом наоборот.
Доказательство: склейте сначала горизонтальные, затем вертикальные стороны этой дырки, потом наоборот.
В присутствии проективной плоскости «Одинаковые но по-разному ориентированные» дырки эквивалентны, так как можно переместить дырку на проективную плоскость и прокрутить — она «поменяет ориентацию».
Убираем ручки клейна превращая их в проективные плоскости. В итоге остануться только проективные плоскости и ручки. Если проективных плоскостей ненулевое число превращаем ручки в ручки клейна изменив ориентацию отверстий, ручки клейна затем снова превращаем в проективные плоскости.
Итог: останутся или только ручки или только проективные плоскости.
Эти случаи различаются эйлеровой характеристикой и ориентируемостью.
the end
Итог: останутся или только ручки или только проективные плоскости.
Эти случаи различаются эйлеровой характеристикой и ориентируемостью.
the end
Инверсия переводит окружности в окружности.
Доказательство в 3 пункта.
1. Инверсия и стереографическая проекция.
Стереографическая проекция переводит инверсию в отражение сферы относительно экваториальной плоскости. Доказательство: подобие треугольников на картинке.
Доказательство в 3 пункта.
1. Инверсия и стереографическая проекция.
Стереографическая проекция переводит инверсию в отражение сферы относительно экваториальной плоскости. Доказательство: подобие треугольников на картинке.
2. Если взять прямой конус на эллипсе и наклонять эллипс (как сечение конуса) в сторону маленькой полуоси она начнет удлиняться и в какой-то момент по непрерывности получится окружность. То же самое, если симметрично наклонять его в противоположную сторону.
Более-менее очевидно, что все косые конусы на окружности получаются таким образом.
Более-менее очевидно, что все косые конусы на окружности получаются таким образом.
3. При стереографической проекции для окружностей на сфере возникает та же ситуация, что и в пункте 2: два симметрично наклоненных сечения конуса, одно из которых — окружность, значит и другое — окружность.
Углы 1 и 2 равны как «скрещивающиеся при параллельных», углы 2 и 3 — как опирающиеся на одну и ту же дугу.
Значит стереографическая проекция сохраняет окружности (в частности инфинитезимальные, то есть она конформна), поэтому инверсия — тоже.
Углы 1 и 2 равны как «скрещивающиеся при параллельных», углы 2 и 3 — как опирающиеся на одну и ту же дугу.
Значит стереографическая проекция сохраняет окружности (в частности инфинитезимальные, то есть она конформна), поэтому инверсия — тоже.
Картинка к предыдущему.
Так же следует отметить, что у этих круглых сечений конуса центры не на оси конуса (рисунок) и не проецируются в друг друга. Поэтому инверсия не переводит центры окружностей в центры окружностей. Арнольд использовал это явление как доказательство того, что центр окружности нельзя построить одной линейкой. Более того, видно что эти преобразования (проективные, сохраняющие окружность) транзитивны (центр может быть переведен в любую точку внутри круга). Это симметрии плоскости Лобачевского в модели клейна.
Формулы определяющие удвоение (в частности, последовательно дающие из вещественных чисел комплексные, затем кватернионы, затем октонионы). В книге Конвея и Смита приводится длинная формула, которую невозможно запомнить, вот это она, только записанная нормально и запоминаемая за секунду.
Школьная теорема про угол, опирающийся на дугу (использовалась выше).
Мне больше школьного нравится такое доказательство: угол α равен углу, на который повернулся вектор, а это половина дуги. Общий случай очевидным образом следует отсюда по аддитивности.
Мне больше школьного нравится такое доказательство: угол α равен углу, на который повернулся вектор, а это половина дуги. Общий случай очевидным образом следует отсюда по аддитивности.
ОП, вопрос тебе.
А нахуя мне это вот все нужно?
Ты рушишь систему, но взамен даёшь какие-то обрывки какой-то информации, которую неизвестно к чему приложить
Что это, откуда, зачем? Я ничего не понял.
А нахуя мне это вот все нужно?
Ты рушишь систему, но взамен даёшь какие-то обрывки какой-то информации, которую неизвестно к чему приложить
Что это, откуда, зачем? Я ничего не понял.
>>1227
>Я ничего не понял.
Я тоже.
Я никакую систему не рушу, о чем речь?
Предлагается сдвинуть обсуждение с перекидывания ссылок на создание хотя бы каких-то текстов. Вообще, в рамках интернет-среды.
Сейчас в интернете представлено довольно много ресурсов для обучения, доступных бесплатно (и легально и не совсем). В смысле книги, видеозаписи итд. Но подавляющее большинство этих ресурсов созданы не в интернете, а в универститетской/школьной среде. Какое-то сетевое творчество, творчество анона, например, в этой среде отсутствует напроч.
Это удивительно контрастирует с ситуацией в программировании, где интернет что-то может, есть реальные обсуждения, тексты, деятельность.
Я просто предлагаю двигаться в таком направлении.
Тексты выше — наспех записанные мысли по поводу разных разрозненных вещей.
Можно считать, что это вместо бампа.
>Я ничего не понял.
Я тоже.
Я никакую систему не рушу, о чем речь?
Предлагается сдвинуть обсуждение с перекидывания ссылок на создание хотя бы каких-то текстов. Вообще, в рамках интернет-среды.
Сейчас в интернете представлено довольно много ресурсов для обучения, доступных бесплатно (и легально и не совсем). В смысле книги, видеозаписи итд. Но подавляющее большинство этих ресурсов созданы не в интернете, а в универститетской/школьной среде. Какое-то сетевое творчество, творчество анона, например, в этой среде отсутствует напроч.
Это удивительно контрастирует с ситуацией в программировании, где интернет что-то может, есть реальные обсуждения, тексты, деятельность.
Я просто предлагаю двигаться в таком направлении.
Тексты выше — наспех записанные мысли по поводу разных разрозненных вещей.
Можно считать, что это вместо бампа.
Любые попытки обсудить или запилить что-то интересное в интернете часто упираются в невидимую стену — недостаток образования.
Многие испытывают трудности в школе, но им что-то интересно.
Есть много тех кого отчислили, но им опять что-то интересно.
Люди, которые в оппозиции к системе.
Часто бывает так, что кто-то обнаружил что-то интересное, но не может это обсудить.
... ...
Короче, я предлагаю изменить отношение к знаниям в интернете. Когда кому-то что-то нужно, но собеседник этого не знает, например, тупо ему это рассказывать или давать ссылку на конкретный текст, посвященный именно этому и свободно доступный в интернете.
То есть изменить ментальность — ПРЕДСТАВИТЬ, ЧТО ШКОЛ И УНИВЕРСИТЕТОВ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Это всё для маргиналов.
Многие испытывают трудности в школе, но им что-то интересно.
Есть много тех кого отчислили, но им опять что-то интересно.
Люди, которые в оппозиции к системе.
Часто бывает так, что кто-то обнаружил что-то интересное, но не может это обсудить.
... ...
Короче, я предлагаю изменить отношение к знаниям в интернете. Когда кому-то что-то нужно, но собеседник этого не знает, например, тупо ему это рассказывать или давать ссылку на конкретный текст, посвященный именно этому и свободно доступный в интернете.
То есть изменить ментальность — ПРЕДСТАВИТЬ, ЧТО ШКОЛ И УНИВЕРСИТЕТОВ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Это всё для маргиналов.
>>1229
Но ведь для этого существует гугл.
Умение гуглить покрывает все вот это вот. Информацию найти не проблема сейчас, проблема в том, что это никому не нужно, нужны мемы
Но ведь для этого существует гугл.
Умение гуглить покрывает все вот это вот. Информацию найти не проблема сейчас, проблема в том, что это никому не нужно, нужны мемы
Определения непрерывности и предела:
Отображение называется непрерывным в точке, если для любой окрестности образа этой точки существует окрестность самой точки, которая в неё отображается.
Пределом отображения в точке называется значение, которое нужно придать отображению в этой точке, чтобы оно стало непрерывным в этой точке.
А как в это вписывается предел последовательности? Берем топологию, изображенную на рисунке.
Отображение называется непрерывным в точке, если для любой окрестности образа этой точки существует окрестность самой точки, которая в неё отображается.
Пределом отображения в точке называется значение, которое нужно придать отображению в этой точке, чтобы оно стало непрерывным в этой точке.
А как в это вписывается предел последовательности? Берем топологию, изображенную на рисунке.
>>1233
Примерно за тем же, зачем нужно свободное ПО, когда есть проприетарное.
И не в конкретном треде дело, а в привлечении внимания к (и даже просто постановке вопроса) «либерализации» образования.
Например, такая задача.
Представим себе условного маргинала, который по каким-то причинам отрезан от всей образовательной инфраструктуры (школы+университеты).
В мире, в котором он живёт, для подавляющего большинства «хорошей» работы нужен определенный багаж знаний. Задача в том, чтобы обеспечить ему возможность получить его, насколько это возможно.
Или, например, у него есть ребенок. Он хочет ему дать знания более-менее эквивалентные тому, что даётся в школе. Выбор материалов у него небольшой. Надо сделать его большим и гибким. Итд.
Создать банк материалов, которые можно использовать в отрыве от текущей инфраструктуры, а не вместе с ней.
Мне кажется, это очень важно, чтобы появились такие материалы и такая культура.
Примерно за тем же, зачем нужно свободное ПО, когда есть проприетарное.
И не в конкретном треде дело, а в привлечении внимания к (и даже просто постановке вопроса) «либерализации» образования.
Например, такая задача.
Представим себе условного маргинала, который по каким-то причинам отрезан от всей образовательной инфраструктуры (школы+университеты).
В мире, в котором он живёт, для подавляющего большинства «хорошей» работы нужен определенный багаж знаний. Задача в том, чтобы обеспечить ему возможность получить его, насколько это возможно.
Или, например, у него есть ребенок. Он хочет ему дать знания более-менее эквивалентные тому, что даётся в школе. Выбор материалов у него небольшой. Надо сделать его большим и гибким. Итд.
Создать банк материалов, которые можно использовать в отрыве от текущей инфраструктуры, а не вместе с ней.
Мне кажется, это очень важно, чтобы появились такие материалы и такая культура.
Можно будет на совсем другом уровне говорить о независимости от государства и снижении роли государства. Это темы очень популярные, но почему-то никто не акцентирует внимание на том, что пока нет независимого свободного образования — это пустое кукарекание. Напротив, если оно будет — это станет вполне реально.
>>1235
Есть немало же разных видосиков с лекциями на ютубе, всякие бесплатные курсы по каким-то дисциплинам, некоторые забугорные универы выкладывают материалы своих курсов.
В чем фича-то?
Есть немало же разных видосиков с лекциями на ютубе, всякие бесплатные курсы по каким-то дисциплинам, некоторые забугорные универы выкладывают материалы своих курсов.
В чем фича-то?
>>1236
Большая децентрализованность.
В том, чтобы самим писать, а не только слушать.
До тех пор, пока этого нет, ни о какой независимости не может быть и речи.
Большая децентрализованность.
В том, чтобы самим писать, а не только слушать.
До тех пор, пока этого нет, ни о какой независимости не может быть и речи.
Интересная симметрия в теорема Паппа:
Во-первых, если стартовать с любых двух прямых из отмеченных трёх, третяя получается с помощью вписанного шестиугольника. Во-вторых, симметрия, изображенная на рисунке.
Во-первых, если стартовать с любых двух прямых из отмеченных трёх, третяя получается с помощью вписанного шестиугольника. Во-вторых, симметрия, изображенная на рисунке.
>>1234
>Задача в том, чтобы обеспечить ему возможность получить его, насколько это возможно.
Ну в айти многие уже пользуются таким. Прошел туториал по клепанию сайтов - стал фрилансером.
Тут проблема не в самих знаниях и институтах, а в работодателях и валидации проф. способностей. Сам подумай без юношеского максимализма - кому нужен маргинал, который неизвестно откуда пришел и вообще не понятно кто. Это может быть большим риском брать такого человека на какую-то серьезную разработку. Из-за низкой социальной ответственности он может наебать, а то и вообще что-то разрушить.
>>1237
>чтобы самим писать
Фича ради фичи - такое себе.
>ни о какой независимости не может быть и речи.
Скачай себе все торренты, лекции с ютуба и курсер - будет тебе независимость.
>Задача в том, чтобы обеспечить ему возможность получить его, насколько это возможно.
Ну в айти многие уже пользуются таким. Прошел туториал по клепанию сайтов - стал фрилансером.
Тут проблема не в самих знаниях и институтах, а в работодателях и валидации проф. способностей. Сам подумай без юношеского максимализма - кому нужен маргинал, который неизвестно откуда пришел и вообще не понятно кто. Это может быть большим риском брать такого человека на какую-то серьезную разработку. Из-за низкой социальной ответственности он может наебать, а то и вообще что-то разрушить.
>>1237
>чтобы самим писать
Фича ради фичи - такое себе.
>ни о какой независимости не может быть и речи.
Скачай себе все торренты, лекции с ютуба и курсер - будет тебе независимость.
Нарисовать картинку с логическими элементами и защёлками?
Да не, фигня какая-то получается. У меня даже графического планшета нема, чтобы всё красиво оформить.
А вообще классно было бы порисовать.
Хотя, можно рисовать на бумаге и сканить принтером, может быть? Навыки в рисовании поднимутся.
Если смогу совладать со сканером, то можно будет сканировать.
Хотя, можно рисовать на бумаге и сканить принтером, может быть? Навыки в рисовании поднимутся.
Если смогу совладать со сканером, то можно будет сканировать.
Ещё один интересный вид деятельности — делать содержания к лекциям. Это особенно актуально для больших курсов, там это реально необходимо. Попробую.
Сначала общие замечания к курсу. Лектор рассказывает медленно, обращает много внимания на терминологию и обозначения, делает очень много отступлений. Мелкие отступления в содержании отражаться не будут.
Лекция 1, высшая алгебра, Николай Вавилов, лекторум.тв
0:00
История решения алгебраических уравнений.
30:40
Алгебра в 20 веке.
37:15
План всего курса.
53:00
Алгебраические операции (ассоциативность, коммутативность, обратные итд).
1:27:07
Конец.
Сначала общие замечания к курсу. Лектор рассказывает медленно, обращает много внимания на терминологию и обозначения, делает очень много отступлений. Мелкие отступления в содержании отражаться не будут.
Лекция 1, высшая алгебра, Николай Вавилов, лекторум.тв
0:00
История решения алгебраических уравнений.
30:40
Алгебра в 20 веке.
37:15
План всего курса.
53:00
Алгебраические операции (ассоциативность, коммутативность, обратные итд).
1:27:07
Конец.
Лекция 1. История, план курса, алгебраические операции и тождества.
0:00
История решения алгебраических уравнений.
30:40
Алгебра в 20 веке.
37:15
План всего курса.
53:00
Алгебраические операции (определения, мультипликативная и аддитивная запись, ассоциативность, коммутативность, обратные...)
1:27:07
Лекция 2. Моноиды и группы, гомоморфизмы.
0:00
Примеры неассоциативных операций.
5:05
Тожество Якоби.
7:35
Определение моноида.
11:06
Примеры моноидов, определение полугруппы.
22:45
Сокращение. Регулярные слева и регулярные справа элементы. Связь обратимости с регулярностью.
33:30
Определение группы.
46:12
Обратный к произведению — произведение обратных в обратном порядке.
49:25
Свойства сокращения и деления в группах. Упоминание квазигрупп и латинских квадратов.
54:13
Группа Гротендика и гомологическая алгебра в начальной школе.
58:00
Примеры групп (циклическая, диэдральная, симметрическая, аддитивные и мультипликативные группы числовых систем, группа углов). Определение абелевой группы.
1:26:50
Определение гомоморфизма групп. Экспонента и логарифм как примеры гомоморфизмов. Изо эпи авто эндо морфизмы. Антигомоморфизмы.
1:32:11
Лекция 3. Определение и примеры колец.
0:00
Определение кольца. Ассоциативное кольцо, коммутативное кольцо, тело.
18:30
Определение поля.
22:30
Примеры колец.
Определние делителей нуля и нильпотентов.
51:40
Следствия из аксиом кольца.
1:01:25
Простейшие конструкции (многочлены, матрицы).
1:23:00
Непример кольца — многочлены относительно композиции.
1:29:57
0:00
Определение кольца. Ассоциативное кольцо, коммутативное кольцо, тело.
18:30
Определение поля.
22:30
Примеры колец.
Определние делителей нуля и нильпотентов.
51:40
Следствия из аксиом кольца.
1:01:25
Простейшие конструкции (многочлены, матрицы).
1:23:00
Непример кольца — многочлены относительно композиции.
1:29:57
Не знаю, есть ли смысл выкладывать это сюда. Возможно, сначала закончу, потом выложу ссылку на что-то вроде pastebin.
Ребус — что изображено на рисунке?
Подсказка — это система корней.
Подсказка — это система корней.
Символ Шлефли — конечная последовательность чисел в фигурных скобках, вроде {3, 4, 3}. Присваивается правильному многограннику.
Свойства (а заодно и определение):
Символ Шлефли правильного n-угольника — {n}.
Начальный кусок символа Шлефли — символ Шлефли грани соответствующей размерности.
При переходе к дуальному символ Шлефли отражается (в смысле {1, 2, 3} <—> {3, 2, 1}).
Примеры: додекаэдр {5, 3} и икосаэдр {3, 5}.
Работает не только для правильных замощений сферы (правильных многогранников), но и для правильных замощений евклидового и гиперболического пространства.
Еще можно {5/2} — пентаграмма, и вообще, много обобщений.
Свойства (а заодно и определение):
Символ Шлефли правильного n-угольника — {n}.
Начальный кусок символа Шлефли — символ Шлефли грани соответствующей размерности.
При переходе к дуальному символ Шлефли отражается (в смысле {1, 2, 3} <—> {3, 2, 1}).
Примеры: додекаэдр {5, 3} и икосаэдр {3, 5}.
Работает не только для правильных замощений сферы (правильных многогранников), но и для правильных замощений евклидового и гиперболического пространства.
Еще можно {5/2} — пентаграмма, и вообще, много обобщений.
Есть математическая книжечка/etc, в котрой просто описаны назначения разных символов сумма, интеграл, опертор набла, логарифм, их свойства и примеры решений некоторых задач, возможно с большим уклоном к практическим примерам посчитать площадь поверхности параболического стакана, например?
>>1255
Грани додекаэдра - пятиугольники, поэтому символ додекадра - {5, x}. Найдем x. Дуальный к додекаэдру - икосаэдр, значит у него символ {x, 5}. С другой стороны, у икосаэдра грани - треугольники, поэтому x=3.
Что тут можно не понять - не представляю.
Грани додекаэдра - пятиугольники, поэтому символ додекадра - {5, x}. Найдем x. Дуальный к додекаэдру - икосаэдр, значит у него символ {x, 5}. С другой стороны, у икосаэдра грани - треугольники, поэтому x=3.
Что тут можно не понять - не представляю.
Может лицензию свою придумаем?
А заодно и соберём все эти знания в одну единую базу данных, с зависимостями типа чтобы знать одно, надо знать другое и напишем ПО для использования этого?
А заодно и соберём все эти знания в одну единую базу данных, с зависимостями типа чтобы знать одно, надо знать другое и напишем ПО для использования этого?
А ведь действительно, давайте так сделаем. Пусть будет база данных со сжатием, с разными языками, с картинками и прочими файлами. И со связями, чтобы знать, что нужно выучить, прежде чем браться за новое. Грубо говоря, чтобы учить алгебру, надо сначала выучить арифметику. А если не так грубо, то чтобы выучить квадратные уровнения, надо сначала выучить сложение, вычитание, умножение деление корень степень переменные. А чтобы выучить степень, надо выучить умножение, для которого требуется сложение и так далее.
В общем почти как википедия, только более ориентированная на обучение. И можно добавить лицензию, авторство к статьям.
Ну что, будет кто-то этим заниматься? Я могу попробовать запилить ГУИшную программу, чтоб как браузер, но общается с этой базой данных.
Только в таком случае, пообещайте мне, что будете пополнять эту базу данных.
Ах да, надо ещё и определить, что можно в неё добавлять. Не будем же мы туда класть знания о том, как Вася Пупкин хорошенько так подрочил 25 марта 2018 года. И кто такие Эльдары из Вархаммера не будем класть. Зато будем класть знания про дрочку, про её виды, про последствия, технологии и видео для ознакомления. И рекомендации по придумыванию хорошего сеттинга можно положить.
В общем почти как википедия, только более ориентированная на обучение. И можно добавить лицензию, авторство к статьям.
Ну что, будет кто-то этим заниматься? Я могу попробовать запилить ГУИшную программу, чтоб как браузер, но общается с этой базой данных.
Только в таком случае, пообещайте мне, что будете пополнять эту базу данных.
Ах да, надо ещё и определить, что можно в неё добавлять. Не будем же мы туда класть знания о том, как Вася Пупкин хорошенько так подрочил 25 марта 2018 года. И кто такие Эльдары из Вархаммера не будем класть. Зато будем класть знания про дрочку, про её виды, про последствия, технологии и видео для ознакомления. И рекомендации по придумыванию хорошего сеттинга можно положить.
>>1260
>сертификаты окончания курса
Я имел ввиду лицензию по использованию текста и прочего, что написал автор. Как в СПО. Типа "Этот текст можно свободно распространять и блаблабла"
>Гугл
гугл сеарч — просто поисковик. И ищёт он в последнее время очень плохо. Но это не время такое, просто я стал гуглить более сложные вопросы. Хотя всё-равно, бывает я ищу одно, а он выдаёт другое и снизу предлагаемого результат выдаёт "відсутні:зачёркнутое слово"
И гугл это всё-таки не база данных универсальных или "полууниверсальных" знаний, это действительно просто поисковик и через него можно найти любое говно и теперь что, каждому человеку по 100 раз искать крупицу золота, как на пикрилейтеде?
Я действительно готов запилить ПО, если вы напишете достаточно таких коротких записей про те самые универсальные математика, физика, программирование ОС или полууниверсальные анатомия Человека, системное администрирование Линукса [spoiler]мб?[/spoiler], придумаете систему зависимостей знаний и про лицензии подумаете, если они вам вообще нужны.
Кстати, если формат будет похож на википедийные статьи, то можно использовать форматирование текста как в ман-страницах, но с картинками, видео, графиками и ещё чем-нибудь.
>сертификаты окончания курса
Я имел ввиду лицензию по использованию текста и прочего, что написал автор. Как в СПО. Типа "Этот текст можно свободно распространять и блаблабла"
>Гугл
гугл сеарч — просто поисковик. И ищёт он в последнее время очень плохо. Но это не время такое, просто я стал гуглить более сложные вопросы. Хотя всё-равно, бывает я ищу одно, а он выдаёт другое и снизу предлагаемого результат выдаёт "відсутні:
И гугл это всё-таки не база данных универсальных или "полууниверсальных" знаний, это действительно просто поисковик и через него можно найти любое говно и теперь что, каждому человеку по 100 раз искать крупицу золота, как на пикрилейтеде?
Я действительно готов запилить ПО, если вы напишете достаточно таких коротких записей про те самые универсальные математика, физика, программирование ОС или полууниверсальные анатомия Человека, системное администрирование Линукса [spoiler]мб?[/spoiler], придумаете систему зависимостей знаний и про лицензии подумаете, если они вам вообще нужны.
Кстати, если формат будет похож на википедийные статьи, то можно использовать форматирование текста как в ман-страницах, но с картинками, видео, графиками и ещё чем-нибудь.
Многогранник D4 (то есть {3, 4, 3}). Нарисованы его вершины и две грани — октаэдры. Остальные получаются циклической симметрией рисунка.
Я, кстати, не отвечаю за 100% корректность того, что выкладываю — как и нужно.
Я, кстати, не отвечаю за 100% корректность того, что выкладываю — как и нужно.
Куб, вписанный в додекаэдр.
Икосаэдр, вписанный в октаэдр (стороны делятся в золотом сечении).
Тетраэдр, вписанный в куб.
Октаэдр, вписанный в тетраэдр.
Это все совместимо с дуальностью, то есть картинки делятся на две дуальные пары.
То есть, если вложить икосаэдр в октаэдр в тетраэдр в куб в додекаэдр — это все симметрично относительно дуальности-инверсии (эту последовательность вложенных многогранников Конвей называет космограммой).
Икосаэдр, вписанный в октаэдр (стороны делятся в золотом сечении).
Тетраэдр, вписанный в куб.
Октаэдр, вписанный в тетраэдр.
Это все совместимо с дуальностью, то есть картинки делятся на две дуальные пары.
То есть, если вложить икосаэдр в октаэдр в тетраэдр в куб в додекаэдр — это все симметрично относительно дуальности-инверсии (эту последовательность вложенных многогранников Конвей называет космограммой).
Кстати, если кто-то считает, что правильные многогранники — это несерьёзно — очень зря. Например, в классификации Берже исключительным многообразиям соответствуют исключительные группы голономии, транзитивно действующие на сфере, а это как раз соответствует правильным многогранникам.
Например: https://m.youtube.com/watch?v=CiYvUboEKUQ
(Тут он не говорит про многогранники, но, имхо, связь очевидна).
Например: https://m.youtube.com/watch?v=CiYvUboEKUQ
(Тут он не говорит про многогранники, но, имхо, связь очевидна).
Кстати, поделюсь интересными книжками. Эти имеет некоторое отношение к треду, так как связано со свежими подходами к образованию.
http://lib.slon.pp.ru/Математика/Mathematica/Mathematica%20для%20нематематика.pdf
http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/pub_fremdsprachen/englisch.html
http://www.mathesis.ru/book/lakur1
Пик нерелейтед.
http://lib.slon.pp.ru/Математика/Mathematica/Mathematica%20для%20нематематика.pdf
http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/pub_fremdsprachen/englisch.html
http://www.mathesis.ru/book/lakur1
Пик нерелейтед.
Kunstformen der Natur Геккеля
Совсем не по теме, просто очень красиво.
http://caliban.mpipz.mpg.de/haeckel/kunstformen/liste.html
Совсем не по теме, просто очень красиво.
http://caliban.mpipz.mpg.de/haeckel/kunstformen/liste.html
Простота группы A5.
Подразумевается:
а) знание того, что такое знакопеременная группа
б) реальное понимание того, что такое нормальная подгруппа
Доказательство в два шага:
1) простота группы вращений додекаэдра
2) вращения додекаэдра = A5
Вращения додекаэдра состоят из вращений порядка 5, соответствующих двумерным граням, вращений порядка 2, соответствующих одномерным граням и вращений порядка 3, соответствующих нульмерным граням.
Если нормальная подгруппа содержит вращение какого-то из этих трех классов (порядка 2, порядка 3, порядка 5), то она содержит все вращения этого класса. Это очевидно (это то место, где требуется реальное понимание того, что такое нормальная подгруппа).
Выведем отсюда, что она содержит вообще все вращения.
Вращения порядка 3, порядка 2 и порядка 5 связаны соотношением.
Если выполнить вращение порядка 5, затем вращение порядка 3, затем вращение порядка 2, указанные на рисунке, то направленное ребро, указанное на рисунке красным, перейдет в себя. Значит, получится тождественное преобразование.
Значит, получив преобразования любых двух классов мы получим и третий, а значит и все преобразования.
Подразумевается:
а) знание того, что такое знакопеременная группа
б) реальное понимание того, что такое нормальная подгруппа
Доказательство в два шага:
1) простота группы вращений додекаэдра
2) вращения додекаэдра = A5
Вращения додекаэдра состоят из вращений порядка 5, соответствующих двумерным граням, вращений порядка 2, соответствующих одномерным граням и вращений порядка 3, соответствующих нульмерным граням.
Если нормальная подгруппа содержит вращение какого-то из этих трех классов (порядка 2, порядка 3, порядка 5), то она содержит все вращения этого класса. Это очевидно (это то место, где требуется реальное понимание того, что такое нормальная подгруппа).
Выведем отсюда, что она содержит вообще все вращения.
Вращения порядка 3, порядка 2 и порядка 5 связаны соотношением.
Если выполнить вращение порядка 5, затем вращение порядка 3, затем вращение порядка 2, указанные на рисунке, то направленное ребро, указанное на рисунке красным, перейдет в себя. Значит, получится тождественное преобразование.
Значит, получив преобразования любых двух классов мы получим и третий, а значит и все преобразования.
Выполнение подряд двух преобразований порядка 5, изображенных на рисунке (сами догадайтесь, в каком порядке) сохраняет отмеченную вершину и нетривиально, значит это вращение порядка три.
Аналогично из вращений порядка 3 получается вращение порядка 5 (это то же самое, только для дуального многогранника).
Выполнив два вращения порядка 2, вокруг осей, отмеченных на рисунке, передняя (отмеченная) грань перейдет в заднюю, потом обратно. Значит она перейдет в себя, получается преобразование порядка 5.
Простота вращений додекаэдра доказана.
Пять вписанных в додекаэдр кубов (отвечающих пяти диагоналям грани додекаэдра) определяют гомоморфизм вращений додекаэдра в перестановки 5 точек, очевидно, нетривиальный. Из простоты группы вращений додекаэдра следует, что это вложение. Если взять композицию этого гомоморфизма с гомоморфизмом знака, из простоты вращений додекаэдра следует, что она тривиальна, значит образ вращений додекаэдра лежит в знакопеременной группе, значит совпадает с ней из-за совпадения порядков.
Аналогично из вращений порядка 3 получается вращение порядка 5 (это то же самое, только для дуального многогранника).
Выполнив два вращения порядка 2, вокруг осей, отмеченных на рисунке, передняя (отмеченная) грань перейдет в заднюю, потом обратно. Значит она перейдет в себя, получается преобразование порядка 5.
Простота вращений додекаэдра доказана.
Пять вписанных в додекаэдр кубов (отвечающих пяти диагоналям грани додекаэдра) определяют гомоморфизм вращений додекаэдра в перестановки 5 точек, очевидно, нетривиальный. Из простоты группы вращений додекаэдра следует, что это вложение. Если взять композицию этого гомоморфизма с гомоморфизмом знака, из простоты вращений додекаэдра следует, что она тривиальна, значит образ вращений додекаэдра лежит в знакопеременной группе, значит совпадает с ней из-за совпадения порядков.
>>1270
Второй и третий рисунок надо поменять местами, и
>передняя (отмеченная) грань
Она не отмечена.
Второй и третий рисунок надо поменять местами, и
>передняя (отмеченная) грань
Она не отмечена.
Замечание к параграфу 6 пункту 2 «размерность пересечения с гиперповерхностью» первой главы алгебраической геометрии Шафаревича.
Был слегка озадачен согласованностью тамошних теорем и сделал иллюстрацию.
Берем сечение параболического гиперболоида плоскостью и однополостного гиперболоида плоскостью (те, что нарисованы) и совмещаем эти две картинки, так, чтобы плоскости совпали и одна из прямых совпала. Тогда получится пересечение трёх гиперповерхностей, состоящее из нульмерной точки и одномерной прямой.
Был слегка озадачен согласованностью тамошних теорем и сделал иллюстрацию.
Берем сечение параболического гиперболоида плоскостью и однополостного гиперболоида плоскостью (те, что нарисованы) и совмещаем эти две картинки, так, чтобы плоскости совпали и одна из прямых совпала. Тогда получится пересечение трёх гиперповерхностей, состоящее из нульмерной точки и одномерной прямой.
Движение в центральном поле (коротко).
Для движения в радиально направленном поле верен второй закон Кеплера сохранения момента — нужно просто продифференцировать векторное произведение радиус-вектора и вектора скорости.
Теперь предположим, что поле полностью сферически симметрично. Оно очевидно потенциально (является градиентом функции). Обозначим расстояние до центра r, а эту функцию от r назовем исходной потенциальной энергией.
Посмотрим на круговую и радиальную компоненты скорости (немного странная терминология).
По второму закону Кеплера круговая компонента зависит только от r. Кинетическая энергия (соответственно скорости) тоже разделяется на две компонеты (по теореме Пифагора), причем круговая часть зависит только от r. Прибавив круговую часть кинетической энергии к исходной потенциальной энергии получим функцию от r, сумма которой с кин. энергией радиальной компоненты скорости постоянна. Короче, это потенциальная энергия для радиального движения, если смотреть на него как на движение на прямой.
Значит мы знаем dr/dt и dφ/dt как функции от r (φ — это угловая координата). Разделив их друг на друга получим dφ/dr как функцию от r, проинтегрировав получим φ(r), то есть орбиту.
Очень косноязычно или можно понять?
Для движения в радиально направленном поле верен второй закон Кеплера сохранения момента — нужно просто продифференцировать векторное произведение радиус-вектора и вектора скорости.
Теперь предположим, что поле полностью сферически симметрично. Оно очевидно потенциально (является градиентом функции). Обозначим расстояние до центра r, а эту функцию от r назовем исходной потенциальной энергией.
Посмотрим на круговую и радиальную компоненты скорости (немного странная терминология).
По второму закону Кеплера круговая компонента зависит только от r. Кинетическая энергия (соответственно скорости) тоже разделяется на две компонеты (по теореме Пифагора), причем круговая часть зависит только от r. Прибавив круговую часть кинетической энергии к исходной потенциальной энергии получим функцию от r, сумма которой с кин. энергией радиальной компоненты скорости постоянна. Короче, это потенциальная энергия для радиального движения, если смотреть на него как на движение на прямой.
Значит мы знаем dr/dt и dφ/dt как функции от r (φ — это угловая координата). Разделив их друг на друга получим dφ/dr как функцию от r, проинтегрировав получим φ(r), то есть орбиту.
Очень косноязычно или можно понять?
Гармоническая четверка.
При равномерном движении по окружности a = v^2 / r.
При равномерном движении по окружности вектор скорости равномерно вращается, с таким же периодом, как и радиус-вектор. Ускорение соотносится к скорости так же, как скорость к радиус-вектору, значит a / v = v / r, а это и есть искомая формула.
При равномерном движении по окружности вектор скорости равномерно вращается, с таким же периодом, как и радиус-вектор. Ускорение соотносится к скорости так же, как скорость к радиус-вектору, значит a / v = v / r, а это и есть искомая формула.
Уравнение движения маятника.
Нам нужно найти решение (ускорение = -смещение). При равномерном движении по окружности это выполняется, проецируя на прямую получаем решение на прямой.
Нам нужно найти решение (ускорение = -смещение). При равномерном движении по окружности это выполняется, проецируя на прямую получаем решение на прямой.
Мне это кажется очевидным. Максимальный идеал в A/m^n содержит нильпотенты => содержит m => равен m. Значит кольцо и так локальное, нет смысла локализовывать.
Жорданово разложение.
(Модуль с эндоморфизмом, зануляемым многочленом f) = (k[x]/f — модуль).
Разлагаем многочлен, затем по китайской теореме об остатках разлагаем кольцо k[x]/f, затем, так как модуль над прямой суммой = прямая сумма модулей над слагаемыми, разлагаем сам модуль.
Жорданово разложение на полупростую и нильпотентную часть доказано.
(Модуль с эндоморфизмом, зануляемым многочленом f) = (k[x]/f — модуль).
Разлагаем многочлен, затем по китайской теореме об остатках разлагаем кольцо k[x]/f, затем, так как модуль над прямой суммой = прямая сумма модулей над слагаемыми, разлагаем сам модуль.
Жорданово разложение на полупростую и нильпотентную часть доказано.
>>1246
Можно и просто фотографировать.
Кстати, я был бы рад слышать, что есть хотя бы кто-то, кто извлек хотя-бы какую-то пользу из того, что я здесь выкладываю.
Можно и просто фотографировать.
Кстати, я был бы рад слышать, что есть хотя бы кто-то, кто извлек хотя-бы какую-то пользу из того, что я здесь выкладываю.
>>1282
>пользу из того, что я здесь выкладываю.
>какие-то разрозненные отрывки из физики за 5 класс и универской алгебры
Ну бля, братан, я даже не знаю.
>пользу из того, что я здесь выкладываю.
>какие-то разрозненные отрывки из физики за 5 класс и универской алгебры
Ну бля, братан, я даже не знаю.
>>1283
Не практической пользы, ясно дело.
Не знаю, хватит ли меня на что-то систематическое.
Думаю сделать какой-то ликбез по основным понятиям и идеям.
Кстати, тут кто-то с логическими элементами был, я думаю в целом это прекрасная идея — сделать учебник по архитектуре компьютера для школьников. Я в этом не разбираюсь, но на первый взгляд там ничего недоступного для них нет.
Не практической пользы, ясно дело.
Не знаю, хватит ли меня на что-то систематическое.
Думаю сделать какой-то ликбез по основным понятиям и идеям.
Кстати, тут кто-то с логическими элементами был, я думаю в целом это прекрасная идея — сделать учебник по архитектуре компьютера для школьников. Я в этом не разбираюсь, но на первый взгляд там ничего недоступного для них нет.
Категория — это граф с ориентированными рёбрами, для которых определена композиция. То есть для любых ребер a —> b и b —> c определена их композиция: a —> c. Она ассоциативна (композиция пути из стрелок не зависит от того, в каком порядке выполняется), и с каждой вершиной связана петля-единица a —> a, которая в композиции со всем, с чем может, действует как единица.
Ребра называются стрелками или морфизмами. Вершины называются объектами.
О категории можно думать как о частично определенной ассоциативной композиции, объекты можно отождествлять со своими тождественными морфизмами.
Ребра называются стрелками или морфизмами. Вершины называются объектами.
О категории можно думать как о частично определенной ассоциативной композиции, объекты можно отождествлять со своими тождественными морфизмами.
Если ab=ba=1
a и b называются (двусторонне) обратными друг другу. (a и b — это морфизмы, ab обозначает морфизм, который является композицией морфизмов a и b)
Категория, в которой все морфизмы обратимы (имеют обратные) называется группоидом. Группоид в котором только одна единица (один объект) называется группой.
Если в группе ab=ba для любых a и b, она называется коммутативной или абелевой и композиция обычно записывается не как ab, а как a+b.
Обратимые морфизмы называются изоморфизмы. Морфизмы, которые начинаются и заканчиваются в одном и том же объекте называются эндоморфизмами. Эндоморфмизм который является изоморфизмом называется автоморфизм.
Типичным примером категории является категория, в которой объектами являются множества, а морфизмами — отображения множеств. Отображение — это сопоставление каждому элементу одного фиксированного множества какого-то элемента другого фиксированного множества. Можно представлять множества как кучи точек, а отображения — как стрелки между ними (картинка). Если есть отображение из множества А в множество Б и отображение из множества Б в множество С, первое элементу а из А сопоставляет элемент б из Б, а второе элементу б из Б сопоставляет элемент с из С, то из композиция является отображением из А в С и элементу а из А сопоставляет элемент с из С.
Короче, композиция красного и синего отображения на рисунке — зеленое отображение.
a и b называются (двусторонне) обратными друг другу. (a и b — это морфизмы, ab обозначает морфизм, который является композицией морфизмов a и b)
Категория, в которой все морфизмы обратимы (имеют обратные) называется группоидом. Группоид в котором только одна единица (один объект) называется группой.
Если в группе ab=ba для любых a и b, она называется коммутативной или абелевой и композиция обычно записывается не как ab, а как a+b.
Обратимые морфизмы называются изоморфизмы. Морфизмы, которые начинаются и заканчиваются в одном и том же объекте называются эндоморфизмами. Эндоморфмизм который является изоморфизмом называется автоморфизм.
Типичным примером категории является категория, в которой объектами являются множества, а морфизмами — отображения множеств. Отображение — это сопоставление каждому элементу одного фиксированного множества какого-то элемента другого фиксированного множества. Можно представлять множества как кучи точек, а отображения — как стрелки между ними (картинка). Если есть отображение из множества А в множество Б и отображение из множества Б в множество С, первое элементу а из А сопоставляет элемент б из Б, а второе элементу б из Б сопоставляет элемент с из С, то из композиция является отображением из А в С и элементу а из А сопоставляет элемент с из С.
Короче, композиция красного и синего отображения на рисунке — зеленое отображение.
Морфизмом категории в категорию называется отображение из морфизмов одной категории в морфизмы другой категории, которое сохраняет все уравнения. То есть если аб=с и c переходит в С, а переходит в А, б переходит в Б, то АБ=С.
(Вообще, когда объекты являются множествами с какими-то алгебраическими операциями, то отображения, которые которые сохраняют уравнения обычно и являются морфизмами между ними и часто называются гомоморфизмами.)
То есть категории сами образуют категорию. На парадокс Рассела мы забьем.
(Парадокс Рассела: множества всех множеств, не являющихся своими элементами, не существует, так как если оно не свой элемент, то оно свой элемент, а если оно свой элемент, то оно не свой элемент. Значит, множества всех множеств не существует, так как иначе мы могли бы выделить в нем множество множеств, не являющихся своими элементами.)
(Гомо)морфизмы групп (в том числе и абелевых) — это их морфизмы как категорий.
(Вообще, когда объекты являются множествами с какими-то алгебраическими операциями, то отображения, которые которые сохраняют уравнения обычно и являются морфизмами между ними и часто называются гомоморфизмами.)
То есть категории сами образуют категорию. На парадокс Рассела мы забьем.
(Парадокс Рассела: множества всех множеств, не являющихся своими элементами, не существует, так как если оно не свой элемент, то оно свой элемент, а если оно свой элемент, то оно не свой элемент. Значит, множества всех множеств не существует, так как иначе мы могли бы выделить в нем множество множеств, не являющихся своими элементами.)
(Гомо)морфизмы групп (в том числе и абелевых) — это их морфизмы как категорий.
Если в категории для каждого множества морфизмов с фиксированным началом и концом определено сложение (то есть структура абелевой группы), дистрибутивное относительно композиции, она называется преаддитивной. Преаддитивная категория с одной единицей называется кольцом.
Морфизмы абелевых групп образуют преаддитивную категорию, определение сложения: (f+g)x=fx+gx (f и g — гомоморфизмы между абелевыми группами, x — элемент абелевой группы fx — образ элемента x под действием отображения f)...
Да ну, тягомотина какая-то. Смысл переписывать общедоступное.
Морфизмы абелевых групп образуют преаддитивную категорию, определение сложения: (f+g)x=fx+gx (f и g — гомоморфизмы между абелевыми группами, x — элемент абелевой группы fx — образ элемента x под действием отображения f)...
Да ну, тягомотина какая-то. Смысл переписывать общедоступное.
Посмотрел недавно на квадратные уравнения — это забавно.
(x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab
Решить квадратное уравнение — выразить a и b через a+b и ab.
Дискриминант = (a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2, как и должно быть.
a = ((a+b) + (a-b))/2
b = ((a+b) - (a-b))/2
(x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab
Решить квадратное уравнение — выразить a и b через a+b и ab.
Дискриминант = (a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2, как и должно быть.
a = ((a+b) + (a-b))/2
b = ((a+b) - (a-b))/2
Алсо, как быстро получить (и, следовательно, запомнить) дискриминант кубического уравнения.
x^3+px+q=0
3x^2+p=0
(корни сливаются — уравнение и его производная одновременно зануляются)
Из второго p=-3x^2, подставив в первое q=2x^3.
То есть (p/3)^3+(q/2)^2=0.
В такой форме он, кстати, очень симпатично выглядит.
x^3+px+q=0
3x^2+p=0
(корни сливаются — уравнение и его производная одновременно зануляются)
Из второго p=-3x^2, подставив в первое q=2x^3.
То есть (p/3)^3+(q/2)^2=0.
В такой форме он, кстати, очень симпатично выглядит.
Подумал немного о рациональной параметризации окружности.
Возьмем в качестве прямой на бесконечности касательную к окружности. Тогда окружность это парабола, рациональность которой очевидна.
Возьмем в качестве прямой на бесконечности касательную к окружности. Тогда окружность это парабола, рациональность которой очевидна.
Продолжу про многогранники.
Во-первых, забыл сказать, что картинки с >>1264 дают координаты вершин додекаэдра и икосаэдра.
Теперь о четырехмерных. Берем >>1263 и в каждую октаэдральную ячейку вписываем искосаэдр, как в >>1264.
Затем берем вершины дуального к исходному {3,4,3}, это середины искосаэдров, соединяем их с вершинами икосаэдров, тем самым разбивая их на тетраэдры. Грубо говоря, таким образом получается {3,3,5}, детали чуть позже.
Во-первых, забыл сказать, что картинки с >>1264 дают координаты вершин додекаэдра и икосаэдра.
Теперь о четырехмерных. Берем >>1263 и в каждую октаэдральную ячейку вписываем искосаэдр, как в >>1264.
Затем берем вершины дуального к исходному {3,4,3}, это середины искосаэдров, соединяем их с вершинами икосаэдров, тем самым разбивая их на тетраэдры. Грубо говоря, таким образом получается {3,3,5}, детали чуть позже.
Предыдущее описание было не совсем полным и не совсем верным по двум причинам.
1.
Вершины дуального {3,4,3} — это не середины икосаэдров/октаэдров. Если середину икосаэдра соединить с вершинами, полученные тетраэдры не будут правильными. В этом можно убедиться вот так:
Посмотрим на правильный шестиугольник. Как известно, после соединения его центра с вершинами получаются правильные треугольники (рисунок 1).
Теперь посмотрим на искосаэдр, его середину и косой шестиугольник из ребер (рисунок 2). По сравнению с плоским он симметрично деформирован «гармошкой» и (рисунок 3) должен показать, что равные стороны перестанут быть равными, а именно, радиальные будут меньше боковых. Это исправляется за счет того, что «середина» немного смещается в 4 измерение и радиальные ребра становятся длиннее.
То, что ребра дуального многогранника (если его, как и исходный, отнормировать, чтобы вершины лежали на единичной сфере) не являются серединами (в смысле объемлющего евклидового пространства) граней исходного многогранника можно убедиться посмотрев на обычные многогранники в трехмерном пространстве, впрочем это и так очевидно.
1.
Вершины дуального {3,4,3} — это не середины икосаэдров/октаэдров. Если середину икосаэдра соединить с вершинами, полученные тетраэдры не будут правильными. В этом можно убедиться вот так:
Посмотрим на правильный шестиугольник. Как известно, после соединения его центра с вершинами получаются правильные треугольники (рисунок 1).
Теперь посмотрим на искосаэдр, его середину и косой шестиугольник из ребер (рисунок 2). По сравнению с плоским он симметрично деформирован «гармошкой» и (рисунок 3) должен показать, что равные стороны перестанут быть равными, а именно, радиальные будут меньше боковых. Это исправляется за счет того, что «середина» немного смещается в 4 измерение и радиальные ребра становятся длиннее.
То, что ребра дуального многогранника (если его, как и исходный, отнормировать, чтобы вершины лежали на единичной сфере) не являются серединами (в смысле объемлющего евклидового пространства) граней исходного многогранника можно убедиться посмотрев на обычные многогранники в трехмерном пространстве, впрочем это и так очевидно.
2.
После запихивания икосаэдров в октаэдральные грани остаются пустоты. Это очевидно (рисунок 1, рядом с каждой вершиной октаэдра, то есть у синих ребер). Чтобы понять как они заполняются, посмотрим на то, как прилегают друг к другу октаэдральные ячейки в исходном {3,4,3}.
Из (рисунок 2) видно, что они прилегают к вершине «кубическим образом». Нарисуем это, вместе с релевантными вершинами вписанных искосаэдров и покажем, как они соединяются в тетраэдры (рисунок 3).
То есть один тетраэдр посередине (красный) и к каждой его грани прилегает еще один тетраэдр.
Таким образом заполняются все пустоты. Многогранник {3,3,5} (5 означает, что вокруг каждого ребра 5 тетраэдров {3,3}) завершен. Многогранник {5,3,3} с додекаэдрическими ячейками {5,3}, соединяющимися вокруг ребер по 3, — его дуальный.
После запихивания икосаэдров в октаэдральные грани остаются пустоты. Это очевидно (рисунок 1, рядом с каждой вершиной октаэдра, то есть у синих ребер). Чтобы понять как они заполняются, посмотрим на то, как прилегают друг к другу октаэдральные ячейки в исходном {3,4,3}.
Из (рисунок 2) видно, что они прилегают к вершине «кубическим образом». Нарисуем это, вместе с релевантными вершинами вписанных искосаэдров и покажем, как они соединяются в тетраэдры (рисунок 3).
То есть один тетраэдр посередине (красный) и к каждой его грани прилегает еще один тетраэдр.
Таким образом заполняются все пустоты. Многогранник {3,3,5} (5 означает, что вокруг каждого ребра 5 тетраэдров {3,3}) завершен. Многогранник {5,3,3} с додекаэдрическими ячейками {5,3}, соединяющимися вокруг ребер по 3, — его дуальный.
Больше никаких исключительных полностью правильных (то есть обладающих такой же глубоко транзитивной симметрией как сфера) многогранников нет.
В завершение несколько лекций Тёрстона (вторая лекция, додекаэдрическое многообразие Пуанкаре связано с {5,3,3}).
youtube.com/watch?v=o6SucT2Zzys
youtube.com/watch?v=w30xG_vGwoc
youtube.com/watch?v=PXsqdiS-eRA
В завершение несколько лекций Тёрстона (вторая лекция, додекаэдрическое многообразие Пуанкаре связано с {5,3,3}).
youtube.com/watch?v=o6SucT2Zzys
youtube.com/watch?v=w30xG_vGwoc
youtube.com/watch?v=PXsqdiS-eRA
Описание кубики Клебша с 27 вещественными прямыми: https://www.mathcurve.com/surfaces.gb/clebsch/clebsch.shtml
Координатное доказательство того, что инверсия сохраняет окружности.
Поменяем координаты на u = x + iy, v = x - iy. Тогда x^2+y^2 = uv. Инверсия — это деление на x^2+y^2, то есть на uv, то есть u —> 1/v, а v —> 1/u. Квадратичные члены в уравнении окружности всегда имеют вид x^2+y^2, то есть uv. Подставим преобразование и умножим на uv, чтобы убрать знаменатели. Очевидно, что если был свободный член — получится квадратичное, а если нет — линейное. The end.
Кстати, (x:y:z) —> (1/x:1/y:1/z) = (yz:zx:xy) называется квадратичное преобразование, оно задает римскую_поверхность = поверхность_штейнера, такие проеобразования вместе с афинными порождают бирациональные автоморфизмы плоскости, это кусочек отображения веронезе… А ещё, это то же самое, что инверсия (с точностью до отражения u <—> v).
Поменяем координаты на u = x + iy, v = x - iy. Тогда x^2+y^2 = uv. Инверсия — это деление на x^2+y^2, то есть на uv, то есть u —> 1/v, а v —> 1/u. Квадратичные члены в уравнении окружности всегда имеют вид x^2+y^2, то есть uv. Подставим преобразование и умножим на uv, чтобы убрать знаменатели. Очевидно, что если был свободный член — получится квадратичное, а если нет — линейное. The end.
Кстати, (x:y:z) —> (1/x:1/y:1/z) = (yz:zx:xy) называется квадратичное преобразование, оно задает римскую_поверхность = поверхность_штейнера, такие проеобразования вместе с афинными порождают бирациональные автоморфизмы плоскости, это кусочек отображения веронезе… А ещё, это то же самое, что инверсия (с точностью до отражения u <—> v).
Интересная штука: логарифмическая производная геометрической прогрессии равна геометрической прогрессии.
d/dt log 1/(1-x) = 1/(1-x)
Используется, кстати.
d/dt log 1/(1-x) = 1/(1-x)
Используется, кстати.
Теорема >>1226 в такой форме выглядит совершенно очевидной, но в немного другой форме выглядит странно.
Возьмем два способа представлять вещественную проективную прямую — как окружность с отождествленными противоположными точками и как интервал, замкнутый точкой на бесконечности в окружность. Первый кажется более симметричным чем второй, но это не так. Если отождествить эти две окружности «радиальной проекцией» вращения переходят во вращения. На первый взгляд это кажется странным — центр ведь должен быть фиксирован!
Он совсем не фиксирован.
Возьмем два способа представлять вещественную проективную прямую — как окружность с отождествленными противоположными точками и как интервал, замкнутый точкой на бесконечности в окружность. Первый кажется более симметричным чем второй, но это не так. Если отождествить эти две окружности «радиальной проекцией» вращения переходят во вращения. На первый взгляд это кажется странным — центр ведь должен быть фиксирован!
Он совсем не фиксирован.
Другое интересное приложение — вектора Витта.
Начал писать, но что-то лень копипастить википедию.
Короче:
Грубо говоря, наша цель в том, чтобы определить сложение и умножение рядов, которые будут переходить в поэлементное сложение и умножение для их логарифмических производных. Зная, что логарифмическая производная геометрической прогрессии равна ей самой, это очень легко.
Начал писать, но что-то лень копипастить википедию.
Короче:
Грубо говоря, наша цель в том, чтобы определить сложение и умножение рядов, которые будут переходить в поэлементное сложение и умножение для их логарифмических производных. Зная, что логарифмическая производная геометрической прогрессии равна ей самой, это очень легко.
Если задуматься, все это очень естественно.
Как мотивация может быть вот что: мы берем характеристический многочлен (линейного преобразования), но не его, а «проективный дуальный», точнее нет… Короче, делаем его однородным:
det(t_1 Id - t_2 x)
И берем не t_2 = 1, а t_1 = 1. Проективно (P^1 это (t_1 : t_2)) это переход к другим координатам (ноль <—> бесконечность). Короче, тот же многочлен, но коэффициенты в обратном порядке (старший <—> младший и т. д.). Его корни — обратные к собственным числам.
Тогда прямой сумме и тензорному произведению соответствует сложение и умножение этих многочленов как векторов Витта.
Если думать про собственные числа и взять логарифмические производные — это очевидно. Для сложения совсем, для умножения коэффициентами лог производных будут суммы степеней собственных чисел, которые мультипликативны как раз как надо.
Получается такое «кольцо гротендика», хотя и не совсем оно.
Как мотивация может быть вот что: мы берем характеристический многочлен (линейного преобразования), но не его, а «проективный дуальный», точнее нет… Короче, делаем его однородным:
det(t_1 Id - t_2 x)
И берем не t_2 = 1, а t_1 = 1. Проективно (P^1 это (t_1 : t_2)) это переход к другим координатам (ноль <—> бесконечность). Короче, тот же многочлен, но коэффициенты в обратном порядке (старший <—> младший и т. д.). Его корни — обратные к собственным числам.
Тогда прямой сумме и тензорному произведению соответствует сложение и умножение этих многочленов как векторов Витта.
Если думать про собственные числа и взять логарифмические производные — это очевидно. Для сложения совсем, для умножения коэффициентами лог производных будут суммы степеней собственных чисел, которые мультипликативны как раз как надо.
Получается такое «кольцо гротендика», хотя и не совсем оно.
А может это несущественно — брать этот «проективный дуальный». От обращения собственных чисел ведь ничего не поменяется — кроме того, что на ноль делить нельзя — но это малозначимо.
Еще интересно, что правильные многогранники в размерности 4 — группы вращений правильных многогранников в размерности 3. Поэтому 120 вершин = 2 листное накрытие 60 вращений. (60 вращений = 12 граней по 5 сторон додекаэдра или, дуально, 20 граней по 3 стороны икосаэдра)
Имхо, поразительно, что для характеристических многочленов и p-адических чисел используется одна и та же конструкция. Подобные соображения используются также для дзета-функций.
Как-то задался вопросом — почему плоская кубика так странно выглядит — разве не логично, чтобы она выглядела как две окружности?
Но она не может выглядеть как две окружности, так как тогда прямая пересекалась бы с ней в 4 точках, а она кубическая, это невозможно.
Но она не может выглядеть как две окружности, так как тогда прямая пересекалась бы с ней в 4 точках, а она кубическая, это невозможно.
Кривая 4 степени, имеющая 28 прямых, касающихся её в 2 точках (расположенных как все стороны и диагонали правильного 8-угольника).
При инверсии кривые, касающиеся в нуле, переходят в кривые, пересекающиеся на бесконечности — потому что это раздутие.
Кубику Клебша ещё можно вопринимать как деформацию вырожденной кубики из трех координатных плоскостей.
Сумма(по i от 1 до n) (фиксированный многочлен от i) = многочлен от n.
Доказательство по индукции. Если мы увеличиваем n на 1, левая часть увеличивается на фиксированный многочлен от n+1. Правая часть — линейная комбинация степеней n, и мы можем подобрать её такой, чтобы она увеличивалась на столько же, так как (n+1)^k - n^k = kn^(k-1) + … образуют базис в многочленах. Более того, похоже справа можно получить все многочлены без свободного члена.
Как упражнение можно проверить, что
1^2 + 2^2 + … + 24^2 = 70^2.
Доказательство по индукции. Если мы увеличиваем n на 1, левая часть увеличивается на фиксированный многочлен от n+1. Правая часть — линейная комбинация степеней n, и мы можем подобрать её такой, чтобы она увеличивалась на столько же, так как (n+1)^k - n^k = kn^(k-1) + … образуют базис в многочленах. Более того, похоже справа можно получить все многочлены без свободного члена.
Как упражнение можно проверить, что
1^2 + 2^2 + … + 24^2 = 70^2.
>>1314
По поводу этого интересно отметить, что когда-то я читал Куранта и Роббинса, там в начале книги шла речь про индукцию и формулу суммы степеней и говорилось, что индукция — всего лишь способ проверки, который ничего не говорит о том, как догадаться до формулы. Хотя как раз в этом случае индукция говорит всё — сразу же даёт и формулы, и доказательство.
По поводу этого интересно отметить, что когда-то я читал Куранта и Роббинса, там в начале книги шла речь про индукцию и формулу суммы степеней и говорилось, что индукция — всего лишь способ проверки, который ничего не говорит о том, как догадаться до формулы. Хотя как раз в этом случае индукция говорит всё — сразу же даёт и формулы, и доказательство.
Немного не в тему, но вот читаю SICP, пункт 1.2.4 упраженение 1.19 — имхо, проще сказать, что преобразование Фибоначчи — линейное, то есть это матрица, нам нужно возвести в степень матрицу, а возводить в степень мы уже умеем. А то на первый взгляд мне показалось, что тут какая-то нетривиальная идея есть.
Три базовых образа, связанных с линейными преобразованиями.
Расстояние Хаусдорфа.
Берем и сопоставляем каждому отображению из первого подмножества во второе «супремум длин стрелок», затем минимизируем (берем инфимум) по всем отображениям. И симметризуем напоследок — делаем то же, только из второго множества в первое и берем максимум полученных двух чисел.
Берем и сопоставляем каждому отображению из первого подмножества во второе «супремум длин стрелок», затем минимизируем (берем инфимум) по всем отображениям. И симметризуем напоследок — делаем то же, только из второго множества в первое и берем максимум полученных двух чисел.
Трюк Дирака с ремнем (или может другое название).
Берем ленту из более-менее гибкого материала (можно вырезать из бумаги). Представляем, что по её длине прикреплены твердые трехмерные тела. Берем, удерживаем за кончик 1 (так, чтобы он не двигался) и поворачиваем кончик 2 (как стрелку на циферблате) на 2 полных оборота, так, чтобы сначала он прошел над, а потом под (как на рисунке). Все полностью вернется в исходное положение.
Теперь посмотрим, что произошло. Каждое тело как-то прокрутилось и вернулось в исходное положение. Если не обращать внимания на переносы в пространстве кажое из них описало петлю в группе вращений. Первое (на кончике 1) описало тождественную петлю, состоящую из точки. Тело на кончике 2 описало двойное прокручивание. А промежуточные тела описали петли, плавно переходящие между этими двумя — то есть определили стягивание двойного прокручивания в тождественное. (Это иллюстрация к фундаментальной группе ортогональной группы, спинорам и т. д.)
Берем ленту из более-менее гибкого материала (можно вырезать из бумаги). Представляем, что по её длине прикреплены твердые трехмерные тела. Берем, удерживаем за кончик 1 (так, чтобы он не двигался) и поворачиваем кончик 2 (как стрелку на циферблате) на 2 полных оборота, так, чтобы сначала он прошел над, а потом под (как на рисунке). Все полностью вернется в исходное положение.
Теперь посмотрим, что произошло. Каждое тело как-то прокрутилось и вернулось в исходное положение. Если не обращать внимания на переносы в пространстве кажое из них описало петлю в группе вращений. Первое (на кончике 1) описало тождественную петлю, состоящую из точки. Тело на кончике 2 описало двойное прокручивание. А промежуточные тела описали петли, плавно переходящие между этими двумя — то есть определили стягивание двойного прокручивания в тождественное. (Это иллюстрация к фундаментальной группе ортогональной группы, спинорам и т. д.)
Теорема Гильберта о нулях.
Сначала две леммы.
Лемма 1. Если поле целое над подкольцом, то это подкольцо само поле.
Берем обратный к элементу a из подкольца (внутри большого поля), записываем условие, что он целый, умножаем на степень a. Получаем, что он лежит в подкольце.
Лемма 2. A[x][1/f] не поле.
(A — область целостности)
A[x][1/f] —> Frac(A)((x))
1/(1-f) ≠ (polynomial / f^n)
так как
f^n / (1-f) = 1/(1-f) - (1+f+…+f^(n-1)),
а 1/(1-f) не может быть многочленом.
Теперь главное утверждение.
Если A[конечное множество x_i] —>> K
(K — поле), так, что A вкладывается в K, то K целое над A[1/a] (для какого-то a из A).
Доказательство по индукции по количеству переменнных.
Для нулевого количества переменных это очевидно.
Если бы отображение индуцировало вложение A[x_i] в K, взяв в качестве A A[x_i] и применив теорему по индукции, а затем лемму 1, получили бы противоречие с леммой 2. Значит, все x_i алгебраические над A (внутри K), а значит целые над локализацией A по старшим коэффициентам многочленов (локализация по конечному числу элементов = локализация по их произведению).
Подставив A = k (поле), получаем, что поле K, конечно порожденное как алгебра над полем k, является конечным расширением k.
Сначала две леммы.
Лемма 1. Если поле целое над подкольцом, то это подкольцо само поле.
Берем обратный к элементу a из подкольца (внутри большого поля), записываем условие, что он целый, умножаем на степень a. Получаем, что он лежит в подкольце.
Лемма 2. A[x][1/f] не поле.
(A — область целостности)
A[x][1/f] —> Frac(A)((x))
1/(1-f) ≠ (polynomial / f^n)
так как
f^n / (1-f) = 1/(1-f) - (1+f+…+f^(n-1)),
а 1/(1-f) не может быть многочленом.
Теперь главное утверждение.
Если A[конечное множество x_i] —>> K
(K — поле), так, что A вкладывается в K, то K целое над A[1/a] (для какого-то a из A).
Доказательство по индукции по количеству переменнных.
Для нулевого количества переменных это очевидно.
Если бы отображение индуцировало вложение A[x_i] в K, взяв в качестве A A[x_i] и применив теорему по индукции, а затем лемму 1, получили бы противоречие с леммой 2. Значит, все x_i алгебраические над A (внутри K), а значит целые над локализацией A по старшим коэффициентам многочленов (локализация по конечному числу элементов = локализация по их произведению).
Подставив A = k (поле), получаем, что поле K, конечно порожденное как алгебра над полем k, является конечным расширением k.
>>1324
>Если A[конечное множество x_i] —>> K
>(K — поле), так, что A вкладывается в K, то K целое над A[1/a] (для какого-то a из A).
Т. е. если поле — конечно порожденная алгебра над подкольцом, то оно целое над его локализацией по какому-то элементу.
>Если A[конечное множество x_i] —>> K
>(K — поле), так, что A вкладывается в K, то K целое над A[1/a] (для какого-то a из A).
Т. е. если поле — конечно порожденная алгебра над подкольцом, то оно целое над его локализацией по какому-то элементу.
>>1324
>A[x][1/f] —> Frac(A)((x))
Кажется, тут не нужны ряды Лорана, достаточно поля частных A[x], то есть можно вообще ни о чем не говорить.
>A[x][1/f] —> Frac(A)((x))
Кажется, тут не нужны ряды Лорана, достаточно поля частных A[x], то есть можно вообще ни о чем не говорить.
Зацепления Хопфа и Уайтхеда.
Почему эллиптическая кривая называется эллиптической?
Длина дуги — integral(sqrt((dx)^2+(dy)^2))
Для эллипса x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1. Берем дифференциал от этого уравнения, оттуда выражаем dy через dx, x и y, подставляем в sqrt((dx)^2+(dy)^2), выражаем y через x с помощью уравнения эллипса.
В итоге получается ∫ от (1 - k^2 x^2) d(x^2) / sqrt(x^2 (1 - x^2) (1 - k^2 x^2)), где k — эксцетриситет (k^2 = 1 - b^2 / a^2). (это сокращается, ясно дело)
Берем в качестве нового x x^2, а в качестве y sqrt(x^2 (1 - x^2) (1 - k^2 x^2)). Получается ∫ dx / y + k^2 ∫ x dx / y, где y = x^2 (1 - x^2) (1 - k^2 x^2).
Кстати, если k —> 0, эллипс переходит в окружность, эллипитический интеграл переходит в «знакомый» «интеграл арксинуса» — ∫ dx / y, где x^2 + y^2 = 1.
dx / y — это инвариантная (относительно очевидной групповой структуры на окружности) дифференциальная форма, очевидно, означающая длину вектора. Она и на эллиптической кривой инвариантна, по-моему.
Когда k —> 0 закон композиции на эллиптической кривой —> обычный закон композиции на окружности (рисунок).
Длина дуги — integral(sqrt((dx)^2+(dy)^2))
Для эллипса x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1. Берем дифференциал от этого уравнения, оттуда выражаем dy через dx, x и y, подставляем в sqrt((dx)^2+(dy)^2), выражаем y через x с помощью уравнения эллипса.
В итоге получается ∫ от (1 - k^2 x^2) d(x^2) / sqrt(x^2 (1 - x^2) (1 - k^2 x^2)), где k — эксцетриситет (k^2 = 1 - b^2 / a^2). (это сокращается, ясно дело)
Берем в качестве нового x x^2, а в качестве y sqrt(x^2 (1 - x^2) (1 - k^2 x^2)). Получается ∫ dx / y + k^2 ∫ x dx / y, где y = x^2 (1 - x^2) (1 - k^2 x^2).
Кстати, если k —> 0, эллипс переходит в окружность, эллипитический интеграл переходит в «знакомый» «интеграл арксинуса» — ∫ dx / y, где x^2 + y^2 = 1.
dx / y — это инвариантная (относительно очевидной групповой структуры на окружности) дифференциальная форма, очевидно, означающая длину вектора. Она и на эллиптической кривой инвариантна, по-моему.
Когда k —> 0 закон композиции на эллиптической кривой —> обычный закон композиции на окружности (рисунок).
Для леминискаты этот ∫ сообенно милый.
Ур-е леми6искаты — r^2 = cos (2θ). Длина дуги как функции расстояния от центра — ∫ dr / sqrt(1-r^4) т.е. d(r^2) / sqrt ((1-r^2)r^2(1+r^2)) т.е.
∫ dx / y
y^2 = (1-x)x(1+x)
(Получается практичеески так же как у эллипса, оч легко)
Леминиската и похожа на эллипс, только вместо а+б=конст а*б=конст, где а и б — расстояния до фокусов.
Ур-е леми6искаты — r^2 = cos (2θ). Длина дуги как функции расстояния от центра — ∫ dr / sqrt(1-r^4) т.е. d(r^2) / sqrt ((1-r^2)r^2(1+r^2)) т.е.
∫ dx / y
y^2 = (1-x)x(1+x)
(Получается практичеески так же как у эллипса, оч легко)
Леминиската и похожа на эллипс, только вместо а+б=конст а*б=конст, где а и б — расстояния до фокусов.
Вертикальное, горизонатльное и диагональное сечения тора — пары окружностей.
Ещё сечения тора — овалы Кассини (сам тор, как нетрудно догадаться, алг. многообразие степени 4).
Доказательство Гамильтона-Кэли (хар многочлен зануляет оператор)
Посмотрим на соотв матрицу. Какой смысл ей можно придать? Будем считать ее матрицей из эндоморфизмов, действующей на столбец из базисных векторов (картинка). Будь это обычная ситуация, мы бы выдали, что определитель нулевой. Почему? Например, потому что между столбцами есть лин зависимость (умножение справа = взятие лин комб стобцов). Мы не можем делить, поэтому скажем что e_i на i-ый столбец = лин комб других столбцов, значит det * e_i = 0. Но det — эндоморфизм, если он зануляет образующие, значит он нулевой. Это все имеет смысл, так как элементы матрицы — КОММУТИРУЮЩИЕ эндоморфизмы. Немного странно (entries матрицы и столбца разной природы), но можете прокрутить в уме, проверить, что все ок.
Посмотрим на соотв матрицу. Какой смысл ей можно придать? Будем считать ее матрицей из эндоморфизмов, действующей на столбец из базисных векторов (картинка). Будь это обычная ситуация, мы бы выдали, что определитель нулевой. Почему? Например, потому что между столбцами есть лин зависимость (умножение справа = взятие лин комб стобцов). Мы не можем делить, поэтому скажем что e_i на i-ый столбец = лин комб других столбцов, значит det * e_i = 0. Но det — эндоморфизм, если он зануляет образующие, значит он нулевой. Это все имеет смысл, так как элементы матрицы — КОММУТИРУЮЩИЕ эндоморфизмы. Немного странно (entries матрицы и столбца разной природы), но можете прокрутить в уме, проверить, что все ок.
>>1336
Эндоморфизмы в данном контексте = линейные отображения из пространства в себя, если кому-то это слово незнакомо.
Эндоморфизмы в данном контексте = линейные отображения из пространства в себя, если кому-то это слово незнакомо.
>>1336
Исправил картинку
Исправил картинку
>>1336
Может быть, лучше было бы базис записать как строку слева.
В любом случае, прекрасное доказательство — оно говорит, что ничего не нужно делать, все очевидно.
Может быть, лучше было бы базис записать как строку слева.
В любом случае, прекрасное доказательство — оно говорит, что ничего не нужно делать, все очевидно.
Если в конечной группе у уравнения x^k = 1 меньше или равно чем k решений — она циклическая.
Обозначим порядок группы n и будем сравнивать с циклической группой такого же порядка. Если в группе есть элемент порядка d, то мы сразу получаем d решений уравнения x^d = 1 — степени этого элемента. Все элементы порядка d — среди них. Значит, их столько же, сколько в циклической группе. Значит, либо элементов порядка d (где d — делитель порядка группы) нет, либо их столько же, сколько в циклической группе. Но их не может не быть, количество элементов в группе — сумма по d элементов порядка d, а в циклической группе они всегда есть. Взяв d=n получаем, что есть элемент порядка n, значит, группа циклическая.
Следствие: конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая.
Обозначим порядок группы n и будем сравнивать с циклической группой такого же порядка. Если в группе есть элемент порядка d, то мы сразу получаем d решений уравнения x^d = 1 — степени этого элемента. Все элементы порядка d — среди них. Значит, их столько же, сколько в циклической группе. Значит, либо элементов порядка d (где d — делитель порядка группы) нет, либо их столько же, сколько в циклической группе. Но их не может не быть, количество элементов в группе — сумма по d элементов порядка d, а в циклической группе они всегда есть. Взяв d=n получаем, что есть элемент порядка n, значит, группа циклическая.
Следствие: конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая.
Координаты вершин 24 клеточника.
a, b, c, d —базис в 4D
Вершины:
± вектор_базиса ± другой_вектор_базиса
Вокруг a 6 вершин a±b a±c a±d (образующих октаэдральную ячейку) и так же вокруг каждой из 8 вершин гипероктаэдра ±a, ±b, ±c, ±d.
Вокруг (a+b+c+d)/2 6 вершин a+b, a+c, a+d, b+c, b+d, c+d (образующих октаэдральную ячейку) и так же вокруг каждой из 16 вершин гиперкуба (±a±b±c±d)/2.
Эти 16+8=24 вершин (гипер)куба и (гипер)октаэдра вместе сами образуют такой же 24вершинник, дуальный к исходному (если нормировать его, чтобы вершины были на расстоянии 1 от нуля).
a, b, c, d —базис в 4D
Вершины:
± вектор_базиса ± другой_вектор_базиса
Вокруг a 6 вершин a±b a±c a±d (образующих октаэдральную ячейку) и так же вокруг каждой из 8 вершин гипероктаэдра ±a, ±b, ±c, ±d.
Вокруг (a+b+c+d)/2 6 вершин a+b, a+c, a+d, b+c, b+d, c+d (образующих октаэдральную ячейку) и так же вокруг каждой из 16 вершин гиперкуба (±a±b±c±d)/2.
Эти 16+8=24 вершин (гипер)куба и (гипер)октаэдра вместе сами образуют такой же 24вершинник, дуальный к исходному (если нормировать его, чтобы вершины были на расстоянии 1 от нуля).
Нарисовал 4-куб и 4-октаэдр внутри {3,4,3}.
Есть два способа представлять вращения (в размерности 3) и показать, что группа вращений изоморфна вещ проективному пространству — как стрелки в направлении оси вращения, которые чем длиннее, тем больше угол поворота (тогда RP^3 — шар с отождествленными противоположными точками граничной сферы (для полуоборотов не важно в какую сторону они совершаются)) или фактор единичной сферы в кватернонах по ±1.
Так вот, первая картинка — это стереографическая проекция второй.
Так вот, первая картинка — это стереографическая проекция второй.
Зацепление Уайтхеда — многообразие Уайтхеда.
Зацепление Хопфа — расслоение Хопфа.
Зацепление Хопфа — расслоение Хопфа.
Элемент Казимира.
Возьмем представление алгебры Ли g:
g —> End V
Оно индуцирует билинейную форму — след произведения. Если она невырожденная, мы получаем то, что нарисовано (g <—> g* — это отождествление с помощью этой формы). След в смысле End(g) равен следу в смысле End(V) — это абстрактная тавтология (след в End(X) = спаривание в (X тензорно X*), отождествленному с End(X) и т. д.) . Берем тождественный эндоморфизм в End(g) и отправляем его в End(V). Все стрелки совместимы с действием g, и раз 1 в End(g) g-инвариантна, то этот её образ — тоже. Его след (по предыдущему) равен размерности g. Этот элемент и называется элементом Казимира.
Возьмем представление алгебры Ли g:
g —> End V
Оно индуцирует билинейную форму — след произведения. Если она невырожденная, мы получаем то, что нарисовано (g <—> g* — это отождествление с помощью этой формы). След в смысле End(g) равен следу в смысле End(V) — это абстрактная тавтология (след в End(X) = спаривание в (X тензорно X*), отождествленному с End(X) и т. д.) . Берем тождественный эндоморфизм в End(g) и отправляем его в End(V). Все стрелки совместимы с действием g, и раз 1 в End(g) g-инвариантна, то этот её образ — тоже. Его след (по предыдущему) равен размерности g. Этот элемент и называется элементом Казимира.
Кстати, несколько фоточек рукописного готического алфавита — полезно.
Теорема о фиксированной точке или хз как это называется.
У отображения полного метрического пространства в себя с растяжением строго меньшим 1 есть единственная фиксированная точка.
(Растяжение — для каждой пары точек берем отношение расстояния между образами к расстоянию между исходными точками и берем супремум по всем парам точек.)
Единственная — так как все точки приближаются к фиксированной и, значит, не могут быть фиксированы. Полнота тут не нужна.
Существование — возьмем произвольную точку и будем итерированно применять к ней отображение. Расстояние между членами получившейся последовательности меньше, чем между членами соответствующей геометрической прогрессии (заданной константой растяжения). Геометрическая прогрессия сходится, значит она Коши, значит исходная последовательность Коши, значит она сходится, так как пространство полно. Предел и будет фиксированной точкой.
У отображения полного метрического пространства в себя с растяжением строго меньшим 1 есть единственная фиксированная точка.
(Растяжение — для каждой пары точек берем отношение расстояния между образами к расстоянию между исходными точками и берем супремум по всем парам точек.)
Единственная — так как все точки приближаются к фиксированной и, значит, не могут быть фиксированы. Полнота тут не нужна.
Существование — возьмем произвольную точку и будем итерированно применять к ней отображение. Расстояние между членами получившейся последовательности меньше, чем между членами соответствующей геометрической прогрессии (заданной константой растяжения). Геометрическая прогрессия сходится, значит она Коши, значит исходная последовательность Коши, значит она сходится, так как пространство полно. Предел и будет фиксированной точкой.
Забавно: исключительный изоморфизм между многогранниками — в размерности 2 октаэдр = куб.
Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли — ассоциативная алгебра, заданная образующими — всеми элементами алгебры Ли и соотношениями — всеми соотношениями в алгебре Ли, где коммутаторы понимаются как обычные ассоциативные коммутаторы.
Если в алгебре Ли есть линейно упорядоченный базис, базисом в её универсальной обёртывающей алгебре являются произведения элементов этого базиса в возрастающем порядке (включая пустое произведение, которое единица).
Доказательство:
Берем модуль, свободно порожденный формальными произведениями как в формулировке теоремы и определяем действие алгебры Ли на нем.
Буду обозначать элементы базиса a, b, c …
a ≤ b означает меньше в смысле заданного упорядочения.
Определение по индукции.
a*b…d = ab…d (где a* — действие a, b…d — формальное слово), если a ≤ b
a*bc…d = b*(a*c…d) + [a,b]*c…d, если b < a
Мы считаем, что знаем действие на слова меньшей длины и действие на слово дает слово с теми же буквами (включая действующий элемент), только как-то переставленными, + слова меньшей длины.
Это определено на базисах, так что с линейностью все в порядке. Нужно доказать, что коммутатор действует как коммутатор, т.е.
[a,b]*cd…e = a*(b*cd…e) - b*(a*cd…e)
Если хотя бы один из a, b ≤ c, это напрямую следует из определения действия (и [a,b] = - [b,a]). Если a, b > c, предположим, что мы знаем это для действия на формальные произведения на 1 меньшей длины и подействуем выражением из тождества Якоби:
J(a,b,c)*d…e = 0, где J(a,b,c) —выражение из тождества Якоби.
Раскроем все коммутаторы которые сможем, учитывая предположения. Мы не сможем раскрыть только [a,b]*cd…e и получим то, что хотим.
Все доказано, так как действие алгебры Ли = действие её универсальной обертывающей алгебры, элемент из обертывающей алгебры, расписанный как комбинация слов из базисных векторов в возрастающем порядке (очевидно, что это можно сделать), действуя на пустое формальное слово дает себя же, только «формально», значит, такие слова в обертывающей алгебре линейно независимы.
В сущности тривильная проверка, вроде проверки при конструкции локализации.
Эта теорема называется теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта.
Если в алгебре Ли есть линейно упорядоченный базис, базисом в её универсальной обёртывающей алгебре являются произведения элементов этого базиса в возрастающем порядке (включая пустое произведение, которое единица).
Доказательство:
Берем модуль, свободно порожденный формальными произведениями как в формулировке теоремы и определяем действие алгебры Ли на нем.
Буду обозначать элементы базиса a, b, c …
a ≤ b означает меньше в смысле заданного упорядочения.
Определение по индукции.
a*b…d = ab…d (где a* — действие a, b…d — формальное слово), если a ≤ b
a*bc…d = b*(a*c…d) + [a,b]*c…d, если b < a
Мы считаем, что знаем действие на слова меньшей длины и действие на слово дает слово с теми же буквами (включая действующий элемент), только как-то переставленными, + слова меньшей длины.
Это определено на базисах, так что с линейностью все в порядке. Нужно доказать, что коммутатор действует как коммутатор, т.е.
[a,b]*cd…e = a*(b*cd…e) - b*(a*cd…e)
Если хотя бы один из a, b ≤ c, это напрямую следует из определения действия (и [a,b] = - [b,a]). Если a, b > c, предположим, что мы знаем это для действия на формальные произведения на 1 меньшей длины и подействуем выражением из тождества Якоби:
J(a,b,c)*d…e = 0, где J(a,b,c) —выражение из тождества Якоби.
Раскроем все коммутаторы которые сможем, учитывая предположения. Мы не сможем раскрыть только [a,b]*cd…e и получим то, что хотим.
Все доказано, так как действие алгебры Ли = действие её универсальной обертывающей алгебры, элемент из обертывающей алгебры, расписанный как комбинация слов из базисных векторов в возрастающем порядке (очевидно, что это можно сделать), действуя на пустое формальное слово дает себя же, только «формально», значит, такие слова в обертывающей алгебре линейно независимы.
В сущности тривильная проверка, вроде проверки при конструкции локализации.
Эта теорема называется теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта.
Блин, все ленюсь расписать что такое тензорное произведение, алгебра Ли и все такое. Может и сделаю.
Если у нас есть две абелевы группы — A и B, мы определяем абелеву группу AB образующими — формальными произведениями ab (пары, где a —элемент A, b — элемент B) и соотношениями дистрибутивности — (a+a’)b=ab+a’b, a(b+b’)=ab+ab’. Чтобы подчеркнуть, что это формальное=свободное=универсальное произведение, между a и b (а так же между A и B) ставится крестик в кружочке — знак тензорного произведения, а сама полученная абелева группа называется тензорным произведением A и B. Если A и B — модули над одним и тем же кольцом, добавляется новое соотношение — действие элемента из кольца на элемент a (в произведении) дает то же, что действие на элемент b (в произведении). Кольцо часто пишется под знаком тензорного произведения.
Тензорная алгебра модуля — ассоциативная алгебра, образующими которой являются все элементы модуля, а соотношениями — все соотношения, выполняющиеся в модуле.
Групповая алгебра группы — алгебра, в которой образующими являются все элементы группы, а соотношениями — все соотношения, которые выполняются в группе. Группа считается записанной мультипликативно.
Тензорная алгебра модуля — ассоциативная алгебра, образующими которой являются все элементы модуля, а соотношениями — все соотношения, выполняющиеся в модуле.
Групповая алгебра группы — алгебра, в которой образующими являются все элементы группы, а соотношениями — все соотношения, которые выполняются в группе. Группа считается записанной мультипликативно.
>>1270
Можно более единообразно описать как соседние вращения одного типа в противоположных направлениях (рисунок).
А соотношение между тремя вращениями — вообще, есть такие соотношения:
A^2 = B^3 = C^5 = ABC = 1 (это для додекаэдра, для других 3 и 5 заменяются на соотв. числа), где A, B, C — соотв. вращения, и это очень похоже на соотношения для кватернионов i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, то есть это тоже фундаментальная вещь.
Можно более единообразно описать как соседние вращения одного типа в противоположных направлениях (рисунок).
А соотношение между тремя вращениями — вообще, есть такие соотношения:
A^2 = B^3 = C^5 = ABC = 1 (это для додекаэдра, для других 3 и 5 заменяются на соотв. числа), где A, B, C — соотв. вращения, и это очень похоже на соотношения для кватернионов i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, то есть это тоже фундаментальная вещь.
Теоремы Силова.
В общей линейной группе над Z/p верхние унитреугольные матрицы образуют силовскую p-подгруппу (подсчет порядков).
Подгруппам соответствуют транзитивные действия (стабилизаторы / смежные классы). Силовским p-подгруппам — действия на множестве, не делящемся на p. Если группа так действует и в ней есть подгруппа, одна из орбит подгруппы не делится на p.
Это означает, что в подгруппе есть силовская p-подгруппа, которая является пересечением подгруппы с подгруппой сопряженной к силовской p-подгруппе в большой группе. Звучит заумно, но это просто повторение предыдущего утверждения (стабилизатор в маленькой группе — пересечение со стабилизатором в большой группе).
Так как любая конечная группа вкладывается в перестановки, а перестановки вкладываются в линейную группу (над чем угодно), мы получаем существование силовских подгрупп.
Взяв в качестве большой группы нашу группу, а в качестве подгруппы силовскую p-подгруппу, получаем сопряженность силовских p-подгрупп.
Рассмотрим действие силовской p-подгруппы H на пространстве всех силовских p-подгрупп (сопряжением). Орбиты или делятся на p, или одноточеченые. Если K фиксирована, значит она стабильна относительно действия H, значит, подгруппа порожденная K и H является фактором полупрямого произведения K и H (тут можно использовать что-то другое, например HK/K = H/(H пересечение K)), значит, является p-группой, значит, совпадает с H. То есть есть только одна одноточеченая орбита. Значит, количество силовских p-подгрупп = 1 по модулю p.
В общей линейной группе над Z/p верхние унитреугольные матрицы образуют силовскую p-подгруппу (подсчет порядков).
Подгруппам соответствуют транзитивные действия (стабилизаторы / смежные классы). Силовским p-подгруппам — действия на множестве, не делящемся на p. Если группа так действует и в ней есть подгруппа, одна из орбит подгруппы не делится на p.
Это означает, что в подгруппе есть силовская p-подгруппа, которая является пересечением подгруппы с подгруппой сопряженной к силовской p-подгруппе в большой группе. Звучит заумно, но это просто повторение предыдущего утверждения (стабилизатор в маленькой группе — пересечение со стабилизатором в большой группе).
Так как любая конечная группа вкладывается в перестановки, а перестановки вкладываются в линейную группу (над чем угодно), мы получаем существование силовских подгрупп.
Взяв в качестве большой группы нашу группу, а в качестве подгруппы силовскую p-подгруппу, получаем сопряженность силовских p-подгрупп.
Рассмотрим действие силовской p-подгруппы H на пространстве всех силовских p-подгрупп (сопряжением). Орбиты или делятся на p, или одноточеченые. Если K фиксирована, значит она стабильна относительно действия H, значит, подгруппа порожденная K и H является фактором полупрямого произведения K и H (тут можно использовать что-то другое, например HK/K = H/(H пересечение K)), значит, является p-группой, значит, совпадает с H. То есть есть только одна одноточеченая орбита. Значит, количество силовских p-подгрупп = 1 по модулю p.
>>1362
>Взяв в качестве большой группы нашу группу, а в качестве подгруппы силовскую p-подгруппу, получаем сопряженность силовских p-подгрупп.
Ещё, взяв в качестве большой группы нашу группу, а в качестве подгруппы p-подгруппу, получаем, что каждая p-подгруппа содержится в силовской p-подгруппе.
Силовские подгруппы — сорт оф радикал в теории групп.
>Взяв в качестве большой группы нашу группу, а в качестве подгруппы силовскую p-подгруппу, получаем сопряженность силовских p-подгрупп.
Ещё, взяв в качестве большой группы нашу группу, а в качестве подгруппы p-подгруппу, получаем, что каждая p-подгруппа содержится в силовской p-подгруппе.
Силовские подгруппы — сорт оф радикал в теории групп.
Если этот тред посетят школьные учителя, рекомендую ознакомиться:
http://www.vofem.ru/ru/
http://www.vofem.ru/ru/
>>1366
1. Чтобы говорить «зацепление Хопфа», а не «ну, два колечка, которые соединены, ну, одно проходит через другое, самым простым способом, ну ты понел».
2. Математики придают очень много значения тривиальным вещам. Дают им названия, тщательно описывают… Например, зачем давать длинное название «коммутативность» правилу ab=ba? Зачем вообще придумывать натуральные числа? И т. д. Но тот, кто знает, знает, что это 100% оправдано.
3. Эти зацепления названы так, потому что Уайтхед и Хопф использовали их в своих топологических конструкциях — зацепление Хопфа, например, является слоем расслоения Хопфа. С помощью зацепления Уайтхеда строится многообразие Уайтхеда. А вот эти вещи, хоть и простые, но вряд ли ты назовёшь их «очевидными».
1. Чтобы говорить «зацепление Хопфа», а не «ну, два колечка, которые соединены, ну, одно проходит через другое, самым простым способом, ну ты понел».
2. Математики придают очень много значения тривиальным вещам. Дают им названия, тщательно описывают… Например, зачем давать длинное название «коммутативность» правилу ab=ba? Зачем вообще придумывать натуральные числа? И т. д. Но тот, кто знает, знает, что это 100% оправдано.
3. Эти зацепления названы так, потому что Уайтхед и Хопф использовали их в своих топологических конструкциях — зацепление Хопфа, например, является слоем расслоения Хопфа. С помощью зацепления Уайтхеда строится многообразие Уайтхеда. А вот эти вещи, хоть и простые, но вряд ли ты назовёшь их «очевидными».
$a^2=b^2+c^2$
Переключусь на более философские темы.
Помню, большим впечатлением для меня было осознание того, что за матрицами, метрическими пространствами, алгеброй вообще и интегралами по траекториям стоит одна и та же праинтуиция. Которую можно назвать «аддитивными категориями», грубо говоря. Принцип такой — сумма по путям, произведение по пути.
Помню, большим впечатлением для меня было осознание того, что за матрицами, метрическими пространствами, алгеброй вообще и интегралами по траекториям стоит одна и та же праинтуиция. Которую можно назвать «аддитивными категориями», грубо говоря. Принцип такой — сумма по путям, произведение по пути.
Мы смотрим на диаграмму и воспринимаем её так. Неоднозначности не возникает — это в точности дистрибутивность.
Изображение матриц в виде таких «аддитивных категорий» или «марковских процессов».
Становится ясной аналогия с отображениями, да и вообще всё.
Конечно, аддитивные категории — это вся алгебра, тут проблем нет. Но причем тут метрические пространства?
Надо взять вместо «суммы» «инфимум», а вместо «композиции» «сумму». Мы все равно воспринимаем это абстрактно. Ясно, что это можно без труда описать более подробно/строго, не хочу заморачиваться сейчас, ясно что это то же, что метрическое пространство.
И фейнмановские интегралы в физике — я про них слышал краем уха, но ясно, что это то же самое.
Становится ясной аналогия с отображениями, да и вообще всё.
Конечно, аддитивные категории — это вся алгебра, тут проблем нет. Но причем тут метрические пространства?
Надо взять вместо «суммы» «инфимум», а вместо «композиции» «сумму». Мы все равно воспринимаем это абстрактно. Ясно, что это можно без труда описать более подробно/строго, не хочу заморачиваться сейчас, ясно что это то же, что метрическое пространство.
И фейнмановские интегралы в физике — я про них слышал краем уха, но ясно, что это то же самое.
Кстати, это: >>1320 навеяно как раз этим. Прекрасно ложится в эту идеологию.
Формула включения-исключения.
Отождествим подмножества с характеристическими функциями, но со значениями не в Z/2, а в Z. Тогда дополнение к a — это 1-a, а пересечение — это произведение. Рассмотрим ещё модуль хар. функции — сумму значений (для множеств это совпадает с количеством элементов (поэтому и Z, а не Z/2)). Модуль суммы — сумма модулей.
Дополнение переводит объединение в пересечение. Поэтому объединение = дополнение пересечения дополнений, т.е. (объединение a,b,c,…,d) = 1 - (1-a)(1-b)(1-c)…(1-d). Раскрыв скобки, взяв модуль и воспользовавшись аддитивностью модуля, получаем формулу включения/исключения.
Отождествим подмножества с характеристическими функциями, но со значениями не в Z/2, а в Z. Тогда дополнение к a — это 1-a, а пересечение — это произведение. Рассмотрим ещё модуль хар. функции — сумму значений (для множеств это совпадает с количеством элементов (поэтому и Z, а не Z/2)). Модуль суммы — сумма модулей.
Дополнение переводит объединение в пересечение. Поэтому объединение = дополнение пересечения дополнений, т.е. (объединение a,b,c,…,d) = 1 - (1-a)(1-b)(1-c)…(1-d). Раскрыв скобки, взяв модуль и воспользовавшись аддитивностью модуля, получаем формулу включения/исключения.
>>1374
>Можешь попробовать пояснить для аутиста в двух словах что-то по этой теме ну и теореме Пуанкаре, раз там этот бублик юзается?
Мммм. Ну вот, например:
https://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf
Есть такая штука, классификация поверхностей. Это то, про что я рассказывал в самом начале треда. Возникает вопрос, «а можно сделать то же самое для трехмерных многообразий»? (Многообразие — это нечто, склеенное из лоскутков. Обычная сфера двумерная, потому что отрезав кусочек это будет двумерный кусочек. Я не знаю на каком уровне рассказывать.) (Для одномерных, если что, все, что есть — это окружность.) При этом мы налагаем условие вроде «конечности», они не «простираются на бесконечность» — поэтому плоскости тут нет.
Эта штука с поверхностями — очень полезная вещь, там много всего интересного, но доказательство этой классификации — я его рассказал, оно буквально написано тут. Для трехмерных многообразий аналог этого — классификация Терстона, доказательство дано Перельманом. Точнее, он довел до конца один из предполагавшихся подходов к доказательству.
Вот, тут ссылка на лекции самого Терстона, где он это популярно объясняет: >>1295 (относительно популярно).
>Почему так много памятников этой штуке, как она повлияла на реальный мир?
Да никак не повлияло, думаю, просто «красиво». В математике немного вещей, которые можно вещественно (во всех смыслах) представить, поэтому они ценятся, лол. Скульптуры могут быть чем угодно, это не памятники.
>Можешь попробовать пояснить для аутиста в двух словах что-то по этой теме ну и теореме Пуанкаре, раз там этот бублик юзается?
Мммм. Ну вот, например:
https://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf
Есть такая штука, классификация поверхностей. Это то, про что я рассказывал в самом начале треда. Возникает вопрос, «а можно сделать то же самое для трехмерных многообразий»? (Многообразие — это нечто, склеенное из лоскутков. Обычная сфера двумерная, потому что отрезав кусочек это будет двумерный кусочек. Я не знаю на каком уровне рассказывать.) (Для одномерных, если что, все, что есть — это окружность.) При этом мы налагаем условие вроде «конечности», они не «простираются на бесконечность» — поэтому плоскости тут нет.
Эта штука с поверхностями — очень полезная вещь, там много всего интересного, но доказательство этой классификации — я его рассказал, оно буквально написано тут. Для трехмерных многообразий аналог этого — классификация Терстона, доказательство дано Перельманом. Точнее, он довел до конца один из предполагавшихся подходов к доказательству.
Вот, тут ссылка на лекции самого Терстона, где он это популярно объясняет: >>1295 (относительно популярно).
>Почему так много памятников этой штуке, как она повлияла на реальный мир?
Да никак не повлияло, думаю, просто «красиво». В математике немного вещей, которые можно вещественно (во всех смыслах) представить, поэтому они ценятся, лол. Скульптуры могут быть чем угодно, это не памятники.
>>1375
Спасибо.
Спасибо.
>>1376
Пожалуйста.
Без особых пояснений (по крайней мере пока) скажу, что поле из 4 элементов соотносится с тетраэдром так же, как вещественные числа с прямой, а комплексные — с плоскостью.
Пожалуйста.
Без особых пояснений (по крайней мере пока) скажу, что поле из 4 элементов соотносится с тетраэдром так же, как вещественные числа с прямой, а комплексные — с плоскостью.
>>1256
Не совсем понял, что нужно (это же почти просто учебник получается), но, может быть, заинтересует это: https://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.23.pdf
Не совсем понял, что нужно (это же почти просто учебник получается), но, может быть, заинтересует это: https://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.23.pdf
>>1328
Картинку лучше эту.
Не могу налюбоваться. Тут и групповая структура на окружности, и, похоже, групповая структура на прямой.
Как все здорово.
Картинку лучше эту.
Не могу налюбоваться. Тут и групповая структура на окружности, и, похоже, групповая структура на прямой.
Как все здорово.
Скрин из «основных понятий алгебры» Шафаревича.
Возьмем совсем вырожденную кубическую кривую из 3 прямых (прямые a и b, третья прямая на бесконечности).
0 + U = A + V
V + C = U + B
Сложим и получим
0 + U + V + C = A + V + U + B
0 + C = A + B
То есть аддитивную структуру на прямой.
Сделав то же самое для второго рисунка, получим мультипликативную структуру на прямой.
Возьмем совсем вырожденную кубическую кривую из 3 прямых (прямые a и b, третья прямая на бесконечности).
0 + U = A + V
V + C = U + B
Сложим и получим
0 + U + V + C = A + V + U + B
0 + C = A + B
То есть аддитивную структуру на прямой.
Сделав то же самое для второго рисунка, получим мультипликативную структуру на прямой.
Напоследок, лекция на YouTube
Minerva Lectures 2013 - Terence Tao Talk 1: Sets with few ordinary lines
https://www.youtube.com/watch?v=6mG9HG4lfgI
связанная с этим.
Minerva Lectures 2013 - Terence Tao Talk 1: Sets with few ordinary lines
https://www.youtube.com/watch?v=6mG9HG4lfgI
связанная с этим.
Идеалы в матрицах над телом.
Умножение на матрицу слева — создание новой матрицы, строки которой являются линейными комбинациями строк исходной (с коэффициентами — элементами строк матрицы, на которую происходит умножение). То же самое с умножением справа и столбцами.
Поэтому левый идеал в кольце матриц (над телом) задается линейной оболочкой строк своих матриц, а правый, соответственно, столбцов.
То есть операторы, зануляющие подпространство (по дуальности), и операторы, отправляющие всё в подпространство.
Двусторонних идеалов нет, так как любой вектор с помощью линейного преобразования можно отправить в зануляемое подпространство.
Умножение на матрицу слева — создание новой матрицы, строки которой являются линейными комбинациями строк исходной (с коэффициентами — элементами строк матрицы, на которую происходит умножение). То же самое с умножением справа и столбцами.
Поэтому левый идеал в кольце матриц (над телом) задается линейной оболочкой строк своих матриц, а правый, соответственно, столбцов.
То есть операторы, зануляющие подпространство (по дуальности), и операторы, отправляющие всё в подпространство.
Двусторонних идеалов нет, так как любой вектор с помощью линейного преобразования можно отправить в зануляемое подпространство.
Теорема Жордана-Гельдера.
Если у нас есть два ряда подгрупп, мы можем уплотнить их «перенося с одного на другой» как на рисунке 1. (Это такой способ обозначать ряды подгрупп, объединение и пересечение — это не как множеств, а как подгрупп, то есть объединение — подгруппа, порожденная объединением)
Если мы возьмем два композиционных ряда и таким образом уплотним обоих, то между композиционными факторами будет биекция и изоморфизм (рисунок 2; и большие, и маленькие буквы обозначают подгруппы). Потому что есть формула (H объединение N) / N = H / (H пересечение N), (где объединение понимается в том же смысле).
Возьмем H = (A пересечение B), N = (a объединение b пересечение A) и подставим. На (короткое) время обозначим пересечение произведением, а объединение — суммой (привычнее считать).
AB + (Ab + a) = AB + a
AB(Ab+a) = Ab + aB
Т. е. в левой части получим нужный композиционный фактор левого ряда, правая часть будет симметрична при замене A <—> B, a <—> b. Всё.
Последний рисунок иллюстрирует аналог этой «леммы о бабочке» для множеств (вместо факторизации разность множеств). Забавно, что похоже на бабочку (отдаленно), хотя она так называется по другой причине.
Если у нас есть два ряда подгрупп, мы можем уплотнить их «перенося с одного на другой» как на рисунке 1. (Это такой способ обозначать ряды подгрупп, объединение и пересечение — это не как множеств, а как подгрупп, то есть объединение — подгруппа, порожденная объединением)
Если мы возьмем два композиционных ряда и таким образом уплотним обоих, то между композиционными факторами будет биекция и изоморфизм (рисунок 2; и большие, и маленькие буквы обозначают подгруппы). Потому что есть формула (H объединение N) / N = H / (H пересечение N), (где объединение понимается в том же смысле).
Возьмем H = (A пересечение B), N = (a объединение b пересечение A) и подставим. На (короткое) время обозначим пересечение произведением, а объединение — суммой (привычнее считать).
AB + (Ab + a) = AB + a
AB(Ab+a) = Ab + aB
Т. е. в левой части получим нужный композиционный фактор левого ряда, правая часть будет симметрична при замене A <—> B, a <—> b. Всё.
Последний рисунок иллюстрирует аналог этой «леммы о бабочке» для множеств (вместо факторизации разность множеств). Забавно, что похоже на бабочку (отдаленно), хотя она так называется по другой причине.
Симплектическое действие перестановок над Z/2.
У нас есть обычное действие симметрической группы перестановками базиса. Считаем, что в пространстве ещё скалярное произведение (с единичной матрицей (Грама)) (очевидно, сохраняемое действием). Инвариантный вектор — (1, 1, …, 1). Берем «ортогональное дополнение» к нему, обычная ситуация. Только смотрим на это не над R, а над Z/2. Если размерность чётная, этот вектор ортогонален сам себе и нужно ещё профакторизовать по нему. Вообще, ортогональность (1, …, 1) эквивалентна четному количеству единиц, что эквивалентно обнулению (скалярного) квадрата. Благодаря вышеописанному получится действие перестановок на пространстве с невырожденной (очевидно из общих соображений) симплектической формой (над Z/2).
Например, S_6 изоморфно Sp(4, 2). Единственная нормальная подгруппа знакопеременная, в образе явно больше 2 элементов, значит, это вложение, порядки совпадают, значит, изоморфизм. (Порядок симплектической группы — количество «симплектических базисов»: берем ненулевой вектор, затем вектор, дуальный ему, затем переходим к ортогональному дополнению и делаем то же самое и т. д. То есть (2^4 - 1)2^3(2^2 - 1)2.)
Для S_4, кстати, получается гомоморфизм S_4 —> S_3.
У нас есть обычное действие симметрической группы перестановками базиса. Считаем, что в пространстве ещё скалярное произведение (с единичной матрицей (Грама)) (очевидно, сохраняемое действием). Инвариантный вектор — (1, 1, …, 1). Берем «ортогональное дополнение» к нему, обычная ситуация. Только смотрим на это не над R, а над Z/2. Если размерность чётная, этот вектор ортогонален сам себе и нужно ещё профакторизовать по нему. Вообще, ортогональность (1, …, 1) эквивалентна четному количеству единиц, что эквивалентно обнулению (скалярного) квадрата. Благодаря вышеописанному получится действие перестановок на пространстве с невырожденной (очевидно из общих соображений) симплектической формой (над Z/2).
Например, S_6 изоморфно Sp(4, 2). Единственная нормальная подгруппа знакопеременная, в образе явно больше 2 элементов, значит, это вложение, порядки совпадают, значит, изоморфизм. (Порядок симплектической группы — количество «симплектических базисов»: берем ненулевой вектор, затем вектор, дуальный ему, затем переходим к ортогональному дополнению и делаем то же самое и т. д. То есть (2^4 - 1)2^3(2^2 - 1)2.)
Для S_4, кстати, получается гомоморфизм S_4 —> S_3.
>>1381
Оформил как загадку, лол.
Оформил как загадку, лол.
Только что обнаружил.
Отображение x ↦ (1-x)/(1+x) — инволюция (в квадрате дает тождественное) и переводит аддитивное обращение в мультипликативное.
Охуеть.
Отображение x ↦ (1-x)/(1+x) — инволюция (в квадрате дает тождественное) и переводит аддитивное обращение в мультипликативное.
Охуеть.
Критерий Эйзенштейна.
Многочлен, у которого все коэффициенты, кроме главного, делятся на p, главный не делится на p, а свободный член не делится на p^2 неприводим (многочлен = элемент Z[x], неприводим в Z[x]).
Условия нужны, чтобы выполнялось пикрелейтед. Это противоречит тому, что произведение ненулевых членов наименьшей степени — ненулевой член наименьшей степени произведения.
Многочлен, у которого все коэффициенты, кроме главного, делятся на p, главный не делится на p, а свободный член не делится на p^2 неприводим (многочлен = элемент Z[x], неприводим в Z[x]).
Условия нужны, чтобы выполнялось пикрелейтед. Это противоречит тому, что произведение ненулевых членов наименьшей степени — ненулевой член наименьшей степени произведения.
Если подкольцо содержится в конечном объединении идеалов, один из которых простой, то один из идеалов можно выбросить из объединения.
Если бы это было не так, для каждого идеала I из объединения существовал бы элемент a_I из подкольца, лежащий в I, но не лежащий в других идеалах из объединения. Обозначим простой идеал из объединения буквой p. Тогда (Π (по I ≠ p) a_I) + a_p лежит в подкольце, но не лежит ни в одном из идеалов объединения — противоречие.
Если бы это было не так, для каждого идеала I из объединения существовал бы элемент a_I из подкольца, лежащий в I, но не лежащий в других идеалах из объединения. Обозначим простой идеал из объединения буквой p. Тогда (Π (по I ≠ p) a_I) + a_p лежит в подкольце, но не лежит ни в одном из идеалов объединения — противоречие.
Модуль называется нётеровым, если каждый его подмодуль конечно порожден.
Расширение конечно порожденного конечно порожденным является конечно порожденным (очевидно, поднимаем образующие фактормодуля, по модулю них всё в подмодуле).
Расширение нётерового нётеровым является нётеровым (для подмодуля расширения индуцируется такая же короткая точная последовательность с подмодулями подмодуля и фактормодуля, и теорема следует из предыдущего).
Расширение конечно порожденного конечно порожденным является конечно порожденным (очевидно, поднимаем образующие фактормодуля, по модулю них всё в подмодуле).
Расширение нётерового нётеровым является нётеровым (для подмодуля расширения индуцируется такая же короткая точная последовательность с подмодулями подмодуля и фактормодуля, и теорема следует из предыдущего).
То, что фактормодуль и подмодуль нётерового модуля нётеровы — очевидно.
Если кольцо нётерово как модуль над собой, оно называется нётеровым.
Конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом нётеров (это фактор соответствующего свободного модуля, который нетеров, потому что он — прямая сумма нескольких экземпляров кольца, а прямая сумма — частный случай расширения).
Если кольцо нётерово как модуль над собой, оно называется нётеровым.
Конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом нётеров (это фактор соответствующего свободного модуля, который нетеров, потому что он — прямая сумма нескольких экземпляров кольца, а прямая сумма — частный случай расширения).
Многочлены над нётеровым кольцом нётеровы.
Берем идеал в многочленах. Старшие коэффициенты многочленов идеала сами образуют идеал, берем конечное число его образующих и конечное число многочленов идеала, у которых они старшие коэффициенты. По модулю этих многочленов все многочлены идеала загоняются в многочлены степени меньше фиксированной, а это конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом.
Берем идеал в многочленах. Старшие коэффициенты многочленов идеала сами образуют идеал, берем конечное число его образующих и конечное число многочленов идеала, у которых они старшие коэффициенты. По модулю этих многочленов все многочлены идеала загоняются в многочлены степени меньше фиксированной, а это конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом.
Сумасшедший анончик...
>>1401
Это ты про меня? Почему?
Это ты про меня? Почему?
Теорема Римана-Роха для кривых (формулировка):
l(D) - l(K - D) - deg(D) не зависит от дивизора D.
Взяв в качестве одного из дивизоров 0, получаем обычную формулировку (l(0)=1 (константы), l(K)=g (род), deg(0)=0).
Но так проще запомнить.
l(D) - l(K - D) - deg(D) не зависит от дивизора D.
Взяв в качестве одного из дивизоров 0, получаем обычную формулировку (l(0)=1 (константы), l(K)=g (род), deg(0)=0).
Но так проще запомнить.
Ничего тут не понимаю, но надо бы сохранить себе на диск тред, чтобы потом по умным словечкам знания искать.
Философская цитата (Громов):
Всё в мире квадратично, потому что всё порождено сложением и умножением.
Это правда. Например, огромное количество явлений алгебраической геометрии прямо иллюстрируются на квадратичном. Это чуть-чуть мелькало в треде даже.
Всё в мире квадратично, потому что всё порождено сложением и умножением.
Это правда. Например, огромное количество явлений алгебраической геометрии прямо иллюстрируются на квадратичном. Это чуть-чуть мелькало в треде даже.
Парочка глобально-философских идей.
Когда мы пишем f(x), или, без скобок, fx, между f и x намного меньше разницы, чем кажется. Если зафиксировать функцию и менять точку, функция и будет функцией от точки. Но если зафиксировать точку и менять функцию, точка станет функцией на функциях! Можно сказать, что f и x взаимодействуют и выдают что-то, они более-менее равноправны. Эта идея называется дуальностью.
Например, она знакома по линейной алгебре, где используется вовсю, потому что там (f+g)x=fx+gx, f(x+y)=fx+fy, симметрия очень большая.
Ещё в алгебраической геометрии, например, отображение R[x, y, z] —> R всё равно, что отображение {x, y, z} —> R, то есть точка R^{x,y,z} = R^3. Эта точка удовлетворяет уравнениям, если отображение — R[x, y, z] / I —> R, где I — идеал, порожденный уравнениями. Многочлены обычно представляют как функции, а точки — как точки, а тут как-бы «наоборот».
Ещё, отображение Веронезе — это просто дуальность. Точке сопоставляется функция на пространстве многочленов фиксированной степени. Смысл в том, что эта функция линейная — хотя f(x+y)=fx+fy, конечно, неверно (вообще говоря; это как раз линейный случай), но (f+g)x=fx+gx, поэтому гиперповерхности переходят в гиперплоскости.
Когда мы пишем f(x), или, без скобок, fx, между f и x намного меньше разницы, чем кажется. Если зафиксировать функцию и менять точку, функция и будет функцией от точки. Но если зафиксировать точку и менять функцию, точка станет функцией на функциях! Можно сказать, что f и x взаимодействуют и выдают что-то, они более-менее равноправны. Эта идея называется дуальностью.
Например, она знакома по линейной алгебре, где используется вовсю, потому что там (f+g)x=fx+gx, f(x+y)=fx+fy, симметрия очень большая.
Ещё в алгебраической геометрии, например, отображение R[x, y, z] —> R всё равно, что отображение {x, y, z} —> R, то есть точка R^{x,y,z} = R^3. Эта точка удовлетворяет уравнениям, если отображение — R[x, y, z] / I —> R, где I — идеал, порожденный уравнениями. Многочлены обычно представляют как функции, а точки — как точки, а тут как-бы «наоборот».
Ещё, отображение Веронезе — это просто дуальность. Точке сопоставляется функция на пространстве многочленов фиксированной степени. Смысл в том, что эта функция линейная — хотя f(x+y)=fx+fy, конечно, неверно (вообще говоря; это как раз линейный случай), но (f+g)x=fx+gx, поэтому гиперповерхности переходят в гиперплоскости.
Другая идея: функция от двух аргументов = функция от одного аргумента в функции от другого аргумента.
То есть {A×B —> C} = {A —> {B —> C}}.
Можно заменить обычное произведение на «тензорное», если мы не в ситуации множеств, а линейной.
Или в римановой геометрии — расстояние — функция от двух точек, представляется как раз так, причём функция от второй точки «линеаризуется».
Или в топологии, где гомотопия — A×[0,1] —> B.
Вообще, везде, как и все такие идеи.
Это утвеждение, конечно, естественно/функториально, это «сопряженные функторы» × и —> и т. д.
То есть {A×B —> C} = {A —> {B —> C}}.
Можно заменить обычное произведение на «тензорное», если мы не в ситуации множеств, а линейной.
Или в римановой геометрии — расстояние — функция от двух точек, представляется как раз так, причём функция от второй точки «линеаризуется».
Или в топологии, где гомотопия — A×[0,1] —> B.
Вообще, везде, как и все такие идеи.
Это утвеждение, конечно, естественно/функториально, это «сопряженные функторы» × и —> и т. д.
>>1251
Запощу ещё раз.
Запощу ещё раз.
Системы корней.
Нарисованы системы A_2, B_2, C_2, D_2 (надеюсь, что ничего не перепутал). В произвольной размерности это описывается так:
B, C, D — то же самое на всех координатных 2-плоскостях
A — это стороны симплекса (треугольник, тетраэдр…), центры которых перенесены в начало координат.
Нарисованы системы A_2, B_2, C_2, D_2 (надеюсь, что ничего не перепутал). В произвольной размерности это описывается так:
B, C, D — то же самое на всех координатных 2-плоскостях
A — это стороны симплекса (треугольник, тетраэдр…), центры которых перенесены в начало координат.
>>1324
Более конкретно, теорема Гильберта о нулях говорит, что для неединичного идеала в конечно порожденной алгебре над полем всегда есть точка в алгебраическом замыкании поля. Идеал содержится в максимальном — это дает нам точку в поле, по доказанному, конечном над k. Значит, оно отображается в алгебраическое замыкание k.
Сильная теорема о нулях: если f зануляется на всех точках k[конечное множество переменных] / I в алг. замыкании k, то f — нильпотент по модулю I.
Если мы локализуем по f (добавим новую переменную y и соотношение yf=1), точек (в алг. замыкании k) у идеала не будет. По теореме о нулях, идеал I станет единичным. Записав сответствующее выражение 1 и убрав знаменатели f, умножив на степень f, получим то, что хотим.
Более конкретно, теорема Гильберта о нулях говорит, что для неединичного идеала в конечно порожденной алгебре над полем всегда есть точка в алгебраическом замыкании поля. Идеал содержится в максимальном — это дает нам точку в поле, по доказанному, конечном над k. Значит, оно отображается в алгебраическое замыкание k.
Сильная теорема о нулях: если f зануляется на всех точках k[конечное множество переменных] / I в алг. замыкании k, то f — нильпотент по модулю I.
Если мы локализуем по f (добавим новую переменную y и соотношение yf=1), точек (в алг. замыкании k) у идеала не будет. По теореме о нулях, идеал I станет единичным. Записав сответствующее выражение 1 и убрав знаменатели f, умножив на степень f, получим то, что хотим.
>>1405
Честно говоря, я пытаюсь давать доказательства концептуально простые, но часто не стараюсь сделать их понятными для тех, кто видит это впервые. Сорт оф черновик.
Честно говоря, я пытаюсь давать доказательства концептуально простые, но часто не стараюсь сделать их понятными для тех, кто видит это впервые. Сорт оф черновик.
>>1412
Ок, слишком неряшливо, попробую проще.
Теорема о нулях (конечно порожденная алгебра над полем, не имеющая точек в алгебраическом замыкании поля нулевая) => сильная теорема о нулях (элементы (конечно порожденной алгебры над полем), зануляемые всеми точками (в алгебраическом замыкании поля) нильпотентны). Потому что, если мы локализуем по такому элементу, у полученной (все еще конечно порожденной) алгебры не будет точек (в алг. замык. поля), значит, она будет нулевой, значит, элемент нильпотентен.
Звучит очень просто, но вроде норм.
Ок, слишком неряшливо, попробую проще.
Теорема о нулях (конечно порожденная алгебра над полем, не имеющая точек в алгебраическом замыкании поля нулевая) => сильная теорема о нулях (элементы (конечно порожденной алгебры над полем), зануляемые всеми точками (в алгебраическом замыкании поля) нильпотентны). Потому что, если мы локализуем по такому элементу, у полученной (все еще конечно порожденной) алгебры не будет точек (в алг. замык. поля), значит, она будет нулевой, значит, элемент нильпотентен.
Звучит очень просто, но вроде норм.
>>1419
Хз, никакие. По крайней мере я пока не знаю. Написано же «философская».
Например
a=bcd (это «переменные») можно записать как проекцию системы
e=bc
a=ed
на плоскость a,b,c,d.
Квадратично.
И так всё, что угодно, конечно.
То есть более конкретно — любое алг. многообразие — проекция «квадратичного».
Элементарные основы алггеома удивительно похожи на линейную алгебру, по крайней мере образы, которые там присутствуют.
Хз, никакие. По крайней мере я пока не знаю. Написано же «философская».
Например
a=bcd (это «переменные») можно записать как проекцию системы
e=bc
a=ed
на плоскость a,b,c,d.
Квадратично.
И так всё, что угодно, конечно.
То есть более конкретно — любое алг. многообразие — проекция «квадратичного».
Элементарные основы алггеома удивительно похожи на линейную алгебру, по крайней мере образы, которые там присутствуют.
Неинтегрируемые распределения плоскостей.
Поля направлений интегрируемы (flow-box theorem). А распредледеления подпространств вообще — нет, что неожиданно.
Пример:
Если мы движемся по прямой, мы можем смотреть на это как будто мы движемся не на прямой, а в трёхмерном пространстве, где координатами являются скорость v, положение s, время t. Но не любое движение в 3d пространстве получается из движения по прямой. Координаты s,v,t не равноправны, они имеют смысл. Условие такое: ds=vdt. Это линейное условие на инфинитезимальный вектор «скорости» (ds,dv,dt) в каждой точке. То есть поле гиперплоскостей. Если бы оно было интегрируемо, мы могли бы двигаться только по слоям, но ясно, что из состояния нахождения в одной точке прямой с одной скоростью и в другой с другой можно практически всегда перейти путем практически за любое время. (Это условие ds=vdt, кажется, называется стандартной контактной формой.)
Поля направлений интегрируемы (flow-box theorem). А распредледеления подпространств вообще — нет, что неожиданно.
Пример:
Если мы движемся по прямой, мы можем смотреть на это как будто мы движемся не на прямой, а в трёхмерном пространстве, где координатами являются скорость v, положение s, время t. Но не любое движение в 3d пространстве получается из движения по прямой. Координаты s,v,t не равноправны, они имеют смысл. Условие такое: ds=vdt. Это линейное условие на инфинитезимальный вектор «скорости» (ds,dv,dt) в каждой точке. То есть поле гиперплоскостей. Если бы оно было интегрируемо, мы могли бы двигаться только по слоям, но ясно, что из состояния нахождения в одной точке прямой с одной скоростью и в другой с другой можно практически всегда перейти путем практически за любое время. (Это условие ds=vdt, кажется, называется стандартной контактной формой.)
Недавно кое-что пришло в голову.
Есть нормальное распределение e^(-x^2). Это экспонента квадратичной формы и она обладает такой же сииметрией, как квадратичная форма (то есть огромной симметрией). Например, ограничив на аффинное подпространство получаем ту же функцию, взяв декартово произведение (тензорное произведение) с собой получаем ту же функцию. Конечно же ортогональная симметрия. (Та же функция значит та же с точностью до умножения на константу)
Можно ещё взять “pushforward” по сюрьективному (линейному) отображению, проинтегрировав по слоям, получается та же функция. Но ведь у квадратичных форм непонятно как брать образ (по крайней мере мне так кажется)! То есть у гаусс. распред. получается больше симметрии, чем у квадратичной формы, мы можем определить образ кв. формы??!! Конечно, учитывая ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТЬ.
Еще, есть такой (контр)пример — функция, у которой все производные в нуле нулевые — e^(-1/x^2). Так вот, это та же функция, только мы смотри на неё на бесконечности, проективно поменяв координаты (0 <—> бесконечность). То есть смутное ощущение «она очень быстро убывает» имеет такую конкретную манифестацию.
Есть нормальное распределение e^(-x^2). Это экспонента квадратичной формы и она обладает такой же сииметрией, как квадратичная форма (то есть огромной симметрией). Например, ограничив на аффинное подпространство получаем ту же функцию, взяв декартово произведение (тензорное произведение) с собой получаем ту же функцию. Конечно же ортогональная симметрия. (Та же функция значит та же с точностью до умножения на константу)
Можно ещё взять “pushforward” по сюрьективному (линейному) отображению, проинтегрировав по слоям, получается та же функция. Но ведь у квадратичных форм непонятно как брать образ (по крайней мере мне так кажется)! То есть у гаусс. распред. получается больше симметрии, чем у квадратичной формы, мы можем определить образ кв. формы??!! Конечно, учитывая ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТЬ.
Еще, есть такой (контр)пример — функция, у которой все производные в нуле нулевые — e^(-1/x^2). Так вот, это та же функция, только мы смотри на неё на бесконечности, проективно поменяв координаты (0 <—> бесконечность). То есть смутное ощущение «она очень быстро убывает» имеет такую конкретную манифестацию.
Так, теперь небольшое философское отступление о пучках и ростках, которое может быть немного сложным для восприятия.
Во-первых, любой функтор можно представлять как представленный, специально введенным формальным объектом. То есть мы определяем пространство морфизмов из A в F как F(A) (F — это функтор) и т.д.
И морфизмы между функторами — стрелки между этими F, G (рисунок 1).
Мы можем смотреть на ростки (пред)пучка в «точке» (где угодно, не только в «точке», я думаю) таким же способом «формальных стрелок» (рисунок 2). То есть все эти условия, определяющие ростки, функторы, естественные преобразования, это как бы одно условие («ассоциативности»), если мы примем идеологию формальных объектов («образующих/соотношений»).
То есть пучки&ростки можно представлять как «формальную окружающую категорию» топологического пр-ва как категории.
А условие для предпучка быть пучком —это условие, что «объединение» — это «объединение». То есть, для подкатегории, замкнутой относительно перехода к подмножествам, её «объединение» обладает «универсальным свойством объединения», если представлять пучки представленными (рисунок 3).
Все 3 рисунка очень похожи.
Это ОЧЕНЬ туманно, но я не мог это не сказать, потому что это — одна из причин (другая — изложенный выше «аддитивный» взгляд), по которой я понял, что категории — это вещь.
Во-первых, любой функтор можно представлять как представленный, специально введенным формальным объектом. То есть мы определяем пространство морфизмов из A в F как F(A) (F — это функтор) и т.д.
И морфизмы между функторами — стрелки между этими F, G (рисунок 1).
Мы можем смотреть на ростки (пред)пучка в «точке» (где угодно, не только в «точке», я думаю) таким же способом «формальных стрелок» (рисунок 2). То есть все эти условия, определяющие ростки, функторы, естественные преобразования, это как бы одно условие («ассоциативности»), если мы примем идеологию формальных объектов («образующих/соотношений»).
То есть пучки&ростки можно представлять как «формальную окружающую категорию» топологического пр-ва как категории.
А условие для предпучка быть пучком —это условие, что «объединение» — это «объединение». То есть, для подкатегории, замкнутой относительно перехода к подмножествам, её «объединение» обладает «универсальным свойством объединения», если представлять пучки представленными (рисунок 3).
Все 3 рисунка очень похожи.
Это ОЧЕНЬ туманно, но я не мог это не сказать, потому что это — одна из причин (другая — изложенный выше «аддитивный» взгляд), по которой я понял, что категории — это вещь.
Репер Френе, формулы Френе.
Тождество Якоби в алгебрах Ли переписывается как на рисунке (с учётом антикоммутативности коммутатора).
Это тождество эквивалентно каждому из двух утверждений по отдельности:
1. (линейное) действие алгебры на себе — действие дифференцированиями
2. (линейное) действие алгебры на себе переводит коммутаторы в коммутаторы, то есть является действием алгебры Ли.
Доказательство: внимательно посмотрите на рисунок.
Это тождество эквивалентно каждому из двух утверждений по отдельности:
1. (линейное) действие алгебры на себе — действие дифференцированиями
2. (линейное) действие алгебры на себе переводит коммутаторы в коммутаторы, то есть является действием алгебры Ли.
Доказательство: внимательно посмотрите на рисунок.
В начале каждой книги по алгебрам Ли есть две проверки:
1. Коммутатор дифференцирований — дифференцирование.
2. Коммутатор в ассоциативной алгебре удовлетворяет тождеству Якоби.
Обе эти «проверки» можно сделать вообще без вычислений.
Во-первых, быть дифференцированием означает коммутативность диаграммы на рисунке 1 (A — алгебра).
Поэтому утверждение 1 следует из того, что стандартное лиевское действие на тензорном квадрате сохраняет коммутаторы, а это следует из того, что a⊗1 и 1⊗b коммутируют (рисунок 2).
Точно так же, второе утверждение следует из того, что эндоморфизмы левого (a*) и правого (*b) умножения в ассоциативной алгебре коммутируют (рисунок 3). (Мы доказывает тождество якоби в форме сохранения коммутаторов действием. Минус появляется, потому что мы пишем эндоморфизмы слева, поэтому правое умножение — не действие, а «антидействие».)
Невооруженным глазом видно, насколько эти две «проверки» похожи.
1. Коммутатор дифференцирований — дифференцирование.
2. Коммутатор в ассоциативной алгебре удовлетворяет тождеству Якоби.
Обе эти «проверки» можно сделать вообще без вычислений.
Во-первых, быть дифференцированием означает коммутативность диаграммы на рисунке 1 (A — алгебра).
Поэтому утверждение 1 следует из того, что стандартное лиевское действие на тензорном квадрате сохраняет коммутаторы, а это следует из того, что a⊗1 и 1⊗b коммутируют (рисунок 2).
Точно так же, второе утверждение следует из того, что эндоморфизмы левого (a*) и правого (*b) умножения в ассоциативной алгебре коммутируют (рисунок 3). (Мы доказывает тождество якоби в форме сохранения коммутаторов действием. Минус появляется, потому что мы пишем эндоморфизмы слева, поэтому правое умножение — не действие, а «антидействие».)
Невооруженным глазом видно, насколько эти две «проверки» похожи.
>>1422
Исправил картинку.
Исправил картинку.
>>1302
Отмечу ещё, что это такая «детская»/вещественная версия изоморфизма SU(2) → SO(3) с помощью сферы Римана.
Отмечу ещё, что это такая «детская»/вещественная версия изоморфизма SU(2) → SO(3) с помощью сферы Римана.
Определитель и след.
Внешняя степень векторного пространства V (или просто чего-то аддитивного: модуля, абелевой группы) — то же, что тензорная степень (соотношение дистрибутивности) + ещё соотношение a^2 = 0 для всех элементов a из V. Смысл в том, что это объем (см. рисунок, это на плоскости).
Определитель — это «мультипликативное» действие на старшей внешней степени: если a,b,c— базис, то преобразование g действует так: abc ↦ g(a)g(b)g(c). Смысл в том, что это изменение объема под действием линейного преобразования.
След — это «аддитивное» действие на старшей внешней степени: если a,b,c — базис, то линейное преобразование d (на самом деле линейное векторное поле) действует так: abc ↦ (da)bc + a(db)c + ab(dc). Смысл в том, что это изменение объема под действием линейного векторного поля.
Внешняя степень векторного пространства V (или просто чего-то аддитивного: модуля, абелевой группы) — то же, что тензорная степень (соотношение дистрибутивности) + ещё соотношение a^2 = 0 для всех элементов a из V. Смысл в том, что это объем (см. рисунок, это на плоскости).
Определитель — это «мультипликативное» действие на старшей внешней степени: если a,b,c— базис, то преобразование g действует так: abc ↦ g(a)g(b)g(c). Смысл в том, что это изменение объема под действием линейного преобразования.
След — это «аддитивное» действие на старшей внешней степени: если a,b,c — базис, то линейное преобразование d (на самом деле линейное векторное поле) действует так: abc ↦ (da)bc + a(db)c + ab(dc). Смысл в том, что это изменение объема под действием линейного векторного поля.
Экспонента переводит лиевское действие в групповое.
Ещё один способ смотреть на след — сказать, что
trace: End(V) = V⊗V* → R
(→ спаривание между V и V*).
Другими словами, если расписать
матрица = Σ столбец на строку, то
след матрицы = Σ строка на столбец (т.е. те же произведения, но переставленные).
Если смотреть на векторы (столбцы) и ковекторы (строки) как на рисунке 1, то след задаётся тем, что для всех эндоморфизмов, получающихся из «цикла» (рисунок 2) след одинаков (утверждение для «цикла» из 2 стрелок эквивалентно утверждению для «цикла» из n стрелок) (и аддитивностью, конечно же).
trace: End(V) = V⊗V* → R
(→ спаривание между V и V*).
Другими словами, если расписать
матрица = Σ столбец на строку, то
след матрицы = Σ строка на столбец (т.е. те же произведения, но переставленные).
Если смотреть на векторы (столбцы) и ковекторы (строки) как на рисунке 1, то след задаётся тем, что для всех эндоморфизмов, получающихся из «цикла» (рисунок 2) след одинаков (утверждение для «цикла» из 2 стрелок эквивалентно утверждению для «цикла» из n стрелок) (и аддитивностью, конечно же).
Шо?
Что-то тред начинает походить на личный математический бложик. Может, так и надо?
Опять читал алгеом Шафаревича, там, где он говорит про конечные отображения. Мне кажется, что про конечность проекции лучше говорить так:
Мы рассматриваем проективные многообразия.
Проекция из точки, не принадлежащей многообразию, конечна.
Доказательство:
Будем считать, что это точка на бесконечности — (0:0:…:0:1). Проекция выглядит как на рисунке 1.
Координаты обозначим (x_0 : x_1 : … : x_n).
Так как (0:0:…:0:1) не принадлежит многообразию, на аффинной окрестности x_n = 1 у уранений x_i = 0 (i = 0, … , n-1) на многообразии нет решений, значит, по теореме о нулях, они на нём порождают единичный идеал. Записав соответствующее выражение 1 и сделав его однородным, получим, что x_n «целое над x_0, …, x_(n-1)». Более того, похоже, это эквивалентно тому, что точка не на многообразии. Из этого следует, что для каждой аффинной окрестности x_i = 1 (i = 0, …, n-1) x_n целое над x_j (j = 0, …, n-1). Отсюда следует, что проекция из (0:0:…:0:1), при которой (x_0 : x_1 : … : x_n) сопоставляется (x_0 : x_1 : … : x_(n-1)) — конечное отображение (потому что образующие целые). Суггестивные примеры — рисунок 2.
Если это правильно, имхо, то так прямее и элементарнее, чем у него.
Опять читал алгеом Шафаревича, там, где он говорит про конечные отображения. Мне кажется, что про конечность проекции лучше говорить так:
Мы рассматриваем проективные многообразия.
Проекция из точки, не принадлежащей многообразию, конечна.
Доказательство:
Будем считать, что это точка на бесконечности — (0:0:…:0:1). Проекция выглядит как на рисунке 1.
Координаты обозначим (x_0 : x_1 : … : x_n).
Так как (0:0:…:0:1) не принадлежит многообразию, на аффинной окрестности x_n = 1 у уранений x_i = 0 (i = 0, … , n-1) на многообразии нет решений, значит, по теореме о нулях, они на нём порождают единичный идеал. Записав соответствующее выражение 1 и сделав его однородным, получим, что x_n «целое над x_0, …, x_(n-1)». Более того, похоже, это эквивалентно тому, что точка не на многообразии. Из этого следует, что для каждой аффинной окрестности x_i = 1 (i = 0, …, n-1) x_n целое над x_j (j = 0, …, n-1). Отсюда следует, что проекция из (0:0:…:0:1), при которой (x_0 : x_1 : … : x_n) сопоставляется (x_0 : x_1 : … : x_(n-1)) — конечное отображение (потому что образующие целые). Суггестивные примеры — рисунок 2.
Если это правильно, имхо, то так прямее и элементарнее, чем у него.
>>1457
Ах да, забыл сказать, что любая проекция получается композицией проекций из точек (сюръективное линейное преобразование получается композицией сюръективных линейных преобразований, понижающих ранг на 1), поэтому это для любых проекций (из подпространства, не пересекающего многообразие) доказывает конечность.
Ах да, забыл сказать, что любая проекция получается композицией проекций из точек (сюръективное линейное преобразование получается композицией сюръективных линейных преобразований, понижающих ранг на 1), поэтому это для любых проекций (из подпространства, не пересекающего многообразие) доказывает конечность.
Почему метр выбран именно таким?
Чтобы расстояние от полюса до экватора было 10000 км.
Так что размер Земли можно не запоминать.
Чтобы расстояние от полюса до экватора было 10000 км.
Так что размер Земли можно не запоминать.
Шо?
>>1463
Никто.
Никто.
>>1324
>Лемма 2. A[x][1/f] не поле.
>(A — область целостности)
>A[x][1/f] —> Frac(A)((x))
>1/(1-f) ≠ (polynomial / f^n)
>так как
>f^n / (1-f) = 1/(1-f) - (1+f+…+f^(n-1)),
>а 1/(1-f) не может быть многочленом.
Лучше сказать так. Если локализовать по f, элемент g, «взаимно простой с f» (т.е. (g,f)=(1), такой всегда есть, например, f + g = 1) не будет обратим.
От противного: допустим, что 1 / g = h / f^n. Если h делится на f, сократим, т.е. предполагаем, что h / f^n «несократимо». Если n=0, этого очевидно не может быть (если g не константа, что, конечно, можно предполагать). Если нет,
f^n = g * h
0 = обратимое * ненулевое (mod f)
— невозможно.
Это и для Z[1/n] работает.
То есть, для целостного кольца, элементы, обратимые в локализации по f, это то, что изначально было обратимо + делители нуля mod f. Элемент, который изначально не обратим, но обратим mod f, обратимым в локализации по f не станет.
>Лемма 2. A[x][1/f] не поле.
>(A — область целостности)
>A[x][1/f] —> Frac(A)((x))
>1/(1-f) ≠ (polynomial / f^n)
>так как
>f^n / (1-f) = 1/(1-f) - (1+f+…+f^(n-1)),
>а 1/(1-f) не может быть многочленом.
Лучше сказать так. Если локализовать по f, элемент g, «взаимно простой с f» (т.е. (g,f)=(1), такой всегда есть, например, f + g = 1) не будет обратим.
От противного: допустим, что 1 / g = h / f^n. Если h делится на f, сократим, т.е. предполагаем, что h / f^n «несократимо». Если n=0, этого очевидно не может быть (если g не константа, что, конечно, можно предполагать). Если нет,
f^n = g * h
0 = обратимое * ненулевое (mod f)
— невозможно.
Это и для Z[1/n] работает.
То есть, для целостного кольца, элементы, обратимые в локализации по f, это то, что изначально было обратимо + делители нуля mod f. Элемент, который изначально не обратим, но обратим mod f, обратимым в локализации по f не станет.
>>1468
>То есть, для целостного кольца, элементы, обратимые в локализации по f, это то, что изначально было обратимо + делители нуля mod f.
No. То, что изначально не было обратимо, но стало обратимо, является делителем нуля мод f.
Короче, понятно, это очевидно.
>То есть, для целостного кольца, элементы, обратимые в локализации по f, это то, что изначально было обратимо + делители нуля mod f.
No. То, что изначально не было обратимо, но стало обратимо, является делителем нуля мод f.
Короче, понятно, это очевидно.
Честно говоря, не особо знаю, что ещё сказать. Может, буду постить картиночки и мелкомысли.
Прочитал доказ. Римана-Роха для кривых, линал бесконечномерных пространств там очень похож на это
>>1428
>>1429
>>1436
>>1443
что радует. То есть там ничего нет.
Но почему Tr[f, g] = Res(f dg) философски — не знаю.
Философски — след это количество фикс. точек (с кратностями) [т.к. для перестановок это так]. Вычет — это то же что-то вроде кратности фикс. точки. Но я этого просто не знаю.
картинки нерелейтед
Прочитал доказ. Римана-Роха для кривых, линал бесконечномерных пространств там очень похож на это
>>1428
>>1429
>>1436
>>1443
что радует. То есть там ничего нет.
Но почему Tr[f, g] = Res(f dg) философски — не знаю.
Философски — след это количество фикс. точек (с кратностями) [т.к. для перестановок это так]. Вычет — это то же что-то вроде кратности фикс. точки. Но я этого просто не знаю.
картинки нерелейтед
Все тождества с мультипликативными коммутаторами так очень легко доказываются.
>>1474
То же вычисление даёт коммутационную формулу Шевалле для элементарных трансвекций (пикрелейтед, формула верна когда она имеет смысл), только ηε теперь = 0, поэтому члена -ba нет.
То же вычисление даёт коммутационную формулу Шевалле для элементарных трансвекций (пикрелейтед, формула верна когда она имеет смысл), только ηε теперь = 0, поэтому члена -ba нет.
Наблюдение о базовых паттернах человеческого мышления (в контексте математики): мозгу очень нравятся структуры типа квадрата пикрелейтед. Например, когда сознание может заполнить 3 ячейки, оно ищет, чем заполнить червёртую. Это везде проявляется, если присмотреться.
Что такое сопряжение.
Стоп. Разве отсюда не следует теорема о нулях?
Так совсем хорошо получается.
Так совсем хорошо получается.
Есть что-нибудь для тех, кто видит впервые?
>>1492
Понятия не имею.
>>1493
Мммм…
Вот это: http://www.math.miami.edu/~ec/book/
Главы с первой по пятую.
Это только самое начало, конечно же.
Некоторые вещи, особенно в начале треда, понятны совсем без бэкграунда.
Понятия не имею.
>>1493
Мммм…
Вот это: http://www.math.miami.edu/~ec/book/
Главы с первой по пятую.
Это только самое начало, конечно же.
Некоторые вещи, особенно в начале треда, понятны совсем без бэкграунда.
Сейчас я думаю, что алгебраическую геометрию надо начинать вокруг понятия конечного отображения/морфизма. Похоже, что всё делается через это, и делается очень легко и наглядно. К сожалению, я пока не знаю область, чтобы понять, прав я или нет.
>>1459
Алсо, число Авогадро — масса протона, точнее, обратное к массе протона в граммах, то есть количество протонов, нужное, чтобы получить один грамм.
Я не понимаю, почему бы не говорить это, а потом давать практически точные определения.
Алсо, число Авогадро — масса протона, точнее, обратное к массе протона в граммах, то есть количество протонов, нужное, чтобы получить один грамм.
Я не понимаю, почему бы не говорить это, а потом давать практически точные определения.
Этальный — это когда корни не сливаются, а конечный — когда не исчезают?
А и то, и другое — это накрытие?
А и то, и другое — это накрытие?
>>1488
>>1457
Получается, тут не нужна теорема о нулях, наоборот, отсюда можно её вывести? Если в конечно порожденной алгебре выполняется алгебраическое соотношение мы легко можем сделать его «целым» с помощью линейного преобразования, как тут (>>1457). Это для бесконечного (например, алгебраически замкнутого) поля. Для произвольного поля тоже очень легко (хоть и не линейно):
сдвигаем x_i на (x_0)^(N^i), где i не равно 0, N больше степени многочлена. Тогда одночлен Π(x_i)^(α_i) даст член старшей степени (x_0)^(Σ(α_i)(N^i)), которые все разные (так как это N-ичные записи числа), член наибольшей степени из них будет старшим членом многочлена. Т.е. x_0 целое над x_i + (x_0)^(N^i), x_i, как следствие, тоже, так как целые элементы образуют кольцо. Всё, мы уменьшили количество образующих.
Так как если поле целое над подкольцом, то это подкольцо само поле, а многочлены — поле, только когда они от 0 переменных, мы получаем, что если (ненулевая!) конечно порожденная алгебра над полем является полем, то это конечное расширение. Отсюда теорема Гильберта о нулях.
>>1457
Получается, тут не нужна теорема о нулях, наоборот, отсюда можно её вывести? Если в конечно порожденной алгебре выполняется алгебраическое соотношение мы легко можем сделать его «целым» с помощью линейного преобразования, как тут (>>1457). Это для бесконечного (например, алгебраически замкнутого) поля. Для произвольного поля тоже очень легко (хоть и не линейно):
сдвигаем x_i на (x_0)^(N^i), где i не равно 0, N больше степени многочлена. Тогда одночлен Π(x_i)^(α_i) даст член старшей степени (x_0)^(Σ(α_i)(N^i)), которые все разные (так как это N-ичные записи числа), член наибольшей степени из них будет старшим членом многочлена. Т.е. x_0 целое над x_i + (x_0)^(N^i), x_i, как следствие, тоже, так как целые элементы образуют кольцо. Всё, мы уменьшили количество образующих.
Так как если поле целое над подкольцом, то это подкольцо само поле, а многочлены — поле, только когда они от 0 переменных, мы получаем, что если (ненулевая!) конечно порожденная алгебра над полем является полем, то это конечное расширение. Отсюда теорема Гильберта о нулях.
>>1394
Проективно это «поворот на 45 градусов».
Проективно это «поворот на 45 градусов».
Числа Лиувилля.
Буду говорить грубо (с точностью до констант…).
Берем алгебраическое число и последовательность рациональных аппроксимаций к нему. Подставим эти аппроксиммации в многочлен, зануляющий алгебраическое число. С одной стороны, если убрать знаменатели, получается, что значение многочлена (по модулю) больше фиксированной степени знаменателя. С другой стороны, значение многочлена (по модулю) — произведение расстояний до комплексных корней. Так как мы приближаемся к одному из них, можно считать, что расстояние до остальных — константа, то есть значение многочлена — точность аппроксимации. То есть если мы возьмем последовательность рац. чисел, сходяющуюся быстрее, чем фиксированная степень знаменателя, мы получим трансцендентное число. Но такое очень легко сделать — можно сделать сумму, каждый следующий член которой сколь угодно меньше знаменателя предыдущего члена. Например: 0,1 сколь угодно длинная последовательность нулей 1 сколь угодно более длинная последовательность нулей 1 …
Буду говорить грубо (с точностью до констант…).
Берем алгебраическое число и последовательность рациональных аппроксимаций к нему. Подставим эти аппроксиммации в многочлен, зануляющий алгебраическое число. С одной стороны, если убрать знаменатели, получается, что значение многочлена (по модулю) больше фиксированной степени знаменателя. С другой стороны, значение многочлена (по модулю) — произведение расстояний до комплексных корней. Так как мы приближаемся к одному из них, можно считать, что расстояние до остальных — константа, то есть значение многочлена — точность аппроксимации. То есть если мы возьмем последовательность рац. чисел, сходяющуюся быстрее, чем фиксированная степень знаменателя, мы получим трансцендентное число. Но такое очень легко сделать — можно сделать сумму, каждый следующий член которой сколь угодно меньше знаменателя предыдущего члена. Например: 0,1 сколь угодно длинная последовательность нулей 1 сколь угодно более длинная последовательность нулей 1 …
>>1504
>С одной стороны, если убрать знаменатели, получается, что значение многочлена (по модулю) больше фиксированной степени знаменателя.
Обратной к фиксированной степени знаменателя, конечно же. Ну вы поняли.
>С одной стороны, если убрать знаменатели, получается, что значение многочлена (по модулю) больше фиксированной степени знаменателя.
Обратной к фиксированной степени знаменателя, конечно же. Ну вы поняли.
Подробнее про вектора Витта.
x d/dx log Π(x - λ) = x (d/dx Π(x - λ)) / Π(x - λ) = Σ Σ λ^i / x^i
Если мы хотим определить сумму и произведение многочленов как соответствующие операции на множествах корней, так сказать «прямая сумма множеств корней» и «декартово произведение множеств корней», то этому будут соотвестовать те же операции покоэффициентно для их логарифмических производных, как ясно из вычислений выше, что и соответствует сумме и произведению «векторов Витта».
Кстати, из (x d/dx Π(x - λ)) = (Σ Σ λ^i / x^i) (Π(x - λ)) следует выражение коэффициентов многочлена Π(x - λ), то есть элементарных симметрических многочленов от λ, через (Σ λ^i) (в предположении характеристики 0).
Если воспринимать многочлены как характеристические многочлены линейных преобразований, а λ — как собственные числа, то сумма — это прямая сумма, а произведение — это тензорное произведение. Тогда (Σ λ^i) = Tr(a^i), где a — соответствующее линейное преобразование. Это в некотором роде показывает, почему для представлений групп в характеристике 0 след определяет всё, в том числе определитель.
Это всё верно с точность до некоторых оговорок ((Σ Σ λ^i / x^i) — не ряд, так как степени x убывают, поэтому нужно взять 1/x, и тому подобные мелкие уточнения).
x d/dx log Π(x - λ) = x (d/dx Π(x - λ)) / Π(x - λ) = Σ Σ λ^i / x^i
Если мы хотим определить сумму и произведение многочленов как соответствующие операции на множествах корней, так сказать «прямая сумма множеств корней» и «декартово произведение множеств корней», то этому будут соотвестовать те же операции покоэффициентно для их логарифмических производных, как ясно из вычислений выше, что и соответствует сумме и произведению «векторов Витта».
Кстати, из (x d/dx Π(x - λ)) = (Σ Σ λ^i / x^i) (Π(x - λ)) следует выражение коэффициентов многочлена Π(x - λ), то есть элементарных симметрических многочленов от λ, через (Σ λ^i) (в предположении характеристики 0).
Если воспринимать многочлены как характеристические многочлены линейных преобразований, а λ — как собственные числа, то сумма — это прямая сумма, а произведение — это тензорное произведение. Тогда (Σ λ^i) = Tr(a^i), где a — соответствующее линейное преобразование. Это в некотором роде показывает, почему для представлений групп в характеристике 0 след определяет всё, в том числе определитель.
Это всё верно с точность до некоторых оговорок ((Σ Σ λ^i / x^i) — не ряд, так как степени x убывают, поэтому нужно взять 1/x, и тому подобные мелкие уточнения).
Фантомные и обычные коэффициенты с номерами p^i определяют друг друга (пикрелейтед, в одну сторону очевидно, в другую восстанавливаются по индукции). Значит, универсальные полиномиальные формулы, выражающие коэффициенты (X+Y)_(p^i) через X_j и Y_k, зависят только от X_(p_l).
>>1293
>То, что ребра дуального многогранника (если его, как и исходный, отнормировать, чтобы вершины лежали на единичной сфере) не являются серединами (в смысле объемлющего евклидового пространства) граней исходного многогранника можно убедиться посмотрев на обычные многогранники в трехмерном пространстве, впрочем это и так очевидно.
>ребра
Вершины.
>То, что ребра дуального многогранника (если его, как и исходный, отнормировать, чтобы вершины лежали на единичной сфере) не являются серединами (в смысле объемлющего евклидового пространства) граней исходного многогранника можно убедиться посмотрев на обычные многогранники в трехмерном пространстве, впрочем это и так очевидно.
>ребра
Вершины.
Лемма Гензеля.
Если у нас есть решение f(x)=0 (mod p^n), где f — многочлен с целочисленными коэффициентами и f’(x) =/= 0 (mod p), мы можем поднять его до решения mod p^(n+1), причём единственным способом.
(Тавтологическое) доказательство:
f(x)=0 (mod p^n) <=> f(x)=a*p^n
Поменять x так, чтобы его класс mod p^n не изменился <=> добавить к нему b*p^n.
f(x+bp^n) = f(x)+f’(x)bp^n (mod p^(n+1)) = ap^n+f’(x)bp^n (mod p^(n+1)) = (a+f’(x)b)p^n (mod p^(n+1))
Поэтому, сократив на p^n,
f(x+bp^n)=0 (mod p^(n+1)) <=> a+f’(x)b = 0 (mod p), что решается и единственным способом относительно b, если f’(x) =/= 0 (mod p).
Вектора Витта и p-адические числа (коротко).
Благодаря поднятию Гензеля мы можем найти для кажого a_0 из Z/p p-адическое число a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + ..., удовлетворяющее уравнению x^p = x. Оно называется представителем Тейхмюллера для a_0 и p-адические числа можно раскладывать рядами по этим представителям: Σ α_i p^i, где (α_i)^p = α_i.
Сопоставив вектору Витта с коэффициентами из Z/p соответствующиее p-адическое число (с коэффициентами — соответствующими представитлями Тейхмюллера) мы получим изоморфизм. Нетривиальна согласованность с умножением. Для равенства p-адического числа, соответствующего сумме векторов Витта, сумме p-адических чисел, соответствующих слагаемым, необходимо и достаточно выполнение условий на рисунке 1, которые, ввиду того, что это разложения по представителям Тейхмюллера, эквивалентны условиям рисунка 2. Подставив вместо c_i соответствующие многочлены от a_j и b_k, получим выполнение этих условий тождественно, как многочленов от a_j и b_k, потому что мы так определяли вектора Витта.
Понимание векторов Витта на минимальном элементарном уровне завершено.
Блин, неплохо было бы всё записанное нормально удобочитаемо записать, сделать pdfки с помощью TeXа (и для этого, по крайней мере, выучить TeX)... Так лень.
Если у нас есть решение f(x)=0 (mod p^n), где f — многочлен с целочисленными коэффициентами и f’(x) =/= 0 (mod p), мы можем поднять его до решения mod p^(n+1), причём единственным способом.
(Тавтологическое) доказательство:
f(x)=0 (mod p^n) <=> f(x)=a*p^n
Поменять x так, чтобы его класс mod p^n не изменился <=> добавить к нему b*p^n.
f(x+bp^n) = f(x)+f’(x)bp^n (mod p^(n+1)) = ap^n+f’(x)bp^n (mod p^(n+1)) = (a+f’(x)b)p^n (mod p^(n+1))
Поэтому, сократив на p^n,
f(x+bp^n)=0 (mod p^(n+1)) <=> a+f’(x)b = 0 (mod p), что решается и единственным способом относительно b, если f’(x) =/= 0 (mod p).
Вектора Витта и p-адические числа (коротко).
Благодаря поднятию Гензеля мы можем найти для кажого a_0 из Z/p p-адическое число a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + ..., удовлетворяющее уравнению x^p = x. Оно называется представителем Тейхмюллера для a_0 и p-адические числа можно раскладывать рядами по этим представителям: Σ α_i p^i, где (α_i)^p = α_i.
Сопоставив вектору Витта с коэффициентами из Z/p соответствующиее p-адическое число (с коэффициентами — соответствующими представитлями Тейхмюллера) мы получим изоморфизм. Нетривиальна согласованность с умножением. Для равенства p-адического числа, соответствующего сумме векторов Витта, сумме p-адических чисел, соответствующих слагаемым, необходимо и достаточно выполнение условий на рисунке 1, которые, ввиду того, что это разложения по представителям Тейхмюллера, эквивалентны условиям рисунка 2. Подставив вместо c_i соответствующие многочлены от a_j и b_k, получим выполнение этих условий тождественно, как многочленов от a_j и b_k, потому что мы так определяли вектора Витта.
Понимание векторов Витта на минимальном элементарном уровне завершено.
Блин, неплохо было бы всё записанное нормально удобочитаемо записать, сделать pdfки с помощью TeXа (и для этого, по крайней мере, выучить TeX)... Так лень.
>>1518
>Нетривиальна согласованность с умножением.
С умножением и сложением.
>Для равенства p-адического числа, соответствующего сумме векторов Витта, сумме p-адических чисел, соответствующих слагаемым, необходимо и достаточно выполнение условий на рисунке 1, которые, ввиду того, что это разложения по представителям Тейхмюллера, эквивалентны условиям рисунка 2. Подставив вместо c_i соответствующие многочлены от a_j и b_k, получим выполнение этих условий тождественно, как многочленов от a_j и b_k, потому что мы так определяли вектора Витта.
И то же самое для умножения.
>Нетривиальна согласованность с умножением.
С умножением и сложением.
>Для равенства p-адического числа, соответствующего сумме векторов Витта, сумме p-адических чисел, соответствующих слагаемым, необходимо и достаточно выполнение условий на рисунке 1, которые, ввиду того, что это разложения по представителям Тейхмюллера, эквивалентны условиям рисунка 2. Подставив вместо c_i соответствующие многочлены от a_j и b_k, получим выполнение этих условий тождественно, как многочленов от a_j и b_k, потому что мы так определяли вектора Витта.
И то же самое для умножения.
Инвариантность формы Киллинга (форма Киллинга — след произведения, инвариантность относительно лиевского действия).
Верно тождество:
[a,bc] = [a,b]c + b[a,c]
Взяв след получаем то, что хотим.
Верно тождество:
[a,bc] = [a,b]c + b[a,c]
Взяв след получаем то, что хотим.
>>1518
>Подставив вместо c_i соответствующие многочлены от a_j и b_k, получим выполнение этих условий тождественно, как многочленов от a_j и b_k, потому что мы так определяли вектора Витта.
Нет, не так. Дело в том, что многочлен от представителей тейхмюллера вовсе не обязан быть представителем тейхмюллера. Мы берем представитель тейхмюллера, у которого такой же первый член — этому и соответствуют операции в F_p.
Мы последовательно выражаем c_i через a_j и b_k, мы заранее знаем, что знаменатели сократятся (в этом и был смысл), и на каждом (i-ом) шаге нас волнует только первый член ряда для c_i.
Вроде понял. Надеюсь. Ну и запутанная же тема.
>Подставив вместо c_i соответствующие многочлены от a_j и b_k, получим выполнение этих условий тождественно, как многочленов от a_j и b_k, потому что мы так определяли вектора Витта.
Нет, не так. Дело в том, что многочлен от представителей тейхмюллера вовсе не обязан быть представителем тейхмюллера. Мы берем представитель тейхмюллера, у которого такой же первый член — этому и соответствуют операции в F_p.
Мы последовательно выражаем c_i через a_j и b_k, мы заранее знаем, что знаменатели сократятся (в этом и был смысл), и на каждом (i-ом) шаге нас волнует только первый член ряда для c_i.
Вроде понял. Надеюсь. Ну и запутанная же тема.
>>1521
Ну да, понял. Это очевидно, нужно только прокрутить в голове.
Ну да, понял. Это очевидно, нужно только прокрутить в голове.
>>1518
Представитель тейхмюллера эквивалентен по модулю p своему первому члену. Из-за тождества пикрелейтед (вроде бы очень просто доказываемому, например, индукцией по n), если подставить в тождества на рисунке 2 из >>1518
соответствующие представители тейхмюллера это то же, что подставить соответствующие элементы из F_p (старшие по p члены поглотятся тем, что мы смотрим по модулю), а для них эти тождества верны по опеределению векторов витта. Всё.
Фух. Теперь почти уверен что правильно (и просто). Эта хрень заставила немного повозиться. Если кто-то найдет ошибку — милости прошу.
Представитель тейхмюллера эквивалентен по модулю p своему первому члену. Из-за тождества пикрелейтед (вроде бы очень просто доказываемому, например, индукцией по n), если подставить в тождества на рисунке 2 из >>1518
соответствующие представители тейхмюллера это то же, что подставить соответствующие элементы из F_p (старшие по p члены поглотятся тем, что мы смотрим по модулю), а для них эти тождества верны по опеределению векторов витта. Всё.
Фух. Теперь почти уверен что правильно (и просто). Эта хрень заставила немного повозиться. Если кто-то найдет ошибку — милости прошу.
Кстати, очень рекомендую посмотреть мат. треды доброчана (dobrochan.ru/u).
Конечно, на сосаче есть раздел /math, а до него мат. треды в /sci.
Конечно, на сосаче есть раздел /math, а до него мат. треды в /sci.
Интересно, что приведение квадрик на плоскости к стандартному виду (гипербола, парабола, эллипс...) с помощью вращения и трансляции — элементарнейшее упражнение для школьников. Очень хорошо ложиться на школьные темы тригонометрических формул и решения квадратных уравнений трансляцией.
>>1532
Это проекции кубической и квадратичной (гипер)поверхностей (в трёхмерном пространстве) на плоскость. Только в первом (кубическом) случае проекция из точки на поверхности, а во втором (квадратичном) — из точки не на поверхности (если бы проецировалось из точки на поверхности, получилась бы стереографическая проекция — бирациональный изоморфизм). Видны многообразия ветвления (дискриминант=0), степени 4 в первом случае и степени 2 во втором. Изображены образы прямых на поверхностях — на квадратичной их бесконечно много. на кубической — 27 (+ ещё одна прямая — образ прямой, получающаяся при раздутии точки проектирования для разрешения неоднозначности).
Точнее, не так. Слева просто квартика с 28 вещественными бикасательными — я не знаю, получается ли конкретно эта квартика при проекции кубики.
Смысл в том, чтобы показать аналогию между этими двумя картинками (многообразия ветвления, касательные — образы прямых...).
Пикрелейтед — раздутие при стереографической проекции, нужное, чтобы сделать её регулярным отображением в проективную плоскость.
Это проекции кубической и квадратичной (гипер)поверхностей (в трёхмерном пространстве) на плоскость. Только в первом (кубическом) случае проекция из точки на поверхности, а во втором (квадратичном) — из точки не на поверхности (если бы проецировалось из точки на поверхности, получилась бы стереографическая проекция — бирациональный изоморфизм). Видны многообразия ветвления (дискриминант=0), степени 4 в первом случае и степени 2 во втором. Изображены образы прямых на поверхностях — на квадратичной их бесконечно много. на кубической — 27 (+ ещё одна прямая — образ прямой, получающаяся при раздутии точки проектирования для разрешения неоднозначности).
Точнее, не так. Слева просто квартика с 28 вещественными бикасательными — я не знаю, получается ли конкретно эта квартика при проекции кубики.
Смысл в том, чтобы показать аналогию между этими двумя картинками (многообразия ветвления, касательные — образы прямых...).
Пикрелейтед — раздутие при стереографической проекции, нужное, чтобы сделать её регулярным отображением в проективную плоскость.
Интересно, что если мы раздуем плоскость — то получим ту же квадратичную гиперповерхность. То есть они как бы раздутия друг друга?
>>1275
Может понятнее: вырезаем на плоскости квадратичной гиперповерхностью прямые 1 и 2, другой квадратичной гиперповерхностью вырезаем прямые 3 и 2.
Пересечение всех трёх гиперповерхностей — прямая и точка.
Может понятнее: вырезаем на плоскости квадратичной гиперповерхностью прямые 1 и 2, другой квадратичной гиперповерхностью вырезаем прямые 3 и 2.
Пересечение всех трёх гиперповерхностей — прямая и точка.
>>1539
Под «сохраняет площадь» имеется в виду сохраняет «послойно» (ну вы поняли).
Под «сохраняет площадь» имеется в виду сохраняет «послойно» (ну вы поняли).
>>1535
То есть вырежем на плоскости двумя квадриками две пары прямых с одной общей прямой.
Другой стандартный пример: вырежем на квадрике двумя плоскостями две пары прямых с одной общей прямой.
То есть вырежем на плоскости двумя квадриками две пары прямых с одной общей прямой.
Другой стандартный пример: вырежем на квадрике двумя плоскостями две пары прямых с одной общей прямой.
>>1543
Ну конечно, точнее, не конечно, а может быть. Но когда-то мне хотелось элементарных штук на пальцах, чтобы запомнить эти формулы. То есть эти картинки мгновенно всплывают в голове, вместе с числами 4π и 4π/3. А не то, часто встречаешь крутых математиков, которые не могут вспомнить этого и поэтому не могут (в уме) проверить какую-то теорему на простом примере шара, что является странным неудобством.
Интересности на тему: youtube.com/watch?v=j2LTRE6sX2o (хоть он и говорить довольно сумбурно, но помедитировать над этим стоит того).
Ну конечно, точнее, не конечно, а может быть. Но когда-то мне хотелось элементарных штук на пальцах, чтобы запомнить эти формулы. То есть эти картинки мгновенно всплывают в голове, вместе с числами 4π и 4π/3. А не то, часто встречаешь крутых математиков, которые не могут вспомнить этого и поэтому не могут (в уме) проверить какую-то теорему на простом примере шара, что является странным неудобством.
Интересности на тему: youtube.com/watch?v=j2LTRE6sX2o (хоть он и говорить довольно сумбурно, но помедитировать над этим стоит того).
Тут выше были какие-то рассуждения про связь обратимости и зануления (локализация/факторизация), вот, обнаружил это. Не знаю, насколько правильно. Кажется, это обобщается на произвольное мультипликативное множество S: g обратимо в A_S <=> s=0 в A/g (для какого-то s из S).
Педагогическое замечание: определение топологического пространства должно сразу же сопровождаться двумя примерами: топологией, связанной с метрическим пространством и топологией Зарисского.
>>1498
Хотя я бы сказал так.
Сдвигаем x_i на степень x_0: x_i + (x_0)^(c_i).
Тогда одночлен Π(x_i)^(a_i) даст старший по x_0 член (x_0)^(a_0+Σ(a_i)(c_i)).
Можно подобрать c_i так, чтобы все эти степени были разными (равенство степеней — линейное условие на c_i, конечное число собственных линейных подпространств не может исчерпать всего пространства).
Старший из этих одночленов будет старшим по x_0 одночленом многочлена, всё готово.
Менее конкретная, но более generic версия.
Хотя я бы сказал так.
Сдвигаем x_i на степень x_0: x_i + (x_0)^(c_i).
Тогда одночлен Π(x_i)^(a_i) даст старший по x_0 член (x_0)^(a_0+Σ(a_i)(c_i)).
Можно подобрать c_i так, чтобы все эти степени были разными (равенство степеней — линейное условие на c_i, конечное число собственных линейных подпространств не может исчерпать всего пространства).
Старший из этих одночленов будет старшим по x_0 одночленом многочлена, всё готово.
Менее конкретная, но более generic версия.
>>1524
Интересное следствие картинки:
X^(p^n) n —> infinity сходится к представителю Тейхмюллера первого члена X для любого p-адического числа X, так как по модулю p он равен X.
Интересное следствие картинки:
X^(p^n) n —> infinity сходится к представителю Тейхмюллера первого члена X для любого p-адического числа X, так как по модулю p он равен X.
Кажется, замкнутость многообразия Веронезе и Грассманиана следует из замкнутости образа проективного многообразия при регулярном отображении.
Для Веронезе совсем очевидно, для Грассманиана — на открытом множестве, где одна из Плюккеровых координат ненулевая, это образ матрицы типа пикрелейтед (в понятном смысле, внешнее произведение векторов-строк).
Для Веронезе совсем очевидно, для Грассманиана — на открытом множестве, где одна из Плюккеровых координат ненулевая, это образ матрицы типа пикрелейтед (в понятном смысле, внешнее произведение векторов-строк).
>>1558
Так, стоп, для грассманиана это не работает, так как получается образ аффинного, а не проективного.
Но для веронезе ок.
Так, стоп, для грассманиана это не работает, так как получается образ аффинного, а не проективного.
Но для веронезе ок.
>>1281
Чтобы докончить Жорданову форму осталось рассмотреть нильпотенты.
С каждым нильпотентом связана конечная фильтрация, согласованная с отображением: 0, прообраз 0, прообраз прообраза 0, ...
Её можно «превратить в градуировку» выделяя прямыми слагаемыми от большего к меньшему согласованно с отображением, так как образ дополнения к прообразу подпространства не пересекается с подпространством (пересекается по 0). Получаем разложение в прямую сумму подпространств, которые отображение отображает друг в друга по цепочке. Каждое из этих отображений — вложение, так как всё, что отображается в ноль, сидит в последнем слагаемом. А это и есть жорданова форма — берем базис в первом подпространстве, он вкладывается в следующее, дополняем до базиса, опять вкладываем, опять дополняем и т.д.
Чтобы докончить Жорданову форму осталось рассмотреть нильпотенты.
С каждым нильпотентом связана конечная фильтрация, согласованная с отображением: 0, прообраз 0, прообраз прообраза 0, ...
Её можно «превратить в градуировку» выделяя прямыми слагаемыми от большего к меньшему согласованно с отображением, так как образ дополнения к прообразу подпространства не пересекается с подпространством (пересекается по 0). Получаем разложение в прямую сумму подпространств, которые отображение отображает друг в друга по цепочке. Каждое из этих отображений — вложение, так как всё, что отображается в ноль, сидит в последнем слагаемом. А это и есть жорданова форма — берем базис в первом подпространстве, он вкладывается в следующее, дополняем до базиса, опять вкладываем, опять дополняем и т.д.
>>1560
Ещё одна тема, которая должна быть в базовом курсе — это решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, так как это просто жорданова форма + экспонента, всё.
Очень просто и очень важно для общего понимания.
Ещё одна тема, которая должна быть в базовом курсе — это решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, так как это просто жорданова форма + экспонента, всё.
Очень просто и очень важно для общего понимания.
Для гиперповерхности, задаваемой многочленом, ситуация в нуле задаётся однородной частью наименьшей степени, а ситуация на бесконечности — однородной частью наибольшей степени.
Пикрелейтед — 6 точек (и проходящие через них коники и прямые) в общем положении (ситуация, противоположная теореме паскаля, так сказать), раздувая которые получаются 27 прямых на кубике (слои над 6 точками + собственные прообразы этих прямых и коник).
Пикрелейтед — 6 точек (и проходящие через них коники и прямые) в общем положении (ситуация, противоположная теореме паскаля, так сказать), раздувая которые получаются 27 прямых на кубике (слои над 6 точками + собственные прообразы этих прямых и коник).
В теории множеств есть теорема Кантора-Берштейна-Шрёдера: если два множества вкладываются друг в друга, то они равномощны.
Вложив второе («чёрное») множество в первое («белое»), будем рассматривать его как подмножество первого (рисунок 1). Затем, последовательно применяя вложение первого во второе, получим такую картинку, как на рисунке 2. Белые слои последовательно отображаются в белые, чёрные — в чёрные и ещё есть фиксированное «ядро». Возьмём, применим отображение к белым слоям, а чёрные (и ядро) оставим на месте. Мы получили нужную биекцию.
Если вы ставили когда-нибудь два зеркала напротив друг друга, то видели похожий бесконечный коридор.
Вложив второе («чёрное») множество в первое («белое»), будем рассматривать его как подмножество первого (рисунок 1). Затем, последовательно применяя вложение первого во второе, получим такую картинку, как на рисунке 2. Белые слои последовательно отображаются в белые, чёрные — в чёрные и ещё есть фиксированное «ядро». Возьмём, применим отображение к белым слоям, а чёрные (и ядро) оставим на месте. Мы получили нужную биекцию.
Если вы ставили когда-нибудь два зеркала напротив друг друга, то видели похожий бесконечный коридор.
Небольшое замечание об основаниях математики.
Можно подумать, что стрелка — это упорядоченная пара (которую можно определить с помощью множеств), значит, интуиция множеств фундаментальнее интуиции категорий. Но, подумав ещё, обнаруживаешь, что множества — это принадлежность, а принадлежность — это стрелка. Так что это не так.
Можно подумать, что стрелка — это упорядоченная пара (которую можно определить с помощью множеств), значит, интуиция множеств фундаментальнее интуиции категорий. Но, подумав ещё, обнаруживаешь, что множества — это принадлежность, а принадлежность — это стрелка. Так что это не так.
Клетки не такие уж и маленькие, по толщине волоса помещается несколько десятков клеток, то есть ещё чуть-чуть и мы бы их видели. Толщина мембраны клетки сотносится с её размером как если провести ручкой на листе бумаги большой круг (след ручки — мембрана, круг — клетка). По толщине там помещается несколько десятков атомов.
Если размеры сильно неправильные — поправьте. Но идея состоит в том, чтобы в таком стиле рассказывать школьникам, чтобы у них появилось ощущение масштабов/реальности рассказываемого.
Если размеры сильно неправильные — поправьте. Но идея состоит в том, чтобы в таком стиле рассказывать школьникам, чтобы у них появилось ощущение масштабов/реальности рассказываемого.
Похоже, что однополостный гипеболоид и гиперболический параболоид даже вещественно проективно одно и то же.
На втором рисунке, кстати, сечение кубической поверхности гиперплоскостью, проходящей через прямую на поверхности. Другая компонента сечения — квадрика (всё сечение — (вырожденная) кубика), сечения, проходящие через фикс. прямую определяют пучок квадрик (расслоение на квадрики), скрещивающаяся прямая (к той, через которую проходят сечения) на кубической поверхности является сечением пучка, рисунок показывает рациональность гладкой куб. поверхности, точнее, показывает, как тут всё похоже на обычную картинку (для квадрик, например, плоских кубических кривых...).
На втором рисунке, кстати, сечение кубической поверхности гиперплоскостью, проходящей через прямую на поверхности. Другая компонента сечения — квадрика (всё сечение — (вырожденная) кубика), сечения, проходящие через фикс. прямую определяют пучок квадрик (расслоение на квадрики), скрещивающаяся прямая (к той, через которую проходят сечения) на кубической поверхности является сечением пучка, рисунок показывает рациональность гладкой куб. поверхности, точнее, показывает, как тут всё похоже на обычную картинку (для квадрик, например, плоских кубических кривых...).
Гиперболические вращения как и обычные сохраняют площадь, поэтому идея гиперболического угла очень естественная. Обычные формулы гиперболических функций через экспоненты следуют из того, что площадь под гиперболой — экспонента (и тривиальной элементарной геометрии). Обычным вращениям соответствует алгебра R[корень из -1], гиперболическим — алгебра R[корень из 1].
Интересно, для гиперболических вращений есть ли описание с помощью сложения на кубической кривой, аналогичное >>1379?
Интересно, для гиперболических вращений есть ли описание с помощью сложения на кубической кривой, аналогичное >>1379?
>>1572
И, конечно, это вращения для гиперболической метрики xy (в других координатах x^2-y^2).
И, конечно, это вращения для гиперболической метрики xy (в других координатах x^2-y^2).
Попытался нарисовать, как выглядят орбиты геодезического потока. Слева направо кривизна убывает, эргодичность возрастает.
Надеюсь, что правильно.
Надеюсь, что правильно.
Немного про интуицию гомологий, хотя я эту тему сам особо не знаю.
Первая картинка это суггестивная иллюстрация к длинной точной последовательсности гомологий, связанной с короткой точной последовательностью комплексов, что-то такое (лемма о змее туда же).
Это относительный цикл (относительно подпространства). То есть его граница равна нулю по модулю подпространства (находится в нём). Взятие этой границы определяет связывающий гомоморфизм. Если она гомологична нулю в подпространстве, то есть является границей цикла в нём, то добавив его к относительному циклу (на самом деле отняв, чтобы границы сократились), получим, что этот относ. цикл пришёл из цикла во всём пространстве, обратное очевидно (что цикл из всего пространства даст нулевую границу на подпространстве). Циклы из подпространства, которые нулевые как циклы всего пространства это в точности те, которые приходят из относительных циклов. Циклы, которые нулевые как относительные циклы — это как раз циклы из подпространства. То есть точность тут вот так чувствуется.
Эти все рассуждения тут же переносятся на коммутативные диаграммы.
Дальше мы можем идти в двух направлениях — Майер-Вьеторис и спектральные последовательности (рисунок 2).
Первая картинка это суггестивная иллюстрация к длинной точной последовательсности гомологий, связанной с короткой точной последовательностью комплексов, что-то такое (лемма о змее туда же).
Это относительный цикл (относительно подпространства). То есть его граница равна нулю по модулю подпространства (находится в нём). Взятие этой границы определяет связывающий гомоморфизм. Если она гомологична нулю в подпространстве, то есть является границей цикла в нём, то добавив его к относительному циклу (на самом деле отняв, чтобы границы сократились), получим, что этот относ. цикл пришёл из цикла во всём пространстве, обратное очевидно (что цикл из всего пространства даст нулевую границу на подпространстве). Циклы из подпространства, которые нулевые как циклы всего пространства это в точности те, которые приходят из относительных циклов. Циклы, которые нулевые как относительные циклы — это как раз циклы из подпространства. То есть точность тут вот так чувствуется.
Эти все рассуждения тут же переносятся на коммутативные диаграммы.
Дальше мы можем идти в двух направлениях — Майер-Вьеторис и спектральные последовательности (рисунок 2).
Попытаюсь хоть что-то уловить насчёт спектральных последовательностей, какое-то геометрическое впечатление.
У нас есть последовательность вложенных подпространств. Берем для каждой пары соседних подпространств рассматриваем ту же ситуацию, что и раньше — относительные циклы, связывающие гомоморфизмы взятия границы. Посмотрим на гомологии получившегося комплекса. Это относительные циклы, у которых граница нулевая как относительный цикл для следующей пары подпространств, то есть «её можно запихнуть в следующее по глубине подпространство», рассматриваемые по модулю, во-первых, границ (приходящих из относительных циклов «надпространства» — следующего на единицу большего пространства фильтрации), во-вторых, относительных циклов из на 1 меньшего подпространства, потому что мы изначально рассматривали относительные циклы, то есть смотрели по модулю следующего подпространства.
То есть мы перешли от относительных циклов по модулю след. подпространства к относ. циклам по модулю следующего второго, более глубокого подпространства, плюс профакторизовали по модулю границ из надпространства, плюс это рассматривается по модулю циклов с носителем в следующем члене цильтрации, так как мы стартовали с относ. циклов и перешли к подфактору.
Последовательно переходя таким образом к гомологиям относительно взятия границы мы будем получать «относительные циклы» с «очень маленькой границей» (в очень глубоком члене фильтрации), причём они сами не являются границей «относ. цикла» из очень большого надпространства (члена фильтрации всего пространства вложенными подпространствами) + мы всегда смотрим по модулю «циклов» с носителем в следующем меньшем члене фильтрации, так как стартовали с относ. циклов по модулю них и переходили к подпространству факторпространства.
Ок, эту билиберду довольно сложно понять, но в пределе, на «бесконечном листе спектралки» для каждого члена фильтрации мы получаем циклы, являющиеся циклами во всем пространстве, с носителем в этом члене фильтации по модулю таких же циклов во всем пространстве с носителем в следующем члене фильтрации.
Это всё иллюстрации вокруг брошюры
http://m.mathnet.ru/links/69fc6b111db39a6a5604f2968c29098d/lkn3.pdf
которую очень советую прочитать.
У нас есть последовательность вложенных подпространств. Берем для каждой пары соседних подпространств рассматриваем ту же ситуацию, что и раньше — относительные циклы, связывающие гомоморфизмы взятия границы. Посмотрим на гомологии получившегося комплекса. Это относительные циклы, у которых граница нулевая как относительный цикл для следующей пары подпространств, то есть «её можно запихнуть в следующее по глубине подпространство», рассматриваемые по модулю, во-первых, границ (приходящих из относительных циклов «надпространства» — следующего на единицу большего пространства фильтрации), во-вторых, относительных циклов из на 1 меньшего подпространства, потому что мы изначально рассматривали относительные циклы, то есть смотрели по модулю следующего подпространства.
То есть мы перешли от относительных циклов по модулю след. подпространства к относ. циклам по модулю следующего второго, более глубокого подпространства, плюс профакторизовали по модулю границ из надпространства, плюс это рассматривается по модулю циклов с носителем в следующем члене цильтрации, так как мы стартовали с относ. циклов и перешли к подфактору.
Последовательно переходя таким образом к гомологиям относительно взятия границы мы будем получать «относительные циклы» с «очень маленькой границей» (в очень глубоком члене фильтрации), причём они сами не являются границей «относ. цикла» из очень большого надпространства (члена фильтрации всего пространства вложенными подпространствами) + мы всегда смотрим по модулю «циклов» с носителем в следующем меньшем члене фильтрации, так как стартовали с относ. циклов по модулю них и переходили к подпространству факторпространства.
Ок, эту билиберду довольно сложно понять, но в пределе, на «бесконечном листе спектралки» для каждого члена фильтрации мы получаем циклы, являющиеся циклами во всем пространстве, с носителем в этом члене фильтации по модулю таких же циклов во всем пространстве с носителем в следующем члене фильтрации.
Это всё иллюстрации вокруг брошюры
http://m.mathnet.ru/links/69fc6b111db39a6a5604f2968c29098d/lkn3.pdf
которую очень советую прочитать.
Когда я впервые увидел определение гомотопии морфизмов комплексов, то не совсем понял, в чём тут дело, оно выглядело очень странно. Но на самом деле оно очевидно, если видеть гомотопию как цилиндр.
Умножение циклов, это, кстати, их пересечение (со знаками).
Грубо говоря, разница между гомотопностью и гомологичностью в том, что при гомотопности мы разрешаем только цилиндры, а для гомологий смотрим на границы чего угодно. То есть петля, гомотопная нулю = стягиваемая = граница диска, а гомологичная нулю — граница чего угодно.
Абстрактно производными функторами можно довольно легко определить гомологии, зная только нулевые, например, что то же, что связные компоненты.
Примеры на неточность стандратных функторов:
Контравариантный функтор гомоморфизмов в Z не переводит нетривиальный инъективный морфизм из Z в Z (умножение на n) в сюръективный.
Ковариантный функтор морфизмов из Z/n не переводит сюръективный морфизм из Z в Z/n в сюръективный (Z/n в Z вообще не отображается, а в Z/n отображается).
Ковариантный функтор тензорного умножения на Z/n (что то же самое, что редукция mod n) переводит инъективный морфизм умножения на n (из Z в Z) в ноль, который не инъективен.
Контравариантный функтор гомоморфизмов в Z не переводит нетривиальный инъективный морфизм из Z в Z (умножение на n) в сюръективный.
Ковариантный функтор морфизмов из Z/n не переводит сюръективный морфизм из Z в Z/n в сюръективный (Z/n в Z вообще не отображается, а в Z/n отображается).
Ковариантный функтор тензорного умножения на Z/n (что то же самое, что редукция mod n) переводит инъективный морфизм умножения на n (из Z в Z) в ноль, который не инъективен.
Как можно примерно увидеть, почему у числа Авогадро такое значение.
Ок, напоминаю, что число Авогадро — количество протонов, нужное, чтобы получит один грамм. Один грамм — масса кубческого сантиметра воды. Размер атома — примерно Å (10^(-10) метра) [это единственное, что тут нужно запомнить, но это легко — ангстрем=атом=Å]. Куб. сантиметр воды по объему (10^8)^3 = 10^24 (в ангстремах). (Молекулярная) масса молеклы H2O равна 18, место которое она занимает отведём примерно 3×3×3 ангстрема (там ещё и пустоты есть, всё такое). То есть надо 10^24 умножить на 18/27 ≈ 2/3, получится как раз примерно 6×10^23.
Ок, напоминаю, что число Авогадро — количество протонов, нужное, чтобы получит один грамм. Один грамм — масса кубческого сантиметра воды. Размер атома — примерно Å (10^(-10) метра) [это единственное, что тут нужно запомнить, но это легко — ангстрем=атом=Å]. Куб. сантиметр воды по объему (10^8)^3 = 10^24 (в ангстремах). (Молекулярная) масса молеклы H2O равна 18, место которое она занимает отведём примерно 3×3×3 ангстрема (там ещё и пустоты есть, всё такое). То есть надо 10^24 умножить на 18/27 ≈ 2/3, получится как раз примерно 6×10^23.
Подумал, почему с связи с пересечением циклов (хар. классы..?) так часто используются векторные расслоения? Может быть, тут играет роль то, что если X лежит в каком-то объемлющем Y и мы шевелим его (т.е. X), чтобы посмотреть на его (т.е. X) (само)пересечение, то это происходит как бы в маленькой окрестности X, а это примерно то же, что нормальное расслоение к X.
Посмотрел про λ-кольца на Википедии и пришло в голову вот что.
Определим n-ую внешнюю степень многочлена так: мы берем всевозможные произведения n различных одночленов многочлена и берем их сумму (первая строчка пикрелейтед, всё понятно).
Элементарные симметрические многочлены — это как раз один раз применённая эта операция.
Теперь, когда мы применим эту операцию два раза или применим её к произведению существуют выражения пикрелейтед, потому что всё симметрическое.
Так вот, это как раз те многочлены, которые в определении λ-колец.
Определим n-ую внешнюю степень многочлена так: мы берем всевозможные произведения n различных одночленов многочлена и берем их сумму (первая строчка пикрелейтед, всё понятно).
Элементарные симметрические многочлены — это как раз один раз применённая эта операция.
Теперь, когда мы применим эту операцию два раза или применим её к произведению существуют выражения пикрелейтед, потому что всё симметрическое.
Так вот, это как раз те многочлены, которые в определении λ-колец.
А это называется операции Адамса. Интересно.
В будущем хотелось бы разобраться, какое полное взаимодействие между λ-кольцами / внешними степенями, алгеброй разделенных степеней (разд. степень это x^n / n!) / симметрическими степенями (?) / дуальностью (?), векторами Витта, [теорией Галуа (??? это же связь между корнями и коэффициентами), характеристическими классами / Риманом-Рохом, экспонентой/логарифмом, порождающими функциями / комбинаторикой ... ... ...]. Ладно, хватит.
>>1416
Например, невозможно придумать/найти одновременную каноническую форму для нескольких квадратичных форм? Для нескольких линейных преобразований, кстати, тоже, так как это представления конечно порожденных моноидов. Даже для двух преобразований нельзя, все конечные простые группы порождаются двумя элементами. А две квадратичные формы можно (с помощью жордановой формы, кстати, лол).
Тезис: в школе нужно рассказывать комплексные числа и проективное пространство. По крайней мере если бы меня спросили, что ещё нужно в школе — я бы ответил: вот это. Есть огромное количество причин для этого.
Например, невозможно придумать/найти одновременную каноническую форму для нескольких квадратичных форм? Для нескольких линейных преобразований, кстати, тоже, так как это представления конечно порожденных моноидов. Даже для двух преобразований нельзя, все конечные простые группы порождаются двумя элементами. А две квадратичные формы можно (с помощью жордановой формы, кстати, лол).
Тезис: в школе нужно рассказывать комплексные числа и проективное пространство. По крайней мере если бы меня спросили, что ещё нужно в школе — я бы ответил: вот это. Есть огромное количество причин для этого.
Если любой объект вкладывается в инъективный, то мы можем построить инъективную резольвенту: владываем объект в инъективный, факторизуем по образу, вкладываем в инъективный, факторизуем по образу...
Инъективный объект это вот что: объект I инъективен, если для любого a и инъективного b существует c, достраивающий диаграмму (рисунок 1).
Можно это немного усилить: с существует, если a зануляет ядро b (мы разлагаем b в композицию факторизации и вложения и, так как a зануляет ядро, он пропускается через факторизацию).
Для любого морфизма между объектами существует и единственно с точностью до гомотопии его продолжение на резольвенты.
Доказательство существования: предположим, что мы уже построили предыдущие стрелки, докажем, что мы можем продолжить (рисунок 2).
Пользуясь инъективностью нам достаточно доказать, что ab зануляет ядро c, то есть ab зануляет d. Но dab=efb=0, всё.
Доказательство гомотопии: во-первых, будем рассматривать гомотопность нулю (взятием разности всё очевидно сводится к этому), во-вторых, так же как и раньше, будем двигаться по индукции.
Аналогично предыдущему, нам нужно доказать, что a-bc зануляет ядро d, то есть зануляет e. Мы знаем, что f=gh+eb. Умножив на c, получаем, что fc=ghc+ebc=ebc, но fc=ea, всё готово.
Кстати, в обоих случаях мы использовали инъективность только второй резольвенты.
Для проективных (вместо инъективных) практически то же самое.
С помощью этого мы определяем гомологии: берем неточный (с одной стороны) функтор, применяем к резольвенте, смотрим на гомологии, благодаря доказанному всё функториально и однозначно.
Инъективный объект это вот что: объект I инъективен, если для любого a и инъективного b существует c, достраивающий диаграмму (рисунок 1).
Можно это немного усилить: с существует, если a зануляет ядро b (мы разлагаем b в композицию факторизации и вложения и, так как a зануляет ядро, он пропускается через факторизацию).
Для любого морфизма между объектами существует и единственно с точностью до гомотопии его продолжение на резольвенты.
Доказательство существования: предположим, что мы уже построили предыдущие стрелки, докажем, что мы можем продолжить (рисунок 2).
Пользуясь инъективностью нам достаточно доказать, что ab зануляет ядро c, то есть ab зануляет d. Но dab=efb=0, всё.
Доказательство гомотопии: во-первых, будем рассматривать гомотопность нулю (взятием разности всё очевидно сводится к этому), во-вторых, так же как и раньше, будем двигаться по индукции.
Аналогично предыдущему, нам нужно доказать, что a-bc зануляет ядро d, то есть зануляет e. Мы знаем, что f=gh+eb. Умножив на c, получаем, что fc=ghc+ebc=ebc, но fc=ea, всё готово.
Кстати, в обоих случаях мы использовали инъективность только второй резольвенты.
Для проективных (вместо инъективных) практически то же самое.
С помощью этого мы определяем гомологии: берем неточный (с одной стороны) функтор, применяем к резольвенте, смотрим на гомологии, благодаря доказанному всё функториально и однозначно.
>>1336
Можно ещё так: будем воспринимать эту матрицу как матрицу из коммутирующих эндоморфизмов, зануляющую строку из базисных векторов. Домножив на присоединённую матрицу, получим, что определитель тоже зануляет строку базисных векторов, значит, он является нулевым эндоморфизмом.
Можно ещё так: будем воспринимать эту матрицу как матрицу из коммутирующих эндоморфизмов, зануляющую строку из базисных векторов. Домножив на присоединённую матрицу, получим, что определитель тоже зануляет строку базисных векторов, значит, он является нулевым эндоморфизмом.
>>1588
Ок, прочитал ещё (кольцо симметрических функций), конечно, не новая мысль.
Здорово. На первый взгляд было немного удивительно, что эти тождества не зависят от количества переменных.
Ок, прочитал ещё (кольцо симметрических функций), конечно, не новая мысль.
Здорово. На первый взгляд было немного удивительно, что эти тождества не зависят от количества переменных.
Насчёт симметрических функций. Википедия использует нумерацию переменных натуральными числами. Но ведь, похоже, их можно индексировать произвольными множествами! Всё работает, каждому «одночлену» соответствует неупорядоченная n-ка чисел и т.д. Определяется степень — одночлен больше одночлена, если его полная степень (сумма чисел-степеней) больше, или, если они равны, наибольшая степень больше, или, если они равны, следующая по нестрогому убыванию степень больше и т.д. «Степень» мультипликативна (по крайней мере ясно, как выглядит элемент «наибольшей степени» произведения, зная элементы «наибольшей степени» сомножителей), элементарные симметрические многочлены и разложение на них работает. Тут всё как диаграммы Юнга, вроде бы. Прекрасно то, что всё инвариантно, то есть нам не нужно выбирать нумерацию 1,2,3,4,..., все элементы множества равноправны. Более того, мы можем делать множество индексов дизъюнктным объединением 2 множеств и рассматривать «бисимметрические» функции, у которых есть «бистепень» — два числа, разложение на элементарные бисимметрические многочлены... Или мультисимметрические, для дизъюнктного объединения произвольного количества индексирующих множеств. Для дизъюнктного объединения одноэлементных множеств мы возвращаемся к обычным многочленам. Есть гомоморфизмы уменьшения/увеличения множеств.
Хотя, любой элементарный бисимметрический многочлен является произведением двух элементарных симметрических многочленов по первому множеству переменных и по второму (бистепеней типа (n,0) и (0,m)). Так что всё выражается через них.
//Надеюсь, всё это правильно.
Хотя, любой элементарный бисимметрический многочлен является произведением двух элементарных симметрических многочленов по первому множеству переменных и по второму (бистепеней типа (n,0) и (0,m)). Так что всё выражается через них.
//Надеюсь, всё это правильно.
>>1598
Нет, скорее всего, индексировать разными множествами — плохая идея (со степенями будут проблемы).
Нет, скорее всего, индексировать разными множествами — плохая идея (со степенями будут проблемы).
Чтобы написать что-то определённое по итогам:
Основная теорема о симметрических многочленах.
Симметрическим многочленом назовём многочлен, симметричный относительно престановок переменных. Вместе с каждым одночленом такой многочлен содержит все симметричные одночлены, назовём их сумму «симметрическим одночленом» и будем отождествлять с набором степеней, типа [5,2,6,1,2] (могут быть повторения, порядок не имеет значения). Тогда умножение симметрических одночленов описывается так: мы складываем наборы всевозможными способами, типа [a, b, c, d] + [e, f, g] = [a+f, c+g, b, d, e] (и так всеми способами, напоминаю, что порядок не имеет значения), произведением является сумма «симметрических одночленов», соотвествующих полученным наборам (их конечное число). То есть произведение симметрических одночленов симметрическим одночленом не является, а является суммой симметрических одночленов.
Теперь введём упорядочение на симметрических одночленах: набор A больше, чем набор B, если сумма элементов A («полная степень») больше суммы элементов B, или, если они равны, наибольшее число в наборе A больше, чем наибольшее число в наборе B, или, если они равны, следующее по нестрогому убыванию число набора A больше следующего по нестрогому убыванию числа набора B и т.д.
Ясно, как выглядит наибольший симметрический одночлен, получающийся при произведении 2 симметрических одночленов — наибольшие элементы складываются с наибольшими, вторые по величине со вторыми по величине (пример: [5, 4, 3] + [2, 1, 1, 1] даёт [5+2, 4+1, 3+1, 1]).
Теперь в принципе ясно, что любой симметрический многочлен выражается как многочлен от элементарных симметрических (то есть симметрических одночленов, соответствующих [1,1,1,...,1]), причём единственным образом — достаточно посмотреть на старшие степени (наборы) одночленов от элементарных симметрических многочленов — мы всегда можем понизить степень, причём единственным образом.
Замечание: вышеприведённые рассуждения и разложения от количества переменных практически не зависят!
Приложение: возьмём многочлен (от одной переменной), распишем его как Π(x-a), раскроем скобки. Мы получим, что коэффициенты многочлена — элементарные симметрические многочлены от корней. Теперь рассмотрим произведение всевозможных разностей априори различных корней. Назовём его дискриминантом. Дискриминант симметричен относительно перестановок корней, поэтому, по доказанной теореме, выражается как многочлен от коэффициентов многочлена.
Основная теорема о симметрических многочленах.
Симметрическим многочленом назовём многочлен, симметричный относительно престановок переменных. Вместе с каждым одночленом такой многочлен содержит все симметричные одночлены, назовём их сумму «симметрическим одночленом» и будем отождествлять с набором степеней, типа [5,2,6,1,2] (могут быть повторения, порядок не имеет значения). Тогда умножение симметрических одночленов описывается так: мы складываем наборы всевозможными способами, типа [a, b, c, d] + [e, f, g] = [a+f, c+g, b, d, e] (и так всеми способами, напоминаю, что порядок не имеет значения), произведением является сумма «симметрических одночленов», соотвествующих полученным наборам (их конечное число). То есть произведение симметрических одночленов симметрическим одночленом не является, а является суммой симметрических одночленов.
Теперь введём упорядочение на симметрических одночленах: набор A больше, чем набор B, если сумма элементов A («полная степень») больше суммы элементов B, или, если они равны, наибольшее число в наборе A больше, чем наибольшее число в наборе B, или, если они равны, следующее по нестрогому убыванию число набора A больше следующего по нестрогому убыванию числа набора B и т.д.
Ясно, как выглядит наибольший симметрический одночлен, получающийся при произведении 2 симметрических одночленов — наибольшие элементы складываются с наибольшими, вторые по величине со вторыми по величине (пример: [5, 4, 3] + [2, 1, 1, 1] даёт [5+2, 4+1, 3+1, 1]).
Теперь в принципе ясно, что любой симметрический многочлен выражается как многочлен от элементарных симметрических (то есть симметрических одночленов, соответствующих [1,1,1,...,1]), причём единственным образом — достаточно посмотреть на старшие степени (наборы) одночленов от элементарных симметрических многочленов — мы всегда можем понизить степень, причём единственным образом.
Замечание: вышеприведённые рассуждения и разложения от количества переменных практически не зависят!
Приложение: возьмём многочлен (от одной переменной), распишем его как Π(x-a), раскроем скобки. Мы получим, что коэффициенты многочлена — элементарные симметрические многочлены от корней. Теперь рассмотрим произведение всевозможных разностей априори различных корней. Назовём его дискриминантом. Дискриминант симметричен относительно перестановок корней, поэтому, по доказанной теореме, выражается как многочлен от коэффициентов многочлена.
>>1549
По этому поводу могу добавить.
В обычном вещественном (да и любом метрическом?) пространстве любое замкнутое множество является множеством нулей непрерывной функции (например, функции расстояния до этого замкнутого множества). С другой стороны, очевидно, что при непрерывном отображении прообраз нуля (являющегося замкнутой точкой) замкнут. Так что замкнутые множества — это нули функций.
Для топологии Зарисского всё точно так же, только вместо непрерывных функций полиномиальные. С этой точки зрения она даже естественнее метрической, так как интуитивно слой функции образует множество меньшей резмерности, наоборот, большие замкнутые множества метрических пространств кажутся вырожденным случаем.
Ещё, условие непрерывности полиномиальных функций задаёт обычную топологию на вещественном пространстве, так как расстояние до точки — полиномиальная функция.
Это всё как бы показывает, как близки метрическая и спектральная топология.
С другой стороны, спектральная топология показывает, что имеет смысл рассматривать условия отделимости, иначе непонятно, зачем они вообще нужны.
По этому поводу могу добавить.
В обычном вещественном (да и любом метрическом?) пространстве любое замкнутое множество является множеством нулей непрерывной функции (например, функции расстояния до этого замкнутого множества). С другой стороны, очевидно, что при непрерывном отображении прообраз нуля (являющегося замкнутой точкой) замкнут. Так что замкнутые множества — это нули функций.
Для топологии Зарисского всё точно так же, только вместо непрерывных функций полиномиальные. С этой точки зрения она даже естественнее метрической, так как интуитивно слой функции образует множество меньшей резмерности, наоборот, большие замкнутые множества метрических пространств кажутся вырожденным случаем.
Ещё, условие непрерывности полиномиальных функций задаёт обычную топологию на вещественном пространстве, так как расстояние до точки — полиномиальная функция.
Это всё как бы показывает, как близки метрическая и спектральная топология.
С другой стороны, спектральная топология показывает, что имеет смысл рассматривать условия отделимости, иначе непонятно, зачем они вообще нужны.
Компактность отрезка.
Возьмём любое покрытие отрезка и зафиксируем. Мы всегда можем найти подотрезок, на котором можно выбрать конечное подпокрытие (возьмём отрезок внутри какого-то открытого множества покрытия) и мы всегда можем увеличить такой отрезок (посмотрим на открытые множества из покрытия, содержащие его концы). Это наводит на мысли о лемме Цорна. Рассмотрим множество подотрезков, на которых можно выбрать конечное подпокрытие (с отношением включения) и применим к нему лемму Цорна (верхняя грань вложенных отрезков — замыкание объединения, ключевой факт в том, что замыкание в отрезке совпадает с замыканием на прямой, так как отрезок замкнут). Дальше ясно.
Получается очень просто, естественно и стандартно, похоже, например, на доказательство существования базиса (применение леммы Цорна к подмножествам линейно независимых векторов).
Возьмём любое покрытие отрезка и зафиксируем. Мы всегда можем найти подотрезок, на котором можно выбрать конечное подпокрытие (возьмём отрезок внутри какого-то открытого множества покрытия) и мы всегда можем увеличить такой отрезок (посмотрим на открытые множества из покрытия, содержащие его концы). Это наводит на мысли о лемме Цорна. Рассмотрим множество подотрезков, на которых можно выбрать конечное подпокрытие (с отношением включения) и применим к нему лемму Цорна (верхняя грань вложенных отрезков — замыкание объединения, ключевой факт в том, что замыкание в отрезке совпадает с замыканием на прямой, так как отрезок замкнут). Дальше ясно.
Получается очень просто, естественно и стандартно, похоже, например, на доказательство существования базиса (применение леммы Цорна к подмножествам линейно независимых векторов).
Похожее доказательство связности отрезка.
Если бы в отрезке содержалось нетривиальное открытозамкнутое множество, то, так как оно открыто, оно содержало бы максимальный открытый интервал (по лемме Цорна), а так как оно ещё и замкуто, оно содержало бы и его замыкание — замкнутый интервал. Посмотрев на кончики этого замкнутого интервала и снова вспомнив, что множество открыто (и то, что этот замкнутый интервал не совпадает со всем отрезком т.к. открытозамкнутое множество нетривиально), мы получим, что мы можем увеличить исходный максимальный открытый интервал — противоречие.
Если бы в отрезке содержалось нетривиальное открытозамкнутое множество, то, так как оно открыто, оно содержало бы максимальный открытый интервал (по лемме Цорна), а так как оно ещё и замкуто, оно содержало бы и его замыкание — замкнутый интервал. Посмотрев на кончики этого замкнутого интервала и снова вспомнив, что множество открыто (и то, что этот замкнутый интервал не совпадает со всем отрезком т.к. открытозамкнутое множество нетривиально), мы получим, что мы можем увеличить исходный максимальный открытый интервал — противоречие.
Конечнопорожденность эквивалентна тому, что из любого множества образующих можно выбрать конечное подмножество образующих (мы берем какое-то конечное множество образующих, выражаем его элементы через исходные образующие и берем те из исходных образующих, которые участвуют в этих выражениях) — аналогично компактности.
Связность эквивалентна отсутствию нетривиальных (не отображающих всё в точку) непрерывных отображений в дискретное множество (так я бы её и определял).
>>1601
Ещё, метрическая топология опрелеяется тем, что расстояние до точки — непрерывная функция.
Вообще, на вскидку, в первый миникурс «теоретико-множественной» топологии нужно включать это:
Непрерывные отображения, определение топологии.
Топология, индуцированная отображением (в этот же круг / как частные случаи: топология подпространства и факторпространста, произведения, дискретная и тривиальная топология).
Метрическая топология, топология Зарисского.
Компактное = замкнутое и ограниченное (цепочкой теоерем: необходимость ограниченности, необходимость замкнутости, компактность отрезка, компактность произведения компактов, компактность замкнутого подмножества компакта).
Связность, образ связного связен, образ компактного компактен, отрезок = связный компакт на прямой.
Может, ещё что-то.
Связность эквивалентна отсутствию нетривиальных (не отображающих всё в точку) непрерывных отображений в дискретное множество (так я бы её и определял).
>>1601
Ещё, метрическая топология опрелеяется тем, что расстояние до точки — непрерывная функция.
Вообще, на вскидку, в первый миникурс «теоретико-множественной» топологии нужно включать это:
Непрерывные отображения, определение топологии.
Топология, индуцированная отображением (в этот же круг / как частные случаи: топология подпространства и факторпространста, произведения, дискретная и тривиальная топология).
Метрическая топология, топология Зарисского.
Компактное = замкнутое и ограниченное (цепочкой теоерем: необходимость ограниченности, необходимость замкнутости, компактность отрезка, компактность произведения компактов, компактность замкнутого подмножества компакта).
Связность, образ связного связен, образ компактного компактен, отрезок = связный компакт на прямой.
Может, ещё что-то.
Не перестаю удивляться, насколько суперэлементарная теория множеств крутая штука — на ней можно проиллюстрировать типичные образцы огромного количества концепций.
Например, пикрелейтед 1: образ и прообраз образуют «соответствие Галуа» — сопряжённые функторы.
На второй картинке ещё (стандартные) примеры сопряжённых функторов.
Первый появляется совсем рано, второй появляется, например, когда говорят о линейных пространствах (и базисах) или свободных группах.
По-моему, это необходимо упоминать в самом начале обучения, именно тогда, когда эти вещи и появляются.
Например, пикрелейтед 1: образ и прообраз образуют «соответствие Галуа» — сопряжённые функторы.
На второй картинке ещё (стандартные) примеры сопряжённых функторов.
Первый появляется совсем рано, второй появляется, например, когда говорят о линейных пространствах (и базисах) или свободных группах.
По-моему, это необходимо упоминать в самом начале обучения, именно тогда, когда эти вещи и появляются.
Ещё пример сответствия Галуа — стабилизаторы и фиксированные элементы для действий групп. Сами действия — функторы (из группы как категории), гомоморфизмы действий — естественные преобразования. Модули — то же самое, только аддитивно.
Характеристические функции (подмножеств) — дуальность. Дивизоры и рациональные функции — туда же. И так далее.
Пустая деятельность - увидят 2-3 человека, сохранят единицы.
Нужно развивать проекты типа викиверситета.
Вот например кафедра теология там пуста - это упущение. Надо создать нормальные курсы. https://ru.wikiversity.org/wiki/Факультет_теологии
Суть викиверситета - как википедия но не просто статейки, а целые обучающие курсы.
Нужно развивать проекты типа викиверситета.
Вот например кафедра теология там пуста - это упущение. Надо создать нормальные курсы. https://ru.wikiversity.org/wiki/Факультет_теологии
Суть викиверситета - как википедия но не просто статейки, а целые обучающие курсы.
>>1385
Так, тут я слишком вольно использовал объединение, нужно вместо него ставить произведение (или ставить скобки). Нужные тождества получаются многократным применением модулярности (модулярный закон дедекинда для подгрупп: (AB)⋂C = A(B⋂C), если A — подгруппа C, это супермегаочевидно) и поглощения (в общем-то, прямое упражнение). Но картиночка (третья) мне нравится, так как позволяет мотивировать использование пересечения A и B, да и вообще, предугадать результат и показать, как до этого можно было догадаться.
>>1612
Признаюсь, этот тред нужен в основном для меня, это черновик такой. Скорее всего он станет ещё более дневничковым, буду отписываться по всякой мелкоте. Но, то что я тут (до сих пор, по крайней мере) выкладывал — это, на мой взгляд, очень элементарно и фундаментально.
>Вот например кафедра теология там пуста - это упущение.
Ничем не могу помочь, теологии не знаю.
Так, тут я слишком вольно использовал объединение, нужно вместо него ставить произведение (или ставить скобки). Нужные тождества получаются многократным применением модулярности (модулярный закон дедекинда для подгрупп: (AB)⋂C = A(B⋂C), если A — подгруппа C, это супермегаочевидно) и поглощения (в общем-то, прямое упражнение). Но картиночка (третья) мне нравится, так как позволяет мотивировать использование пересечения A и B, да и вообще, предугадать результат и показать, как до этого можно было догадаться.
>>1612
Признаюсь, этот тред нужен в основном для меня, это черновик такой. Скорее всего он станет ещё более дневничковым, буду отписываться по всякой мелкоте. Но, то что я тут (до сих пор, по крайней мере) выкладывал — это, на мой взгляд, очень элементарно и фундаментально.
>Вот например кафедра теология там пуста - это упущение.
Ничем не могу помочь, теологии не знаю.
Перестановки надо изображать вот такими вот рисунками (нахуй нужны эти числа и индексы идиотские) — всё, что касается цикленного разложения, становится очевидным, например.
Умножаются циклы тоже очень наглядно (почти абелево, если они большие!) — навевает топологические ассоциации.
Умножаются циклы тоже очень наглядно (почти абелево, если они большие!) — навевает топологические ассоциации.
Знакопреременная группа порождается 3-циклами, потому что каждый её элемент разлагается в произведение чётного числа транспозиций, две подряд идущие транспозиции могут быть «пересекающимися» или «непересекающимися» (некоммутирующими и коммутирующими), но в любом случае они выражаются через 3-циклы (пикрелейтед).
Более того, достаточно ограничиться 3-циклами, проходящими через две фиксированные точки, так как все 3-циклы, проходящие только через одну из этих точек, выражаются через них (благодаря рассуждению с последнего рисунка), и это же рассуждение позволяет избавится и от последней зафиксированной точки.
Более того, достаточно ограничиться 3-циклами, проходящими через две фиксированные точки, так как все 3-циклы, проходящие только через одну из этих точек, выражаются через них (благодаря рассуждению с последнего рисунка), и это же рассуждение позволяет избавится и от последней зафиксированной точки.
>>1614
> нахуй нужны эти числа и индексы идиотские
Судя по всему, алгебраисты глубоко презирают визуальные методы: большинство книг ничего не потеряют при чтении экранным диктором.
Картинки из Visual Group Theory и диаграммы из Algebra Chapter 0 выражают основы теории групп намного яснее, чем традиционный набор значков.
> нахуй нужны эти числа и индексы идиотские
Судя по всему, алгебраисты глубоко презирают визуальные методы: большинство книг ничего не потеряют при чтении экранным диктором.
Картинки из Visual Group Theory и диаграммы из Algebra Chapter 0 выражают основы теории групп намного яснее, чем традиционный набор значков.
>>1616
Нет, понятно в чём мог быть смысл писать буквами — печатать проще, но сейчас-то какая разница. Рисунки хороши тем, что на них всё сразу инвариантно.
P.S. В точно таком же стиле можно изображать и матрицы (пикрелейтед, только скаляры навесить над стрелками), используя принцип «умножаем вдоль пути, суммируем по всем путям», я уже об этом говорил (>>1369 >>1370 >>1371). Аналогия с отображениями, категорно-аддитивный подход, некая мотивация — всё в кармане, но почему то так не делает НИКТО (по крайней мере в начальных университетских курсах этого не видел).
Нет, понятно в чём мог быть смысл писать буквами — печатать проще, но сейчас-то какая разница. Рисунки хороши тем, что на них всё сразу инвариантно.
P.S. В точно таком же стиле можно изображать и матрицы (пикрелейтед, только скаляры навесить над стрелками), используя принцип «умножаем вдоль пути, суммируем по всем путям», я уже об этом говорил (>>1369 >>1370 >>1371). Аналогия с отображениями, категорно-аддитивный подход, некая мотивация — всё в кармане, но почему то так не делает НИКТО (по крайней мере в начальных университетских курсах этого не видел).
>>1617
Особенности мышления играют свою роль. Не все одинакого склонны к визуальному мышлению, а те, что склонны, выбирают топологию.
Вот, кстати, занятная штука: https://math.stackexchange.com/a/165225
> умножаем вдоль пути, суммируем по всем путям
https://en.wikipedia.org/wiki/Signal-flow_graph
Особенности мышления играют свою роль. Не все одинакого склонны к визуальному мышлению, а те, что склонны, выбирают топологию.
Вот, кстати, занятная штука: https://math.stackexchange.com/a/165225
> умножаем вдоль пути, суммируем по всем путям
https://en.wikipedia.org/wiki/Signal-flow_graph
У меня в закладках есть вот это: https://github.com/hypotext/notation
Строение конечных абелевых групп.
Конечная абелева группа — Z/n-модуль. Так же как тут: >>1281 разлагаем его на Z/p^m-модули. Возьмём в таком слагаемом элемент максимального порядка p^max, получим точную последовательность
0 —> Z/p^max —> X —> Π Z/p^n —> 0
(последнее слагаемое разлагается по предположению индукции).
Докажем, что такая последовательность всегда расщепляется. Достаточно найти сечение для каждого слагаемого Z/p^n.
Пусть x — произвольный прообраз образующей Z/p^n. Тогда (p^n)x попадает в Z/p^max.
Лемма: любой элемент Z/p^i является p-кратным какой-то образующей.
Доказательство: он является кратным образующей, выделим из коэффициента кратности p-часть, оставшееся тоже будет образующей.
Поэтому (p^n)x = (p^k)y, где y — какая-то образующая Z/p^max (мы выбираем k меньшим, чем max). Если (p^n)x = 0 мы закончили, если нет, то k нестрого больше n, так как порядок y нестрого больше порядка x. Поэтому, можно записать (p^n)(x - p^(k-n)y)=0.
x-p^(k-n)y — это и есть нужное поднятие x.
Кстати, максимальность порядка выбранного элемента существенна для расщепимости, как можно убедиться, посмотрев на
0 —> Z/2 —> Z/2 × Z/2 —> Z/2 —> 0
0 —> Z/2 —> Z/4 —> Z/2 —> 0.
Конечная абелева группа — Z/n-модуль. Так же как тут: >>1281 разлагаем его на Z/p^m-модули. Возьмём в таком слагаемом элемент максимального порядка p^max, получим точную последовательность
0 —> Z/p^max —> X —> Π Z/p^n —> 0
(последнее слагаемое разлагается по предположению индукции).
Докажем, что такая последовательность всегда расщепляется. Достаточно найти сечение для каждого слагаемого Z/p^n.
Пусть x — произвольный прообраз образующей Z/p^n. Тогда (p^n)x попадает в Z/p^max.
Лемма: любой элемент Z/p^i является p-кратным какой-то образующей.
Доказательство: он является кратным образующей, выделим из коэффициента кратности p-часть, оставшееся тоже будет образующей.
Поэтому (p^n)x = (p^k)y, где y — какая-то образующая Z/p^max (мы выбираем k меньшим, чем max). Если (p^n)x = 0 мы закончили, если нет, то k нестрого больше n, так как порядок y нестрого больше порядка x. Поэтому, можно записать (p^n)(x - p^(k-n)y)=0.
x-p^(k-n)y — это и есть нужное поднятие x.
Кстати, максимальность порядка выбранного элемента существенна для расщепимости, как можно убедиться, посмотрев на
0 —> Z/2 —> Z/2 × Z/2 —> Z/2 —> 0
0 —> Z/2 —> Z/4 —> Z/2 —> 0.
>>1524
>вроде бы очень просто доказываемому, например, индукцией по n
Подробнее:
a=b+αp^n
a^p = (b+αp^n)^p = b^p + pαp^n + ... (дальше слагаемые делятся на (p^n)^i, что больше p^(n+1), про биноминальные коэффициенты знать ничего не надо).
Провел это рассуждение, чтобы показать, насколько всё просто.
Вектора Витта — элементарная тема для любознательных (мат)школьников.
>вроде бы очень просто доказываемому, например, индукцией по n
Подробнее:
a=b+αp^n
a^p = (b+αp^n)^p = b^p + pαp^n + ... (дальше слагаемые делятся на (p^n)^i, что больше p^(n+1), про биноминальные коэффициенты знать ничего не надо).
Провел это рассуждение, чтобы показать, насколько всё просто.
Вектора Витта — элементарная тема для любознательных (мат)школьников.
>>1618
>https://en.wikipedia.org/wiki/Signal-flow_graph
https://en.wikipedia.org/wiki/Incidence_algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_algebra
Да куча проявлений у этой идеи, это один из базовых паттернов мышления.
Групповая алгебра туда же, в теории чисел используется полугрупповая алгебра натуральных чисел (свертка Дирихле).
>https://en.wikipedia.org/wiki/Signal-flow_graph
https://en.wikipedia.org/wiki/Incidence_algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_algebra
Да куча проявлений у этой идеи, это один из базовых паттернов мышления.
Групповая алгебра туда же, в теории чисел используется полугрупповая алгебра натуральных чисел (свертка Дирихле).
Мультипликативность символа Якоби, определяемого как знак перестановки (мультипликативность по «знаменателю», по «числителю» она очевидна).
Для начала, предположим, что у нас есть произведение двух конечных множеств: A×B. На этом произведении действуют перестановки A (и перестановки B). Если мощности A и B нечетные, то знак действия перестановки A (или перестановки B) на A×B равен её знаку при обычном действии на A, так как транспозиция перейдёт в транспозицию слоёв — нечетное количество транспозиций.
Напоминаю, что символ Якоби (a/b) — это знак умножения на a по модулю b (как перестановки), при этом предполагается, что b нечетное (это важно).
Посмотрим на расширение:
0 —> nZ/nm —> Z/nm —> Z/n —> 0.
Будем выражать элементы Z/nm в виде αn+β, где α рассматривается по модулю m, а β — по модулю n. Таким образом получаем биекцию Z/nm с Z/n × Z/m.
Тогда
a(αn+β)=(aα+q)n+r
где aβ=qn+r — деление с остатком.
То есть соответствующая (умножению на a) перестановка — композиция действия a на Z/m × Z/n и «трансляции» каждого «слоя» (биективного Z/m) прибавлением q.
Но прибавление 1 (и, значит, прибавление чего угодно) в Z/m — четная перестановка, из-за (предполагаемой) нечетности m. Поэтому «трансляции» не изменят знака перестановки.
Мультипликативность доказана.
Знаком небиективного отображения в себя объявим 0 — чтобы покрыть все случаи.
Символ Якоби (a/p) определяется тем, квадрат a (mod p) или нет, так как быть квадратом в Z/p <=> быть четной степенью мультипликативной образующей, а умножение на мультипликативную образующую — (p-1)-цикл — нечетная перестановка, так как это цикл чётной длины. (Использовалась очевидная мультипликативность символа по «числителю»).
Для начала, предположим, что у нас есть произведение двух конечных множеств: A×B. На этом произведении действуют перестановки A (и перестановки B). Если мощности A и B нечетные, то знак действия перестановки A (или перестановки B) на A×B равен её знаку при обычном действии на A, так как транспозиция перейдёт в транспозицию слоёв — нечетное количество транспозиций.
Напоминаю, что символ Якоби (a/b) — это знак умножения на a по модулю b (как перестановки), при этом предполагается, что b нечетное (это важно).
Посмотрим на расширение:
0 —> nZ/nm —> Z/nm —> Z/n —> 0.
Будем выражать элементы Z/nm в виде αn+β, где α рассматривается по модулю m, а β — по модулю n. Таким образом получаем биекцию Z/nm с Z/n × Z/m.
Тогда
a(αn+β)=(aα+q)n+r
где aβ=qn+r — деление с остатком.
То есть соответствующая (умножению на a) перестановка — композиция действия a на Z/m × Z/n и «трансляции» каждого «слоя» (биективного Z/m) прибавлением q.
Но прибавление 1 (и, значит, прибавление чего угодно) в Z/m — четная перестановка, из-за (предполагаемой) нечетности m. Поэтому «трансляции» не изменят знака перестановки.
Мультипликативность доказана.
Знаком небиективного отображения в себя объявим 0 — чтобы покрыть все случаи.
Символ Якоби (a/p) определяется тем, квадрат a (mod p) или нет, так как быть квадратом в Z/p <=> быть четной степенью мультипликативной образующей, а умножение на мультипликативную образующую — (p-1)-цикл — нечетная перестановка, так как это цикл чётной длины. (Использовалась очевидная мультипликативность символа по «числителю»).
>>1625
Это очень хорошо (если это правильно), так как (умножение на) a можно воспринимать как эндоморфизм Z/mn (как Z-модуля); рассуждение показывает, что символ Якоби «не видит неполупростоты», то есть не видит нетривиальности расширений — так же, как определитель, след и многие другие вещи.
Это очень хорошо (если это правильно), так как (умножение на) a можно воспринимать как эндоморфизм Z/mn (как Z-модуля); рассуждение показывает, что символ Якоби «не видит неполупростоты», то есть не видит нетривиальности расширений — так же, как определитель, след и многие другие вещи.
Ещё о символе Якоби: квадратичный закон взаимности.
Для нечетного числа n можно различать положительные и отрицательные вычеты по модулю n — с помощью знака наименьшего по модулю представителя.
Умножение на m по модулю n можно разложить на две перестановки — перестановку, сохраняющую знаки, и перестановку, которая просто меняет нужные знаки.
Перестановка, сохраняющая знаки, состоит из двух одинаковых перестановок «положительных» и «отрицательных» вычетов, поэтому она чётная и на знак не влияет. То есть знак умножения на m определяеться чётностью или нечетностью количества «перемен знака» при умножении на m.
Теперь, если мы нарисуем вычеты как циферблат, количество перемен знака будет равно количеству точек (то есть вычетов), попадающих в нужные интервалы (смотрите рисунок 1, иллюстрация для случая (3/x)). Точнее, половине этого количества, так как в перемене знака участвуют две точки. Можно считать, что мы берем интервалы только на одной стороне (положительной, например).
Теперь просто убедиться, что верна формула (рисунка 2).
Для этого нарисуем случай (3/5) (рисунок 3). Чёрные точки — это вычеты mod. 5. По-первых, добавим симметричные белые точки, тогда, из-за симметрии рисунка относительно синей линии, количество чёрных точек в нужных интервалах (на правой стороне) равно количеству чёрных и белых точек в нужных интервалах в верхней половине рисунка (на правой стороне). (Здесь мы используем нечетность). То, лежат эти точки или не лежат в нужных интервалах, определяется знаками разностей в формуле, при этом разности с «засечками на циферблате» ниже синей линии можно не учитывать, так как они всё равно положительные.
Квадратичный закон взаимности из формулы абсолютно очевиден.
Обратите внимание, что мы не использовали простоту «p» и «q» в формуле, то есть мы доказали взаимность для символа Якоби (m/n), где m,n — нечетные взаимно простые.
Для нечетного числа n можно различать положительные и отрицательные вычеты по модулю n — с помощью знака наименьшего по модулю представителя.
Умножение на m по модулю n можно разложить на две перестановки — перестановку, сохраняющую знаки, и перестановку, которая просто меняет нужные знаки.
Перестановка, сохраняющая знаки, состоит из двух одинаковых перестановок «положительных» и «отрицательных» вычетов, поэтому она чётная и на знак не влияет. То есть знак умножения на m определяеться чётностью или нечетностью количества «перемен знака» при умножении на m.
Теперь, если мы нарисуем вычеты как циферблат, количество перемен знака будет равно количеству точек (то есть вычетов), попадающих в нужные интервалы (смотрите рисунок 1, иллюстрация для случая (3/x)). Точнее, половине этого количества, так как в перемене знака участвуют две точки. Можно считать, что мы берем интервалы только на одной стороне (положительной, например).
Теперь просто убедиться, что верна формула (рисунка 2).
Для этого нарисуем случай (3/5) (рисунок 3). Чёрные точки — это вычеты mod. 5. По-первых, добавим симметричные белые точки, тогда, из-за симметрии рисунка относительно синей линии, количество чёрных точек в нужных интервалах (на правой стороне) равно количеству чёрных и белых точек в нужных интервалах в верхней половине рисунка (на правой стороне). (Здесь мы используем нечетность). То, лежат эти точки или не лежат в нужных интервалах, определяется знаками разностей в формуле, при этом разности с «засечками на циферблате» ниже синей линии можно не учитывать, так как они всё равно положительные.
Квадратичный закон взаимности из формулы абсолютно очевиден.
Обратите внимание, что мы не использовали простоту «p» и «q» в формуле, то есть мы доказали взаимность для символа Якоби (m/n), где m,n — нечетные взаимно простые.
Помимо предыдущей формулы (Кронекера), формула пикрелейтед (Эйзенштейна) так же совершенно очевидна из предыдущих картинок/рассуждений.
Удивительно, как часто циферблат появляется в теории чисел. В общий элементарный курс, который якобы является темой треда, нужно будет включить такие фундаментальные (но элементарные) штуки из теории чисел, как гауссовы (Z[i]) и эйзенштейновы (Z[ω]) целые числа, неоднозначная разложимость в Z[√-5], модулярная группа (SL(2, Z)), (описанный только что) символ Якоби, функцию Мёбиуса... Как обычно, проблема в том, что я сам этого пока не знаю.
>>1630
> Удивительно, как часто циферблат появляется в теории чисел.
Было бы более удивительно, если циклические группы изображали как-то иначе.
> Удивительно, как часто циферблат появляется в теории чисел.
Было бы более удивительно, если циклические группы изображали как-то иначе.
>>1631
Да это понятно, я про общее впечатление. Функция Мёбиуса — сумма первообразных корней из 1; Кольца Z[i] и Z[ω] связаны с шестиугольником и квадратом, и эти же решетки показывают задание модулярной группы двумя элементами порядка 3 и 2; если изобразить на циферблате корни из -1 (для всех тех простых p, по модулю которых они есть) — они будут равнораспределены; направления, по которым находятся простые в Z[i], равнораспределены по окружности. Вообще, в большом количестве вопросов, связанных с равнораспределением, возникают круги (по теме: https://youtube.com/watch?v=RxI3BemTjfk ). Циклотомические поля (связанные с «теоремой» Ферма), характеры Дирихле — туда же. Эллиптическая кривая — обобщение окружности (в некотором роде); системы корней (которые связаны с группами Ли, которые теперь, вроде бы, тоже связаны с теорий чисел с помощью программы Ленглендса) — многогранники на сфере, аналогичные многоугольникам на окружности.
Да это понятно, я про общее впечатление. Функция Мёбиуса — сумма первообразных корней из 1; Кольца Z[i] и Z[ω] связаны с шестиугольником и квадратом, и эти же решетки показывают задание модулярной группы двумя элементами порядка 3 и 2; если изобразить на циферблате корни из -1 (для всех тех простых p, по модулю которых они есть) — они будут равнораспределены; направления, по которым находятся простые в Z[i], равнораспределены по окружности. Вообще, в большом количестве вопросов, связанных с равнораспределением, возникают круги (по теме: https://youtube.com/watch?v=RxI3BemTjfk ). Циклотомические поля (связанные с «теоремой» Ферма), характеры Дирихле — туда же. Эллиптическая кривая — обобщение окружности (в некотором роде); системы корней (которые связаны с группами Ли, которые теперь, вроде бы, тоже связаны с теорий чисел с помощью программы Ленглендса) — многогранники на сфере, аналогичные многоугольникам на окружности.
>>1608
Аналог алгебр Хопфа / биалгебр тоже можно ввести совсем рано: группа обладает диагональным отображением G —> G×G, которое является гомоморфизмом групп. Алгебра Ли — тоже. Эти отображения естественно возникают, когда рассматриваются действия. Действие — гомоморфизм в эндоморфизмы, эндоморфизмы (линейные) образуют алгебру, поэтому естественно перейти к алгебрам (которые порождают группы / алгебры Ли). Всё.
Аналог алгебр Хопфа / биалгебр тоже можно ввести совсем рано: группа обладает диагональным отображением G —> G×G, которое является гомоморфизмом групп. Алгебра Ли — тоже. Эти отображения естественно возникают, когда рассматриваются действия. Действие — гомоморфизм в эндоморфизмы, эндоморфизмы (линейные) образуют алгебру, поэтому естественно перейти к алгебрам (которые порождают группы / алгебры Ли). Всё.
>>1633
Единицы и коединицы:
G —> 1 —> G
L —> 0 —> L.
Картинка для алгебр является просто индуцированной от этой, не понимаю, почему эту не рассказывают раньше.
Единицы и коединицы:
G —> 1 —> G
L —> 0 —> L.
Картинка для алгебр является просто индуцированной от этой, не понимаю, почему эту не рассказывают раньше.
Вот так надо записывать условие согласованности умножения и коумножения.
>>1520
След и определяется этим свойством (Ли-инвариантностью формы (a,b)=tr(ab)) (так как оно эквивалентно tr([a,bc])=0, что эквивалентно tr([a,b])=0).
Кстати, только что узнал, что свойство ассоциативности формы следа (ab,c)=(a,bc), эквивалентное тому, что форма приходит из линейной функции, называется алгебра Фробениуса (то есть, алгебра с такой невырожденной формой называется так).
P.S. Какая же всё-таки красивая диаграмма.
След и определяется этим свойством (Ли-инвариантностью формы (a,b)=tr(ab)) (так как оно эквивалентно tr([a,bc])=0, что эквивалентно tr([a,b])=0).
Кстати, только что узнал, что свойство ассоциативности формы следа (ab,c)=(a,bc), эквивалентное тому, что форма приходит из линейной функции, называется алгебра Фробениуса (то есть, алгебра с такой невырожденной формой называется так).
P.S. Какая же всё-таки красивая диаграмма.
>>1520
А само свойство
>[a,bc] = [a,b]c + b[a,c]
называется алгебра Пуассона (то есть, так называется алгебра, на которой определена скобка...).
А само свойство
>[a,bc] = [a,b]c + b[a,c]
называется алгебра Пуассона (то есть, так называется алгебра, на которой определена скобка...).
>>1627
Из этого так же очевидны формулы для (-1/n) и (2/n) (для двойки, учитывая,что (n/m) = (n / m+4n) (что ясно из циферблата, в каждый интервал добавятся две точки), нужно проверить только ±1, ±3 mod. 8).
Из этого так же очевидны формулы для (-1/n) и (2/n) (для двойки, учитывая,что (n/m) = (n / m+4n) (что ясно из циферблата, в каждый интервал добавятся две точки), нужно проверить только ±1, ±3 mod. 8).
Площадь сектора очевидным образом выражается через угол и площадь сферы, площадь объединения трёх (полу)секторов, связанных с треугольником, равна половине площади сферы, так как сзади находится абсолютно симметричная картинка. Сумма площадей трёх этих (полу)секторов равна площади их объединения + удвоенная площадь треугольника (так как вместе они покрывают треугольник трижды). Отсюда получаем, что площадь треугольника = сумма углов треугольника - сумма углов плоского треугольника (π). Отсюда, например, можно запомнить площадь сферы — посмотрев на октант, у которого углы все π/2.
>>1591
>(с помощью жордановой формы, кстати, лол)
Нет,там вроде совсем просто, жорданова форма не нужна.
Сначала для комплексных пространств.
Из (Ax,y) = (x,Ay) следует, что:
1. Все собственные числа A вещественные.
2. Ортогональное дополнение к A-инвариантному подпространству A-инвариантно.
Берем одномерное инвариантное подпространство (собственный вектор) и переходим к ортогональному дополнению и так дальше по индукции.
Для вещественных пространств, рассмотрев матрицу как комплексную, получаем, что все собственные значения вещественные. Дальше то же самое.
>(с помощью жордановой формы, кстати, лол)
Нет,там вроде совсем просто, жорданова форма не нужна.
Сначала для комплексных пространств.
Из (Ax,y) = (x,Ay) следует, что:
1. Все собственные числа A вещественные.
2. Ортогональное дополнение к A-инвариантному подпространству A-инвариантно.
Берем одномерное инвариантное подпространство (собственный вектор) и переходим к ортогональному дополнению и так дальше по индукции.
Для вещественных пространств, рассмотрев матрицу как комплексную, получаем, что все собственные значения вещественные. Дальше то же самое.
Просто запощу картинки для
1. Алгоритма Штрассена.
1. Алгоритма Штрассена.
и
2. Решения уравнений степени 3 и 4 (хитрое сведение к квадратным).
2. Решения уравнений степени 3 и 4 (хитрое сведение к квадратным).
>>1644
Хммм, дискриминант квадратного уравнения на α^3 и β^3 совпадает с дискриминантом исходного кубического уравнения.
Хммм, дискриминант квадратного уравнения на α^3 и β^3 совпадает с дискриминантом исходного кубического уравнения.
>>1643
Аналог алгоритма Карацубы умножения чисел, только для умножения матриц.
Аналог алгоритма Карацубы умножения чисел, только для умножения матриц.
>>1644
Почему эти решения похожи на решение квадратных уравнений:
1. Сначала мы трансляцией убиваем коэффициент сразу после главного — а это и есть один из способов воспринимать решение квадратного уравнения.
2. Для кубического уравнения мы постоянно используем решение квадратного уравнения (x-α)(x-β)=x^2-(α+β)x+αβ.
3. Для кубического уравнения мы используем куб суммы (α+β)^3 = α^3 + 3αβ(α+β) + β^3 и сокращение среднего члена, а для квадратного уравнения мы используем квадрат суммы (α+β)^2 = α^2 + 2αβ + β^2 и сокращение среднего члена.
4. Уравнение четвертой степени мы приводим к виду (x^2+α)^2 = (выражение степени 1 по x)^2, где на α получается кубическое условие, а ещё один способ воспринимать решение квадратного уравнения — это приведение его к виду (x+α)^2 = (выражение степени 0 по x)^2, где на α получается линейное условие.
Почему эти решения похожи на решение квадратных уравнений:
1. Сначала мы трансляцией убиваем коэффициент сразу после главного — а это и есть один из способов воспринимать решение квадратного уравнения.
2. Для кубического уравнения мы постоянно используем решение квадратного уравнения (x-α)(x-β)=x^2-(α+β)x+αβ.
3. Для кубического уравнения мы используем куб суммы (α+β)^3 = α^3 + 3αβ(α+β) + β^3 и сокращение среднего члена, а для квадратного уравнения мы используем квадрат суммы (α+β)^2 = α^2 + 2αβ + β^2 и сокращение среднего члена.
4. Уравнение четвертой степени мы приводим к виду (x^2+α)^2 = (выражение степени 1 по x)^2, где на α получается кубическое условие, а ещё один способ воспринимать решение квадратного уравнения — это приведение его к виду (x+α)^2 = (выражение степени 0 по x)^2, где на α получается линейное условие.
То есть всё совсем здорово.
Когда я первый раз прочитал про сюрреальные числа в википедии, был немного озадачен сложными выражениями для умножения и обращения, и только сейчас понял, что эти выражения — очевидные отражения того, что
a<A & b<B <=> 0<(A-a) & 0<(B-b) => 0<(A-a)(B-b).
a<A & b<B <=> 0<(A-a) & 0<(B-b) => 0<(A-a)(B-b).
Теорема: 2^x > x, то есть множество подмножеств больше множества.
Доказательство: допустим, у нас есть отображение множества в множество подмножеств. Рассмотрим множество элементов, не содержащихся в своих подмножествах. Для элемента, переходящего в это множество, содержаться в нём эквавалентно не содержаться в нём, значит, такого элемента нет.
Только что обнаружил, что:
1. Этот аргумент — точная копия диагонального аргумента Кантора, только сказанная на абстрактном языке. (Последовательности 0 и 1 = 2^N = подмножества N.)
2. Насколько это рассуждение похоже на парадокс Рассела (для множества множеств, не являющихся своими элементами, быть своим элементом эквивалентно не быть своим элементом)! Это забавно, что «триумф» теории множеств и «провал» теории множеств — один и тот же аргумент.
Доказательство: допустим, у нас есть отображение множества в множество подмножеств. Рассмотрим множество элементов, не содержащихся в своих подмножествах. Для элемента, переходящего в это множество, содержаться в нём эквавалентно не содержаться в нём, значит, такого элемента нет.
Только что обнаружил, что:
1. Этот аргумент — точная копия диагонального аргумента Кантора, только сказанная на абстрактном языке. (Последовательности 0 и 1 = 2^N = подмножества N.)
2. Насколько это рассуждение похоже на парадокс Рассела (для множества множеств, не являющихся своими элементами, быть своим элементом эквивалентно не быть своим элементом)! Это забавно, что «триумф» теории множеств и «провал» теории множеств — один и тот же аргумент.
Интересно, что понятие мультипликативного множества является как бы дуальным понятию идеала. Идеал — элементы, которые переходят в ноль, «мультипликативное множество» — элементы, которые переходят в единицы.
Сумма зануляющихся элементов — зануляющийся элемент и кратное зануляющегося элемента — зануляющийся элемент.
Произведение обратимых элементов — обратимый элемент и делитель обратимного элемента — обратимый элемент.
Так что «мультипликативные множества» можно замыкать относительно перехода к делителям — локализация не изменится.
Тогда эта дуальность становится видимой.
Это аналогично идеалам и фильтрам для решеток.
Сумма зануляющихся элементов — зануляющийся элемент и кратное зануляющегося элемента — зануляющийся элемент.
Произведение обратимых элементов — обратимый элемент и делитель обратимного элемента — обратимый элемент.
Так что «мультипликативные множества» можно замыкать относительно перехода к делителям — локализация не изменится.
Тогда эта дуальность становится видимой.
Это аналогично идеалам и фильтрам для решеток.
Не диагонализуемая инволюция.
А вот диагонализуемая инволюция.
ЧЗХ, разве это не одно и то же преобразование, записанное в разных базисах?
ЧЗХ, разве это не одно и то же преобразование, записанное в разных базисах?
>>1654
Проблема 0,9999999... = 1 решается рассмотрением канторова множества (точки отрезка [0,1], 3-ичное разложение которых не содержит единиц), которое, кажется, даёт первый пример профинитного пространства. Если добавить структуру кольца (...→Z/8→Z/4→Z/2→Z/1), получаются 2-адические числа.
Есть дуальность Гельфанда, дуальность Понтрягина и дуальность Стоуна. Хотелось бы это изучить.
Проблема 0,9999999... = 1 решается рассмотрением канторова множества (точки отрезка [0,1], 3-ичное разложение которых не содержит единиц), которое, кажется, даёт первый пример профинитного пространства. Если добавить структуру кольца (...→Z/8→Z/4→Z/2→Z/1), получаются 2-адические числа.
Есть дуальность Гельфанда, дуальность Понтрягина и дуальность Стоуна. Хотелось бы это изучить.
>>1547
>g обратимо в A_S <=> s=0 в A/g (для какого-то s из S)
То есть Ag⋂S≠ø. Значит, если мы предположим, что S насыщенное (то есть замкнутое относительно перехода к делителям), то g∈S. То есть идеал — все зануляющиеся при факторзации элементы, а насыщенное мультипликативное множество — все элементы, которые становятся обратимыми при локализации [если это верно].
A_S = 0 ⇔ 0 ∈ S
A/I = 0 ⇔ 1 ∈ I
Эта симметрия действительно должна эксплицироваться в самом начале (в момент введения этих понятий).
>g обратимо в A_S <=> s=0 в A/g (для какого-то s из S)
То есть Ag⋂S≠ø. Значит, если мы предположим, что S насыщенное (то есть замкнутое относительно перехода к делителям), то g∈S. То есть идеал — все зануляющиеся при факторзации элементы, а насыщенное мультипликативное множество — все элементы, которые становятся обратимыми при локализации [если это верно].
A_S = 0 ⇔ 0 ∈ S
A/I = 0 ⇔ 1 ∈ I
Эта симметрия действительно должна эксплицироваться в самом начале (в момент введения этих понятий).
Внезапно обнаружил, что аксимы ZFC очень простые.
1. Множество определяется своими элементами.
2. Мы можем соединить конечное число элементов в множество.
3. Мы можем образовать объединение множества множеств.
4. Мы можем брать множество подмножеств.
5. Мы можем брать подмножества с помощью формул.
6. Мы можем брать образы с помощью формул.
7. Всё предыдущее работает и с конечными множествами. Мы можем реализовать натуральное число (начиная с нуля) как множество меньших натуральных чисел (для нуля оно пустое). Аксиома бесконечности утверждает, что множество натуральных чисел существует.
8. В каждом множестве есть минимальный относительно принадлежности элемент. Это позволяет ввести ∈-индукцию (эпсилон-индукцию): если из того, что утверждение верно для всех элементов множества следует, что утверждение верно для множества, то утверждение верно для всех множеств. Для натуральных чисел выше это даёт обычную индукцию. Так же, в присутствии слабой аксиомы выбора (которой достаточно для доказательства эквивалентности определений нётеровости), это эквивалентно отсутствию бесконечно «убывающих» цепочек принадлежности, например, множеств принадлежащих себе.
9. Для кажого множества непустых непересекающихся множеств есть «сечение» — множество, которое пересекается с каждым из них ровно по одному элементу.
1. Множество определяется своими элементами.
2. Мы можем соединить конечное число элементов в множество.
3. Мы можем образовать объединение множества множеств.
4. Мы можем брать множество подмножеств.
5. Мы можем брать подмножества с помощью формул.
6. Мы можем брать образы с помощью формул.
7. Всё предыдущее работает и с конечными множествами. Мы можем реализовать натуральное число (начиная с нуля) как множество меньших натуральных чисел (для нуля оно пустое). Аксиома бесконечности утверждает, что множество натуральных чисел существует.
8. В каждом множестве есть минимальный относительно принадлежности элемент. Это позволяет ввести ∈-индукцию (эпсилон-индукцию): если из того, что утверждение верно для всех элементов множества следует, что утверждение верно для множества, то утверждение верно для всех множеств. Для натуральных чисел выше это даёт обычную индукцию. Так же, в присутствии слабой аксиомы выбора (которой достаточно для доказательства эквивалентности определений нётеровости), это эквивалентно отсутствию бесконечно «убывающих» цепочек принадлежности, например, множеств принадлежащих себе.
9. Для кажого множества непустых непересекающихся множеств есть «сечение» — множество, которое пересекается с каждым из них ровно по одному элементу.
>>1664
Эти аксиомы можно сгруппировать в пары в некотором роде.
Объединение — стирание перегородок, множество подмножеств — создание перегородок. Они как бы обратны.
Аксиома бесконечности — это бесконечность «в ширину», а фундированность запрещает бесконечность «в глубину».
Эти аксиомы можно сгруппировать в пары в некотором роде.
Объединение — стирание перегородок, множество подмножеств — создание перегородок. Они как бы обратны.
Аксиома бесконечности — это бесконечность «в ширину», а фундированность запрещает бесконечность «в глубину».
>>1664
> если из того, что утверждение верно для всех элементов множества следует, что утверждение верно для множества, то утверждение верно для всех множеств
Честно говоря, я не понял эту фразу.
Кстати, что скажешь про NBG?
> если из того, что утверждение верно для всех элементов множества следует, что утверждение верно для множества, то утверждение верно для всех множеств
Честно говоря, я не понял эту фразу.
Кстати, что скажешь про NBG?
>>1667
>Честно говоря, я не понял эту фразу.
en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Посмотри на натуральные числа:
0 = {}
1 = {0}
2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
...
Свойство наследуется от элементов множества к множеству => оно верно для всех множеств.
>Кстати, что скажешь про NBG?
Да ничего, я в этом вообще не разбираюсь. Знаю только то, что в википедии написано. Слово «класс» удобное и используется, аксиомы вроде тоже милые и логичные, перевод схем аксиом в конечное число аксиом, используя классы, — хз какой это философский смысл имеет. Те же яйца, только в профиль.
>Честно говоря, я не понял эту фразу.
en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Посмотри на натуральные числа:
0 = {}
1 = {0}
2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
...
Свойство наследуется от элементов множества к множеству => оно верно для всех множеств.
>Кстати, что скажешь про NBG?
Да ничего, я в этом вообще не разбираюсь. Знаю только то, что в википедии написано. Слово «класс» удобное и используется, аксиомы вроде тоже милые и логичные, перевод схем аксиом в конечное число аксиом, используя классы, — хз какой это философский смысл имеет. Те же яйца, только в профиль.
Нравится использовать геометрическую терминологию, когда думаю о конечных группах.
Например, сплетение — как расслоение: одно слагаемое переставляет слои, другое — переставляет точки внутри слоёв.
У него два действия, одно, собственно, на «тотальном пространстве» «расслоения», другое — на сечениях расслоения. То есть на множествах A×B и A^B.
Например, сплетение — как расслоение: одно слагаемое переставляет слои, другое — переставляет точки внутри слоёв.
У него два действия, одно, собственно, на «тотальном пространстве» «расслоения», другое — на сечениях расслоения. То есть на множествах A×B и A^B.
Картинку, что подгруппы соответствуют транзитивным действиям группы (стабилизаторы / смежные классы), можно дополнить тем, что вложениям подгрупп соответствуют факторизации действий (как в >>1669 ). Поэтому максимальным подгруппам соответствуют примитивные действия.
>>1670
Под «факторизациями» я имею в виду сюръективные отображения G-множеств, что то же самое, что системы импримитивности.
Кратную транзитивность можно рассматривать как транзитивность на цепочках вложенных подмножеств (пикрелейтед), тогда сразу становится видна аналогия с транзитивностью на флагах для линейных действий.
Под «факторизациями» я имею в виду сюръективные отображения G-множеств, что то же самое, что системы импримитивности.
Кратную транзитивность можно рассматривать как транзитивность на цепочках вложенных подмножеств (пикрелейтед), тогда сразу становится видна аналогия с транзитивностью на флагах для линейных действий.
Попробовал проиллюстрировать трансфер (рисунок 1). Прямоугольниками отмечены смежные классы.
«Сплошные стрелки» и «волнистые стрелки» коммутируют, так как это умножения с разных сторон, плюс, мы можем считать, что волнистые стрелки коммутрируют между собой, так как смотрим на абелианизацию подгруппы (рисунок 2).
Тогда независимость от выбора представителей и мультипликативность (рисунок 3) — очевидны.
«Сплошные стрелки» и «волнистые стрелки» коммутируют, так как это умножения с разных сторон, плюс, мы можем считать, что волнистые стрелки коммутрируют между собой, так как смотрим на абелианизацию подгруппы (рисунок 2).
Тогда независимость от выбора представителей и мультипликативность (рисунок 3) — очевидны.
Кстати, символ Лежандра — это трансфер мультипликативной группы Z/p относительно подгруппы {±1}. Это очевидно. (
Зная то, что уже говорилось:
>>1627
>Для нечетного числа n можно различать положительные и отрицательные вычеты по модулю n — с помощью знака наименьшего по модулю представителя.
Умножение на m по модулю n можно разложить на две перестановки — перестановку, сохраняющую знаки, и перестановку, которая просто меняет нужные знаки.
Перестановка, сохраняющая знаки, состоит из двух одинаковых перестановок «положительных» и «отрицательных» вычетов, поэтому она чётная и на знак не влияет. То есть знак умножения на m определяеться чётностью или нечетностью количества «перемен знака» при умножении на m.
).
Зная то, что уже говорилось:
>>1627
>Для нечетного числа n можно различать положительные и отрицательные вычеты по модулю n — с помощью знака наименьшего по модулю представителя.
Умножение на m по модулю n можно разложить на две перестановки — перестановку, сохраняющую знаки, и перестановку, которая просто меняет нужные знаки.
Перестановка, сохраняющая знаки, состоит из двух одинаковых перестановок «положительных» и «отрицательных» вычетов, поэтому она чётная и на знак не влияет. То есть знак умножения на m определяеться чётностью или нечетностью количества «перемен знака» при умножении на m.
).
Коммутатор [a,b] — произведение a и сопряженного к a, и, с другой стороны, произведение b и сопряженного к b:
a[a,b]=a^b
b[b,a]=b^a
Простота знакопеременной группы.
Возьмём нетривиальный элемент в нормальной подгруппе и прокоммутируем с подходящим 3-циклом (рисунок). Подходящий = имеющий «общее ребро» с циклом перестановки, но не совпадающий (без учёта направлений стрелок) с этим циклом. Во-первых, исходная перестановка нетривиально действует на 3-цикл (потому что «не совпадает» с ним). Во-вторых, она переводит его в 3-цикл, имеющий с исходным общую точку (так как у неё «совпадает ребро» с исходным 3-циклом). Значит, коммутатор (являющийся произведением этих двух 3-циклов и не равный единице) переставляет только 5 точек, то есть, лежит в A_5. Так как мы попали в A_5, которая, как мы знаем, простая, мы получаем все перестановки из A_5, в том числе 3-циклы. Благодаря (n-2)-транзитивности A_n мы получаем все 3-циклы в A_n, а, значит, и всё A_n.
a[a,b]=a^b
b[b,a]=b^a
Простота знакопеременной группы.
Возьмём нетривиальный элемент в нормальной подгруппе и прокоммутируем с подходящим 3-циклом (рисунок). Подходящий = имеющий «общее ребро» с циклом перестановки, но не совпадающий (без учёта направлений стрелок) с этим циклом. Во-первых, исходная перестановка нетривиально действует на 3-цикл (потому что «не совпадает» с ним). Во-вторых, она переводит его в 3-цикл, имеющий с исходным общую точку (так как у неё «совпадает ребро» с исходным 3-циклом). Значит, коммутатор (являющийся произведением этих двух 3-циклов и не равный единице) переставляет только 5 точек, то есть, лежит в A_5. Так как мы попали в A_5, которая, как мы знаем, простая, мы получаем все перестановки из A_5, в том числе 3-циклы. Благодаря (n-2)-транзитивности A_n мы получаем все 3-циклы в A_n, а, значит, и всё A_n.
>>1674
>Во-первых, исходная перестановка нетривиально действует на 3-цикл (потому что «не совпадает» с ним).
Имеется в виду «не содержит его или его кратный в цикленном разложении».
>Во-первых, исходная перестановка нетривиально действует на 3-цикл (потому что «не совпадает» с ним).
Имеется в виду «не содержит его или его кратный в цикленном разложении».
Вычисление целых в квадратичных полях (квадратичных целых).
Сначала мы показываем, что знаменатель b равен 2 или 1 (рисунок 1). После этого описание («a и b целые, и, если d ≡ 1 (4), добавляются ещё одновременно полуцелые a и b») очевидно (рисунок 2).
Сначала мы показываем, что знаменатель b равен 2 или 1 (рисунок 1). После этого описание («a и b целые, и, если d ≡ 1 (4), добавляются ещё одновременно полуцелые a и b») очевидно (рисунок 2).
Скалярное произведение лучше определять сразу так (для бимодулей, скажем) (рисунок 2). Используя инволюции. Модуль над кольцом с инволюцией сразу бимодуль. Тождественное отображение является инволюцией = кольцо коммутативное, минус является инволюцией = кольцо антикоммутативное (как модули над алгебрами Ли сразу бимодули).
Транспонирование использует инволюцию (инволюция это как бы обращение направлений стрелок, транспонирование — тоже).
Вообще, у меня есть странное впечатление, что инволюции недооценены. Это очень таинственная такая симметрия, которая не очень понятно что означает абстрактно.
Транспонирование использует инволюцию (инволюция это как бы обращение направлений стрелок, транспонирование — тоже).
Вообще, у меня есть странное впечатление, что инволюции недооценены. Это очень таинственная такая симметрия, которая не очень понятно что означает абстрактно.
Дискриминант кубического и квадратного уравнения похожи, кстати. (Это общий паттерн для уравнения x^n+px+q.)
У нас есть кольцо, представляющее n-ые корни из 1: K[x]/(x^n=1). Соответствующее пространство, K-точки, это корни n-й степени из 1 в K. Мы берем и сопоставляем многочлену его значения на этих точках. Умножение многочленов (свёртка) переходит в умножение функций (поточечное).
Так вот, это и есть то самое «дискретное преобразование Фурье»?! Ничего себе, как всё просто.
Так вот, это и есть то самое «дискретное преобразование Фурье»?! Ничего себе, как всё просто.
>>1685
Тебе, может, и просто. А мне вот не просто, в этой вашей алгебре слишком трудно представлять что-то наглядно.
Тебе, может, и просто. А мне вот не просто, в этой вашей алгебре слишком трудно представлять что-то наглядно.
>>1687
Это практически тавтологии, тут ничего особо представлять не надо. Это ДУАЛЬНОСТЬ.
Здорово, что дуальность едина. Дуальность — это дуальность, она вездесуща и прекрасна.
>>1660
>дуальность Стоуна
Пространство Стоуна = компактное, вполне несвязное, хаусдорфово.
Компактное — все спектры колец компактны.
Вполне несвязное — разложению на компонеты соответствуют идемпотенты, а булево кольцо целиком из них состоит.
Хаусдорфово — т.к. булево кольцо нульмерно.
Т.е. примерно ясно, почему такие условия.
Это практически тавтологии, тут ничего особо представлять не надо. Это ДУАЛЬНОСТЬ.
Здорово, что дуальность едина. Дуальность — это дуальность, она вездесуща и прекрасна.
>>1660
>дуальность Стоуна
Пространство Стоуна = компактное, вполне несвязное, хаусдорфово.
Компактное — все спектры колец компактны.
Вполне несвязное — разложению на компонеты соответствуют идемпотенты, а булево кольцо целиком из них состоит.
Хаусдорфово — т.к. булево кольцо нульмерно.
Т.е. примерно ясно, почему такие условия.
Сделал иллюстрацию к лемме Урысона (рисунок 1).
https://en.wikipedia.org/wiki/Urysohn's_lemma
Стрелки показывают, что открыто, а что — замкнуто (рисунок 2).
https://en.wikipedia.org/wiki/Urysohn's_lemma
Стрелки показывают, что открыто, а что — замкнуто (рисунок 2).
>>1362
>Силовским p-подгруппам — действия на множестве, не делящемся на p.
Ну не совсем. Действия на множестве, не делящемся на p, со стабилизатором — степенью p. Рассуждение (существует силовская подгруппа в большой группе) => (существует силовская подгруппа в подгруппе) всё равно верно.
Ещё существование силовских подгрупп можно доказать действием на подмножества группы мощности p^n (p-часть порядка группы) — их количество не делится на p (элементарно, см. википедию), и стабилизатор не больше, чем нужно.
>Силовским p-подгруппам — действия на множестве, не делящемся на p.
Ну не совсем. Действия на множестве, не делящемся на p, со стабилизатором — степенью p. Рассуждение (существует силовская подгруппа в большой группе) => (существует силовская подгруппа в подгруппе) всё равно верно.
Ещё существование силовских подгрупп можно доказать действием на подмножества группы мощности p^n (p-часть порядка группы) — их количество не делится на p (элементарно, см. википедию), и стабилизатор не больше, чем нужно.
>>1685
>K[x]/(x^n=1)
Это групповая алгебра группы n-ых корней из единицы.
Вроде, в недискретном случае то же самое, только групповая алгебра R (для преобразования Фурье) и групповая алгебра R_+ (для преобразования Лапласа) [дуальность Гельфанда]. Да ещё, вроде бы на эту же тему, есть дуальность в алгебрах Хопфа и дуальность Картье.
>K[x]/(x^n=1)
Это групповая алгебра группы n-ых корней из единицы.
Вроде, в недискретном случае то же самое, только групповая алгебра R (для преобразования Фурье) и групповая алгебра R_+ (для преобразования Лапласа) [дуальность Гельфанда]. Да ещё, вроде бы на эту же тему, есть дуальность в алгебрах Хопфа и дуальность Картье.
Линейное пространство с оператором (конечномерное, допустим) — модуль над K[x]/(минимальный многочлен оператора) и спектр этого кольца = спектр оператора.
Вообще, есть идея, что многие идеи проще иллюстрировать на конечных объектах, а потом «менять суммы на интегралы». Мне она нравится, потому что конечные объекты часто реально элементарны.
Вообще, есть идея, что многие идеи проще иллюстрировать на конечных объектах, а потом «менять суммы на интегралы». Мне она нравится, потому что конечные объекты часто реально элементарны.
Этм преобразования/дуальности соответствуют тому, что:
{Z/n —> Z/n} = Z/n
{R —> U(1)} = R
{Z —> U(1)} = U(1) {U(1) —> U(1)} = Z
(U(1) — единичная окружность).
{Z/n —> Z/n} = Z/n
{R —> U(1)} = R
{Z —> U(1)} = U(1) {U(1) —> U(1)} = Z
(U(1) — единичная окружность).
Соответствие между идемпотентами (x^2=x) и инволюциями (x^2=1).
Идемпотенты → Инволюции:
0 ↦ 1
1 ↦ -1
x ↦ 1-2x.
Если двойка обратима, то можно пойти в обратную сторону.
Для линейных преобразований это очень наглядно: проектору на подпространство сопоставляется инволюция «минус» на подпространстве и тождественная на дополнении: 1⊕0 ↦ -1⊕1 (где 1 и 0 — единичная и нулевая матрицы).
На инволюциях есть симметрия x ⟷ -x (1 ⟷ -1), а на идемпотентах — x ⟷ 1-x (0 ⟷ 1).
Идемпотенты → Инволюции:
0 ↦ 1
1 ↦ -1
x ↦ 1-2x.
Если двойка обратима, то можно пойти в обратную сторону.
Для линейных преобразований это очень наглядно: проектору на подпространство сопоставляется инволюция «минус» на подпространстве и тождественная на дополнении: 1⊕0 ↦ -1⊕1 (где 1 и 0 — единичная и нулевая матрицы).
На инволюциях есть симметрия x ⟷ -x (1 ⟷ -1), а на идемпотентах — x ⟷ 1-x (0 ⟷ 1).
>>1696
>x ↦ 1-2x
Это абсолютно очевидная проверка, но тут можно понять, что это сработает и без этого.
1. Аффинные преобразования просто 2-транзитивны.
2. Аффинное преобразование переведёт параболу в параболу, и если оно переводит корни в корни, то и формулу в формулу переведёт (пикрелейтед).
Конечно, тут никаких «парабол» нет, это произвольные кольца, но так получается ясно, что это сработает (это ведь формулы) — можно ничего и не проверять и формул не писать. Вроде.
>x ↦ 1-2x
Это абсолютно очевидная проверка, но тут можно понять, что это сработает и без этого.
1. Аффинные преобразования просто 2-транзитивны.
2. Аффинное преобразование переведёт параболу в параболу, и если оно переводит корни в корни, то и формулу в формулу переведёт (пикрелейтед).
Конечно, тут никаких «парабол» нет, это произвольные кольца, но так получается ясно, что это сработает (это ведь формулы) — можно ничего и не проверять и формул не писать. Вроде.
>>1692
>Да ещё, вроде бы на эту же тему, есть дуальность в алгебрах Хопфа и дуальность Картье.
Да это и есть дуальность Хопфа и это и есть дуальность Картье. (Это — это дискретное проеобразование Фурье.)
>Да ещё, вроде бы на эту же тему, есть дуальность в алгебрах Хопфа и дуальность Картье.
Да это и есть дуальность Хопфа и это и есть дуальность Картье. (Это — это дискретное проеобразование Фурье.)
Матрицу с элементами в области главных идеалов можно привести к диагональному виду умножив с двух сторон на обратимые матрицы.
Сначала рассмотрим два элемента кольца: a и b. Так как в кольце все идеалы главные, отсюда следует, что (a,b)=(c) для какого-то c. Это означает, что:
1. Существуют такие элементы A и B, что Aa+Bb=c.
2. Существуют такие элементы α и β, что αc=a и βc=b.
Подставив второе в первое, получим: Aαc+Bβc=c. Так как кольцо целостное, мы можем сократить на c (целостность эквивалентна возможности сокращать) и получить: Aα+Bβ=1.
(Это рассуждение похоже на доказательство того, что в целостном кольце (a)=(b) => a=eb, где e — обратимый элемент.)
Единственное, что мы не рассмотрели — случай c=0 — случай, когда мы не можем сокращать. Как мы увидим дальше, это не вызовет проблем.
Сформулируем рассмотренное по-другому (рисунок 1). Из столбца с элементами a, b обратимым преобразованием можно получить столбец с элементом c (и чем-то). А, значит, и столбец с c и 0, так как c делит a и b и, следовательно, все их линейные комбинации, а вычитание кратной строки из другой строки — всегда обратимое преобразование (обратное — прибавление кратной строки).
Вернемся к исходной задаче. Умножение матрицы на матрицу слева — замена её строк линейными комбинациями, справа — то же со столбцами. Если элемент в левом верхнем углу исходной матрицы ненулевой, используя преобразования выше мы можем занулить первый столбец (всё, кроме первого элемента). Затем занулить первую строку, но тогда первый столбец испортится и мы вынуждены будем снова его занулить и так далее. Процесс остановится, так как элемент в верхнем левом углу будет становится всё меньше (в плане делимости), его главный идеал — всё больше, а кольцо нетерово, поэтому процесс стабилизируется. Тогда мы получим матрицу как на рисунке 2, дальше теорема доказывается по индукции. Если элемент в верхнем левом углу нулевой но в первой строке или столбце есть ненулевой элемент, мы просто прибавляет эту строку/столбец к первой строке / первому столбцу и делаем как раньше. Если первая строка и столбец польностью нулевые, мы просто идём дальше.
Сначала рассмотрим два элемента кольца: a и b. Так как в кольце все идеалы главные, отсюда следует, что (a,b)=(c) для какого-то c. Это означает, что:
1. Существуют такие элементы A и B, что Aa+Bb=c.
2. Существуют такие элементы α и β, что αc=a и βc=b.
Подставив второе в первое, получим: Aαc+Bβc=c. Так как кольцо целостное, мы можем сократить на c (целостность эквивалентна возможности сокращать) и получить: Aα+Bβ=1.
(Это рассуждение похоже на доказательство того, что в целостном кольце (a)=(b) => a=eb, где e — обратимый элемент.)
Единственное, что мы не рассмотрели — случай c=0 — случай, когда мы не можем сокращать. Как мы увидим дальше, это не вызовет проблем.
Сформулируем рассмотренное по-другому (рисунок 1). Из столбца с элементами a, b обратимым преобразованием можно получить столбец с элементом c (и чем-то). А, значит, и столбец с c и 0, так как c делит a и b и, следовательно, все их линейные комбинации, а вычитание кратной строки из другой строки — всегда обратимое преобразование (обратное — прибавление кратной строки).
Вернемся к исходной задаче. Умножение матрицы на матрицу слева — замена её строк линейными комбинациями, справа — то же со столбцами. Если элемент в левом верхнем углу исходной матрицы ненулевой, используя преобразования выше мы можем занулить первый столбец (всё, кроме первого элемента). Затем занулить первую строку, но тогда первый столбец испортится и мы вынуждены будем снова его занулить и так далее. Процесс остановится, так как элемент в верхнем левом углу будет становится всё меньше (в плане делимости), его главный идеал — всё больше, а кольцо нетерово, поэтому процесс стабилизируется. Тогда мы получим матрицу как на рисунке 2, дальше теорема доказывается по индукции. Если элемент в верхнем левом углу нулевой но в первой строке или столбце есть ненулевой элемент, мы просто прибавляет эту строку/столбец к первой строке / первому столбцу и делаем как раньше. Если первая строка и столбец польностью нулевые, мы просто идём дальше.
>>1700
Это даёт теорему о строении конечно порожденных модулей над областью главных идеалов. Такой модуль конечно представленный, так как область главных идеалов нётерова. Заменив базисы в модулях образующих и соотношений (рисунок), мы получим диагональную «матрицу представления», эквивалентно, разложение на циклические слагаемые (слагаемые вида R/(a)) (именно эту диагонализуемость мы и доказали выше). Дальше, по китайской теореме об остатках, разлагаем циклические слагаемые на примарные циклические (слагаемые вида R/(p^n)).
Для модулей над многочленами от одной переменной эта теорема даёт нормальную форму линейного преобразования, для модулей над целыми числами (абелевых групп) — строение конечно порожденных абелевых групп [обе эти теоремы доказывались выше, кстати].
Или, иначе, если у нас есть целочисленная решетка и её подрешетка, то мы можем выбрать такой базис решётки и базис подрешетки, что вектора базиса подрешетки — целочисленные кратные векторов базиса решётки.
Это даёт теорему о строении конечно порожденных модулей над областью главных идеалов. Такой модуль конечно представленный, так как область главных идеалов нётерова. Заменив базисы в модулях образующих и соотношений (рисунок), мы получим диагональную «матрицу представления», эквивалентно, разложение на циклические слагаемые (слагаемые вида R/(a)) (именно эту диагонализуемость мы и доказали выше). Дальше, по китайской теореме об остатках, разлагаем циклические слагаемые на примарные циклические (слагаемые вида R/(p^n)).
Для модулей над многочленами от одной переменной эта теорема даёт нормальную форму линейного преобразования, для модулей над целыми числами (абелевых групп) — строение конечно порожденных абелевых групп [обе эти теоремы доказывались выше, кстати].
Или, иначе, если у нас есть целочисленная решетка и её подрешетка, то мы можем выбрать такой базис решётки и базис подрешетки, что вектора базиса подрешетки — целочисленные кратные векторов базиса решётки.
Дисковая модель Пуанкаре и модель полуплоскости (геометрии Лобачевского) получаются друг из друга вот таким вот поворотом сферы Римана.
Матрица, которая коммутирует с матрицами вида 1 + e_ij, i≠j (где e_ij — матрица, у которой единица на месте (i,j), а на остальных местах нули), скалярна. (Обратите внимание, что матрицы 1+ e_ij обратимы.)
(Коммутировать с 1 + e_ij) = (коммутировать с e_ij). Умножение на e_ij слева — перенос j-ой строки на i-ое место и зануление остальных строк; умножение на e_ij справа — перенос i-го столбца на j-ое место и зануление остальных столбцов. Посмотрев, что означает коммутирование с e_ij, получим, что все элементы на i-ой строке, кроме элемента стоящего не месте (i,i), нулевые; все элементы на j-ом столбце, кроме стоящих на месте (j,j) — нулевые, а элементы на местах (i,i) и (j,j) — совпадают (рисунок).
(Коммутировать с 1 + e_ij) = (коммутировать с e_ij). Умножение на e_ij слева — перенос j-ой строки на i-ое место и зануление остальных строк; умножение на e_ij справа — перенос i-го столбца на j-ое место и зануление остальных столбцов. Посмотрев, что означает коммутирование с e_ij, получим, что все элементы на i-ой строке, кроме элемента стоящего не месте (i,i), нулевые; все элементы на j-ом столбце, кроме стоящих на месте (j,j) — нулевые, а элементы на местах (i,i) и (j,j) — совпадают (рисунок).
>>1607
>Метрическая топология, топология Зарисского.
Ещё, можно добавить, что хаусдорфова метрическая топология и спектральная топология обладают общим свойством: замыкания точек = неприводимые замкнутые подмножества (то есть замкнутые подмножества, не представимые как объединение двух собственных замкнутых подмножеств). Это свойство (называемое «трезвостью» — sober) позволяет отождествить точки с неприводимыми замкнутыми подмножествами и восстановить «точечное пространство» по абстрактной «топологии без точек» (фреймы/локали, то есть решетка открытых множеств).
>Метрическая топология, топология Зарисского.
Ещё, можно добавить, что хаусдорфова метрическая топология и спектральная топология обладают общим свойством: замыкания точек = неприводимые замкнутые подмножества (то есть замкнутые подмножества, не представимые как объединение двух собственных замкнутых подмножеств). Это свойство (называемое «трезвостью» — sober) позволяет отождествить точки с неприводимыми замкнутыми подмножествами и восстановить «точечное пространство» по абстрактной «топологии без точек» (фреймы/локали, то есть решетка открытых множеств).
Фильтры и теорема Тихонова (произвольное произведение компактных пространств компактно).
Компактное пространство — пространство, в котором из любого покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Перейдя к дополнениям, получаем эквивалентное условие — если у какого-то множества замкнутых подмножеств конечные пересечения непустые, то и пересечение всех этих множеств непустое.
Теперь определим фильтры и их предельные точки. Фильтр — множество подмножеств, замкнутое относительно пересечения и перехода к надмножествам, а так же не содержащее пустого множества. Множество предельных точек фильтра — пересечение замыканий множеств фильтра.
Теперь совсем очевидна лемма: пространство компактно тогда и только тогда, когда у любого фильтра есть предельная точка. [Фильтр ~> множество замыканий множеств фильтра; множество замкнутых множеств с непустыми конечными пересечениями ~> фильтр, ими порожденный.]
Теперь определим порядок на фильтрах и сходимость фильтра. Фильтр A тоньше фильтра B, если в нём больше множеств (то есть B — подмножество A). Фильтр сходится к точке, если он тоньше фильтра окрестностей этой точки. Если пересечение любого множества из фильтра A с любым множеством из фильтра B непустое, то эти пересечения порождают фильтр. Этот фильтр тоньше и A, и B, можно называть его «пересечением фильтров» (или «объединением», это как посмотреть, ведь это фильтр, порожденный A и B).
Предельные точки фильтра — это точки, к которым сходятся более тонкие фильтры. Потому что точка лежит в пересечении замыканий тогда и только тогда, когда любая её окрестность пересекается с любым из пересекаемых множеств, поэтому мы можем взять пересечение фильтра окрестностей и исходного фильтра.
Каждый фильтр вкладывается в максимально тонкий фильтр [по лемме Цорна]. Поэтому пространство компактно тогда и только тогда, когда любой максимально тонкий фильтр сходится к какой-то точке.
Максимально тонкие фильтры называются ультрафильтрами. Они обладают и другим описанием: для любого подмножества эти фильтры содержат или его, или его дополнение. [Иначе, добавив это подмножество к фильтру, мы получили бы больший фильтр (грубо говоря).]
Теперь определим образ фильтра при непрерывном отображении — это множество подмножеств, прообразы которых принадлежат фильтру (это множество образует фильтр). Образы множеств фильтра принадлежат образу фильтра, так как прообраз образа X содержит X. Образ ультрафильтра — ультрафильтр. Это можно увидеть так: если X не принадлежит образу ультрафильтра, то образ дополнения прообраза X принадлежит образу ультрафильтра (и лежит в дополнении к X).
Теперь последний ингредиент: фильтр на произведении сходится к точке x тогда и только тогда, когда образы фильтра при координатных проекциях сходятся к образам точки x при координатных проекциях. Это простое следствие определения топологии произведения (она порождена прообразами открытых множеств слагаемых при координатных проекциях).
Теорема Тихонова доказана.
Компактное пространство — пространство, в котором из любого покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Перейдя к дополнениям, получаем эквивалентное условие — если у какого-то множества замкнутых подмножеств конечные пересечения непустые, то и пересечение всех этих множеств непустое.
Теперь определим фильтры и их предельные точки. Фильтр — множество подмножеств, замкнутое относительно пересечения и перехода к надмножествам, а так же не содержащее пустого множества. Множество предельных точек фильтра — пересечение замыканий множеств фильтра.
Теперь совсем очевидна лемма: пространство компактно тогда и только тогда, когда у любого фильтра есть предельная точка. [Фильтр ~> множество замыканий множеств фильтра; множество замкнутых множеств с непустыми конечными пересечениями ~> фильтр, ими порожденный.]
Теперь определим порядок на фильтрах и сходимость фильтра. Фильтр A тоньше фильтра B, если в нём больше множеств (то есть B — подмножество A). Фильтр сходится к точке, если он тоньше фильтра окрестностей этой точки. Если пересечение любого множества из фильтра A с любым множеством из фильтра B непустое, то эти пересечения порождают фильтр. Этот фильтр тоньше и A, и B, можно называть его «пересечением фильтров» (или «объединением», это как посмотреть, ведь это фильтр, порожденный A и B).
Предельные точки фильтра — это точки, к которым сходятся более тонкие фильтры. Потому что точка лежит в пересечении замыканий тогда и только тогда, когда любая её окрестность пересекается с любым из пересекаемых множеств, поэтому мы можем взять пересечение фильтра окрестностей и исходного фильтра.
Каждый фильтр вкладывается в максимально тонкий фильтр [по лемме Цорна]. Поэтому пространство компактно тогда и только тогда, когда любой максимально тонкий фильтр сходится к какой-то точке.
Максимально тонкие фильтры называются ультрафильтрами. Они обладают и другим описанием: для любого подмножества эти фильтры содержат или его, или его дополнение. [Иначе, добавив это подмножество к фильтру, мы получили бы больший фильтр (грубо говоря).]
Теперь определим образ фильтра при непрерывном отображении — это множество подмножеств, прообразы которых принадлежат фильтру (это множество образует фильтр). Образы множеств фильтра принадлежат образу фильтра, так как прообраз образа X содержит X. Образ ультрафильтра — ультрафильтр. Это можно увидеть так: если X не принадлежит образу ультрафильтра, то образ дополнения прообраза X принадлежит образу ультрафильтра (и лежит в дополнении к X).
Теперь последний ингредиент: фильтр на произведении сходится к точке x тогда и только тогда, когда образы фильтра при координатных проекциях сходятся к образам точки x при координатных проекциях. Это простое следствие определения топологии произведения (она порождена прообразами открытых множеств слагаемых при координатных проекциях).
Теорема Тихонова доказана.
>>1707
>Теперь определим образ фильтра при непрерывном отображении — это множество подмножеств, прообразы которых принадлежат фильтру (это множество образует фильтр).
Приятнее так: образ фильтра — фильтр, порожденный образами (множеств фильтра).
>Теперь определим образ фильтра при непрерывном отображении — это множество подмножеств, прообразы которых принадлежат фильтру (это множество образует фильтр).
Приятнее так: образ фильтра — фильтр, порожденный образами (множеств фильтра).
>>1707
>Образ ультрафильтра — ультрафильтр. Это можно увидеть так: если X не принадлежит образу ультрафильтра, то образ дополнения прообраза X принадлежит образу ультрафильтра (и лежит в дополнении к X).
Совсем просто: если S —> T, разбиение T на два куска индуцирует разбиение S на два куска (прообразы), один из которых содержится в исходном фильтре, значит, соответствующий кусок T содержится в образе фильтра.
>Теперь определим образ фильтра при непрерывном отображении
Непрерывность не нужна.
>Образ ультрафильтра — ультрафильтр. Это можно увидеть так: если X не принадлежит образу ультрафильтра, то образ дополнения прообраза X принадлежит образу ультрафильтра (и лежит в дополнении к X).
Совсем просто: если S —> T, разбиение T на два куска индуцирует разбиение S на два куска (прообразы), один из которых содержится в исходном фильтре, значит, соответствующий кусок T содержится в образе фильтра.
>Теперь определим образ фильтра при непрерывном отображении
Непрерывность не нужна.
Ещё вот что обнаружил:
https://ncatlab.org/nlab/show/closed-projection+characterization+of+compactness
Пожалуй, так лучше.
В доказательстве характеризации, мы берем, «пополняем» пространство X формально присоединённой точкой — «пределом» семейства замкнутых множеств и объявляем их её открытыми окрестностями. Рассматриваем проекцию замыкания диагонали X. Образ содержит X и замкнут по предположению, новая точка не изолированная (пересечение конечного числа замкнутых множеств семейства непустое), поэтому так же содержится в образе. Значит, существует соответствующая ей точка X, такая точка, что любая её окрестность пересекается с любой окрестностью новой точки => с множествами семейства [это эквивалентно тому, что все окрестности пары пересекают диагональ]. Значит, она содержится во всех множествах семейства, так как они замкнуты.
Топология X для «пополненного» X не играет никакой роли — можно сначала дискретизировать X, а потом добавить новую точку (как они делают), но я не понимаю зачем.
Это хорошо, потому что:
1. Доказательство простое и естественное.
2. Компактность произведения, причём и конечного, и произвольного, получается очень легко.
3. Так же а алгебраической геометрии определяется абстрактный аналог проективности многообразия — «полнота», “complete variety”.
https://ncatlab.org/nlab/show/closed-projection+characterization+of+compactness
Пожалуй, так лучше.
В доказательстве характеризации, мы берем, «пополняем» пространство X формально присоединённой точкой — «пределом» семейства замкнутых множеств и объявляем их её открытыми окрестностями. Рассматриваем проекцию замыкания диагонали X. Образ содержит X и замкнут по предположению, новая точка не изолированная (пересечение конечного числа замкнутых множеств семейства непустое), поэтому так же содержится в образе. Значит, существует соответствующая ей точка X, такая точка, что любая её окрестность пересекается с любой окрестностью новой точки => с множествами семейства [это эквивалентно тому, что все окрестности пары пересекают диагональ]. Значит, она содержится во всех множествах семейства, так как они замкнуты.
Топология X для «пополненного» X не играет никакой роли — можно сначала дискретизировать X, а потом добавить новую точку (как они делают), но я не понимаю зачем.
Это хорошо, потому что:
1. Доказательство простое и естественное.
2. Компактность произведения, причём и конечного, и произвольного, получается очень легко.
3. Так же а алгебраической геометрии определяется абстрактный аналог проективности многообразия — «полнота», “complete variety”.
>>1710
>Компактность произведения, причём и конечного, и произвольного, получается очень легко.
Хотя, что-то я не очень понимаю, как они доказывают компактность произвольного произведения. Пусть пока будет открытым.
>Компактность произведения, причём и конечного, и произвольного, получается очень легко.
Хотя, что-то я не очень понимаю, как они доказывают компактность произвольного произведения. Пусть пока будет открытым.
>>1711
Посмотрел на статью, на которую они ссылаются и вроде понял. Берем произведение, индексированное ординалами и доказываем трансфинитной индукцией. Рассматриваем замкнутое подмножество в этом произведении и берем замыкания образов этого множества (при проекциях на подпроизведения, индексированные меньшими ординалами). Они отображатся друг в друга (образ замыкания всегда лежит в замыкании образа). Обозначим эти замыкания произведениями со штрихом. Нам нужно доказать, что полное сквозное отображение в Y’ сюръективно. Возьмём произвольную точку из Y’ и будем шаг за шагом её поднимать. Когда дойдем до предельного ординала, делаем вот что. Мы уже получили точку в произведении, соответствующем этому предельному ординалу, осталось доказать, что она лежит в произведении со штрихом. А это следует из этой леммы, что нам достаточно доказать, что образ её проекции на кажое конечноиндексированное подпроизведение лежит в замыкании образа + того, что любое конечноиндексированное подпроизведение лежит в подпроизведении, индексированном строго меньшим ординалом, чем рассматриваемый предельный + того, что образ замыкания лежит в замыкании образа.
Посмотрел на статью, на которую они ссылаются и вроде понял. Берем произведение, индексированное ординалами и доказываем трансфинитной индукцией. Рассматриваем замкнутое подмножество в этом произведении и берем замыкания образов этого множества (при проекциях на подпроизведения, индексированные меньшими ординалами). Они отображатся друг в друга (образ замыкания всегда лежит в замыкании образа). Обозначим эти замыкания произведениями со штрихом. Нам нужно доказать, что полное сквозное отображение в Y’ сюръективно. Возьмём произвольную точку из Y’ и будем шаг за шагом её поднимать. Когда дойдем до предельного ординала, делаем вот что. Мы уже получили точку в произведении, соответствующем этому предельному ординалу, осталось доказать, что она лежит в произведении со штрихом. А это следует из этой леммы, что нам достаточно доказать, что образ её проекции на кажое конечноиндексированное подпроизведение лежит в замыкании образа + того, что любое конечноиндексированное подпроизведение лежит в подпроизведении, индексированном строго меньшим ординалом, чем рассматриваемый предельный + того, что образ замыкания лежит в замыкании образа.
>>1712
Было бы полезно увидеть полностью корректное доказательство этого с точки зрения теории множеств. Просто тут мы явно ссылаемся на какие-то вещи. Это как когда мы доказываем, что в бесконечном множестве есть счётное подмножество (а не только сколь угодно большие конечные подмножества), мы используем аксиому выбора.
Было бы полезно увидеть полностью корректное доказательство этого с точки зрения теории множеств. Просто тут мы явно ссылаемся на какие-то вещи. Это как когда мы доказываем, что в бесконечном множестве есть счётное подмножество (а не только сколь угодно большие конечные подмножества), мы используем аксиому выбора.
>>1707
> Перейдя к дополнениям, получаем эквивалентное условие — если у какого-то множества замкнутых подмножеств конечные пересечения непустые, то и пересечение всех этих множеств непустое.
Внезапно, такое определение куда проще понять, чем определение с открытыми множествам.
Я до сих пор не могу представить, как покрыть квадрат конечным количеством открытых шаров.
> Перейдя к дополнениям, получаем эквивалентное условие — если у какого-то множества замкнутых подмножеств конечные пересечения непустые, то и пересечение всех этих множеств непустое.
Внезапно, такое определение куда проще понять, чем определение с открытыми множествам.
Я до сих пор не могу представить, как покрыть квадрат конечным количеством открытых шаров.
>>1714
>Внезапно, такое определение куда проще понять, чем определение с открытыми множествам.
Может быть, это как вложенные отрезки.
>Я до сих пор не могу представить, как покрыть квадрат конечным количеством открытых шаров.
Чё? Для замкнутого квадрата открытые шары, полностью находящиеся внутри него, покрытия не образуют (граничные точки так не покрыть). А если не полностью находящиеся внутри, то квадрат очевидно покрывается. Если квадрат без границы, то он и не компактен. Так что не очень понял.
>Внезапно, такое определение куда проще понять, чем определение с открытыми множествам.
Может быть, это как вложенные отрезки.
>Я до сих пор не могу представить, как покрыть квадрат конечным количеством открытых шаров.
Чё? Для замкнутого квадрата открытые шары, полностью находящиеся внутри него, покрытия не образуют (граничные точки так не покрыть). А если не полностью находящиеся внутри, то квадрат очевидно покрывается. Если квадрат без границы, то он и не компактен. Так что не очень понял.
>>1714
Хотя, у квадрата есть трудности и с бесконечным покрытием...
Ладно, другой пример. Пусть у нас есть круг. Мы покрываем открытыми кругами же, причём каждый круг касается границы не более чем в одной точке. Вопрос: как иэ этого выделить конечное подпокрытие?
Хотя, у квадрата есть трудности и с бесконечным покрытием...
Ладно, другой пример. Пусть у нас есть круг. Мы покрываем открытыми кругами же, причём каждый круг касается границы не более чем в одной точке. Вопрос: как иэ этого выделить конечное подпокрытие?
Есть два стандартных подхода к склеиванию n-бубликов из 4n-угольников (пикрелейтед 1).
Так же, из многоугольников с разным количеством сторон можно склеивать одинаковые поверхности (пикрелейтед 2).
На (пикрелейтед 2) так же указана последовательность склейки — это применение доказательства с самого начала треда, которое представляет собой конкретный алгоритм.
Так же, из многоугольников с разным количеством сторон можно склеивать одинаковые поверхности (пикрелейтед 2).
На (пикрелейтед 2) так же указана последовательность склейки — это применение доказательства с самого начала треда, которое представляет собой конкретный алгоритм.
>>1718
Кстати, тор, получающийся из правильного шестиугольника — предельный случай для систолического неравенства:
https://en.wikipedia.org/wiki/Loewner's_torus_inequality
Кстати, тор, получающийся из правильного шестиугольника — предельный случай для систолического неравенства:
https://en.wikipedia.org/wiki/Loewner's_torus_inequality
Разбиение Хегора.
Возьмём компактное трёхмерное многообразие и разрежем его на конечное число многогранников, гомеоморфных шару. Возьмём трубчатую окрестность соответствующего 1-скелета (рёбер многогранников). Она разрежет многообразие на два тела с ручками — окрестность скелета и окрестность двойственного склелета (расположенных типа пикрелейтед).
То есть любое компактное трёхмерное многообразие (без границы, ориентированное?) получается склеиванием двух заполненных тел с n дырками гомеоморфизмом их поверхностей.
Возьмём компактное трёхмерное многообразие и разрежем его на конечное число многогранников, гомеоморфных шару. Возьмём трубчатую окрестность соответствующего 1-скелета (рёбер многогранников). Она разрежет многообразие на два тела с ручками — окрестность скелета и окрестность двойственного склелета (расположенных типа пикрелейтед).
То есть любое компактное трёхмерное многообразие (без границы, ориентированное?) получается склеиванием двух заполненных тел с n дырками гомеоморфизмом их поверхностей.
Собственные идеалы в произведении полей соответствуют фильтрам на множестве индексов, а не подмножествам. (Каждой «функции» — элементу произведения — сопоставляется множество индексов, где она зануляется. Функции из идеала можно умножать на что угодно; умножив функцию на обратимую функцию, отнормируем её ненулевые значения в единичные. Получится характеристическая функция. Так как умножили на обратимую, такие функции всё равно будет порождать идеал. Замкнутости идеала относительно перехода к кратным соответствует замкнутость фильтра относительно перехода к надмножествам (очевидно). Замкнутости идеала относительно взятия суммы соответствует замкнутость фильтра относительно пересечения (не совсем очевидно: если подмножеству X соответствует (характеристическая) функция f, а подмножеству Y — (характеристическая) функция g, то чтобы получить хар. функцию пересечения X и Y, нужно сначала занулить значения f на точках (индексах), на которых и f, и g принимают значение 1 и только потом сложить f и g)). Соответствие согласовано с порядком, поэтому максимальным идеалам сопоставляются ультрафильтры. То есть соответствующее пространство — не множество индексов, а его компактификация Стоуна-Чеха (как дискретного пространства). (Для конечного множества точки=ультрафильтры, так что это одно и то же.) Факторизация по ультрафильтрам, соответствующим точкам — значения в точках (как обычно), а факторизация по другим ультрафильтрам (например, ультрафильтру, содержащему подмножества с конечным дополнением) — ультрапроизведение полей (?).
Кстати, вот пришло в голову: а что, если совсем начинающим рассказывать, что произведение (разных) полей — это пример пучка? Множество (индексов) — (дискретное) топологическое пространство. Это очень похоже на функции, но у них значения в разных точках в разных полях. По-моему очень элементарно и здорово.
>>1722
Хотя, не обязательно поля. Это может быть что угодно: кольца, множества...
Похоже что, вообще, пучок на дискретном пространстве — это произведение, индексированное его точками.
Хотя, не обязательно поля. Это может быть что угодно: кольца, множества...
Похоже что, вообще, пучок на дискретном пространстве — это произведение, индексированное его точками.
Просто оставлю здесь рисунок 1, из соотношений стейнберга. Кстати, позволяющий привести диагональную матрицу над полем к диагональному виду с одним элементом, не равным 1 или 0, и, тем самым, привести любую матрицу над полем к такому виду (с помощью элементарных трансвекций), и, тем самым, увидеть, что у GL(n) над R две связные компоненты, а над C — одна (то есть все так же, как у их мультипликативных групп).
На рисунке 2 (обозначения из >>1700 )
результаты преобразований (умножения слева и справа на обратимые матрицы), с помощью которых диагональная матрица над областью главных идеалов приводится к диагональному виду, в котором элементы возрастают в плане делимости («инвариантные факторы»). Инвариантность (единственность), кстати, следует из того, что эти числа инвариантно описываются как соответствующие (главным) идеалам, порожденным минорами заданного размера (наименьшее в плане делимости — соотв. идеалу, порожденному минорами 1 на 1, следующее — идеалу, порождённому минорами 2 на 2 и т.д.). При умножении на матрицу, миноры n на n заменяются линейными комбинациями миноров n на n (обратимым образом, если матрица обратима) — поэтому это инвариантное описание.
На рисунке 2 (обозначения из >>1700 )
результаты преобразований (умножения слева и справа на обратимые матрицы), с помощью которых диагональная матрица над областью главных идеалов приводится к диагональному виду, в котором элементы возрастают в плане делимости («инвариантные факторы»). Инвариантность (единственность), кстати, следует из того, что эти числа инвариантно описываются как соответствующие (главным) идеалам, порожденным минорами заданного размера (наименьшее в плане делимости — соотв. идеалу, порожденному минорами 1 на 1, следующее — идеалу, порождённому минорами 2 на 2 и т.д.). При умножении на матрицу, миноры n на n заменяются линейными комбинациями миноров n на n (обратимым образом, если матрица обратима) — поэтому это инвариантное описание.
>>1724
>(наименьшее в плане делимости — соотв. идеалу, порожденному минорами 1 на 1, следующее — идеалу, порождённому минорами 2 на 2 и т.д.)
Не совсем. Для матрицы diag(a,b,c,...,d) (где a | b | c | ... | d) соответствующие идеалы — (a), (ab), (abc), ..., (abc...d). Но, так как мы в области главных идеалов, a, b, c, ..., d восстанавливаются.
Звёздочки на рисунке 2 — кратные b.
>(наименьшее в плане делимости — соотв. идеалу, порожденному минорами 1 на 1, следующее — идеалу, порождённому минорами 2 на 2 и т.д.)
Не совсем. Для матрицы diag(a,b,c,...,d) (где a | b | c | ... | d) соответствующие идеалы — (a), (ab), (abc), ..., (abc...d). Но, так как мы в области главных идеалов, a, b, c, ..., d восстанавливаются.
Звёздочки на рисунке 2 — кратные b.
>>1724
>рисунок 1
В некотором роде тут участвуют все преобразования с >>1319 (t_ij(ε) — «сдвиг», w_ij(1) — вращение (на 90 градусов), h_ij(ε) — растяжение). Сами соотношения стейнберга — «аддитивное», «коммутационное» и «мультипликативное» — тоже символизируют.
Кстати, во второй части книги Манина «Введение в теорию схем и квантовые группы» обнаружил подтверждение тезиса >>1406 .
>рисунок 1
В некотором роде тут участвуют все преобразования с >>1319 (t_ij(ε) — «сдвиг», w_ij(1) — вращение (на 90 градусов), h_ij(ε) — растяжение). Сами соотношения стейнберга — «аддитивное», «коммутационное» и «мультипликативное» — тоже символизируют.
Кстати, во второй части книги Манина «Введение в теорию схем и квантовые группы» обнаружил подтверждение тезиса >>1406 .
До меня только что дошло, почему метод Гаусса даёт разложение Брюа.
Метод Гаусса — это вот что: мы берем произвольную матрицу из GL; в первом столбце находим первый сверху ненулевой элемент; вычитая кратные этой строки из нижних строк, зануляем все остальные элементы первого столбца; как бы вычёркиваем нашу строку и первый столбец и продолжаем по индукции то же самое с оставшейся подматрицей. Потом, переставив строки, получаем верхнетреугольную матрицу.
Таким образом мы получаем разложение, изображённое в первой строке рисунка (π и ρ обозначают матрицы каких-то перестановок). Но, если перенести всё в одну сторону, мы (на первый взгляд) не получим разложения Брюа (вторая строка), так как левая матрица будет не верхнетреугольной, а нижнетреугольной!
Так вот, это абсолютно не важно.
Потому что:
1. Мы можем слева (или справа) домножать равенство (разложение Брюа) на матрицу перестановки. Общность «в правой стороне равенства произвольная матрица из GL» не изменится, так как умножение на матрицу перестановки — биекция GL.
2. В разложении Брюа (AρB) мы можем домножать левую матрицу (A) на перестановку справа, а правую матрицу (B) — на перестановку слева, так как это поглотится матрицой перестановки (ρ).
Поэтому нам плевать, верхнетреугольные там матрицы или нижнетреугольные — умножение на перестановки слева и справа (на перестановки, отражающие матрицу по горизонтали и вертикали) переводит их друг в друга.
Метод Гаусса — это вот что: мы берем произвольную матрицу из GL; в первом столбце находим первый сверху ненулевой элемент; вычитая кратные этой строки из нижних строк, зануляем все остальные элементы первого столбца; как бы вычёркиваем нашу строку и первый столбец и продолжаем по индукции то же самое с оставшейся подматрицей. Потом, переставив строки, получаем верхнетреугольную матрицу.
Таким образом мы получаем разложение, изображённое в первой строке рисунка (π и ρ обозначают матрицы каких-то перестановок). Но, если перенести всё в одну сторону, мы (на первый взгляд) не получим разложения Брюа (вторая строка), так как левая матрица будет не верхнетреугольной, а нижнетреугольной!
Так вот, это абсолютно не важно.
Потому что:
1. Мы можем слева (или справа) домножать равенство (разложение Брюа) на матрицу перестановки. Общность «в правой стороне равенства произвольная матрица из GL» не изменится, так как умножение на матрицу перестановки — биекция GL.
2. В разложении Брюа (AρB) мы можем домножать левую матрицу (A) на перестановку справа, а правую матрицу (B) — на перестановку слева, так как это поглотится матрицой перестановки (ρ).
Поэтому нам плевать, верхнетреугольные там матрицы или нижнетреугольные — умножение на перестановки слева и справа (на перестановки, отражающие матрицу по горизонтали и вертикали) переводит их друг в друга.
>>1471
Вывод варианта тождества с вынесенным сопряжением — пикрелейтед (дальше как раньше).
Для полноты ещё:
a[a,bc] = a^(bc) = (a^b)^c = (a[a,b])^c = a^c [a,b]^c = a[a,c][a,b]^c => [a,bc] = [a,c][a,b]^c
ab[ab,c] = (ab)^c = a^c b^c = a[a,c]b[b,c] = ab [a,c]^b [b,c] => [ab,c] = [a,c]^b [b,c].
Ну и:
abc[c,ab]=cab — тоже циклическая перестановка, поэтому тут тоже получается тождество типа Якоби.
Вывод варианта тождества с вынесенным сопряжением — пикрелейтед (дальше как раньше).
Для полноты ещё:
a[a,bc] = a^(bc) = (a^b)^c = (a[a,b])^c = a^c [a,b]^c = a[a,c][a,b]^c => [a,bc] = [a,c][a,b]^c
ab[ab,c] = (ab)^c = a^c b^c = a[a,c]b[b,c] = ab [a,c]^b [b,c] => [ab,c] = [a,c]^b [b,c].
Ну и:
abc[c,ab]=cab — тоже циклическая перестановка, поэтому тут тоже получается тождество типа Якоби.
>>1729
Полная (и лучшая) текстовая версия:
Тождества с сопряжением и мультипликативными коммутаторами.
Для сокращения будем обозначать x^(-1) как x’.
Определения:
a^b = b’ab
[a,b] = a’b’ab
Мы используем «правонормированные» коммутаторы. В тождествах с «левонормированными» коммутаторами надо использовать сопряжение слева, а не справа (что трудно записать в компьютерном тексте), а так же группировать кратные коммутаторы влево: [[ , ], ], а не вправо: [ ,[ , ]].
Эквивалентная характеризация:
ab = b(a^b)
a[a,b] = a^b
ba[a,b]=ab
Тождества типа ассоциативности (действие на себе):
a(bc) = (bc)a^(bc)
(ab)c = b(a^b)c = bc((a^b)^c)
=> a^(bc) = (a^b)^c
(ab)c = c(ab)^c
a(bc) = ac(b^c) = c(a^c)(b^c)
=> (ab)^c = (a^c)(b^c)
[a,b]’=[b,a] (кососимметричность)
[a,b]^g = [a^g,b^g] (функториальность)
a[a,bc] = a^(bc) = (a^b)^c = (a[a,b])^c = a^c [a,b]^c = a[a,c][a,b]^c => [a,bc] = [a,c][a,b]^c (дистрибутивность)
Обращением получаем: [bc,a] = [b,a]^c [c,a].
Подставив в первое b=c’, получаем: [c,a]=[a,c’]^c.
Лёгкое тождество Якоби:
a(bc)[bc,a] = (bc)a
(циклическая перестановка a -> b -> c).
Поэтому: abc[bc,a][ca,b][ab,c]=abc => [bc,a][ca,b][ab,c]=1.
Тяжёлые тождества Якоби (тождества Холла и Холла-Витта):
(a^b)[a^b,[b,c]] = (a^b)^[b,c] = a^(b[b,c]) = a^(b^c)
[ ] := [a^b,[b,c]] = [a^b,[c,b’]^b] = [a,[c,b’]]^b
bc(a^b)[ ] = bc(a^(b^c)) = c(b^c)(a^(b^c)) = ca(b^c)
(циклическая подстановка a -> b -> c)
Поэтому:
[a^b,[b,c]] [b^c,[c,a]] [c^a,[a,b]] = 1 (тождество Холла)
[a,[c,b’]]^b [b,[a,c’]]^c [c,[b,a’]]^a = 1 (тождество Холла-Витта).
Полная (и лучшая) текстовая версия:
Тождества с сопряжением и мультипликативными коммутаторами.
Для сокращения будем обозначать x^(-1) как x’.
Определения:
a^b = b’ab
[a,b] = a’b’ab
Мы используем «правонормированные» коммутаторы. В тождествах с «левонормированными» коммутаторами надо использовать сопряжение слева, а не справа (что трудно записать в компьютерном тексте), а так же группировать кратные коммутаторы влево: [[ , ], ], а не вправо: [ ,[ , ]].
Эквивалентная характеризация:
ab = b(a^b)
a[a,b] = a^b
ba[a,b]=ab
Тождества типа ассоциативности (действие на себе):
a(bc) = (bc)a^(bc)
(ab)c = b(a^b)c = bc((a^b)^c)
=> a^(bc) = (a^b)^c
(ab)c = c(ab)^c
a(bc) = ac(b^c) = c(a^c)(b^c)
=> (ab)^c = (a^c)(b^c)
[a,b]’=[b,a] (кососимметричность)
[a,b]^g = [a^g,b^g] (функториальность)
a[a,bc] = a^(bc) = (a^b)^c = (a[a,b])^c = a^c [a,b]^c = a[a,c][a,b]^c => [a,bc] = [a,c][a,b]^c (дистрибутивность)
Обращением получаем: [bc,a] = [b,a]^c [c,a].
Подставив в первое b=c’, получаем: [c,a]=[a,c’]^c.
Лёгкое тождество Якоби:
a(bc)[bc,a] = (bc)a
(циклическая перестановка a -> b -> c).
Поэтому: abc[bc,a][ca,b][ab,c]=abc => [bc,a][ca,b][ab,c]=1.
Тяжёлые тождества Якоби (тождества Холла и Холла-Витта):
(a^b)[a^b,[b,c]] = (a^b)^[b,c] = a^(b[b,c]) = a^(b^c)
[ ] := [a^b,[b,c]] = [a^b,[c,b’]^b] = [a,[c,b’]]^b
bc(a^b)[ ] = bc(a^(b^c)) = c(b^c)(a^(b^c)) = ca(b^c)
(циклическая подстановка a -> b -> c)
Поэтому:
[a^b,[b,c]] [b^c,[c,a]] [c^a,[a,b]] = 1 (тождество Холла)
[a,[c,b’]]^b [b,[a,c’]]^c [c,[b,a’]]^a = 1 (тождество Холла-Витта).
бац-цаб
Произведение мнимых кватернионов = векторное произведение - скалярное произведение.
Запишем условие ассоциативности произведения трёх мнимых кватернионов a,b,c:
(ab)c = ([a,b]-(a,b))c = [[a,b],c] - ([a,b],c) - (a,b)c
a(bc) = [a,[b,c]] - (a,[b,c]) - a(b,c)
([a,b],c) = (a,[b,c]) — смешанное произведение.
Поэтому
[[a,b],c] - (a,b)c = [a,[b,c]] - a(b,c),
то есть
[[a,b],c] - [a,[b,c]] = (a,b)c - a(b,c).
[a,[b,c]] = [b,[a,c]]-[c,[a,b]] (бац-цаб) = [[c,a],b] - [c,[a,b]] = (c,a)b - c(a,b) = b(a,c) - c(a,b) (бац-цаб).
Произведение мнимых кватернионов = векторное произведение - скалярное произведение.
Запишем условие ассоциативности произведения трёх мнимых кватернионов a,b,c:
(ab)c = ([a,b]-(a,b))c = [[a,b],c] - ([a,b],c) - (a,b)c
a(bc) = [a,[b,c]] - (a,[b,c]) - a(b,c)
([a,b],c) = (a,[b,c]) — смешанное произведение.
Поэтому
[[a,b],c] - (a,b)c = [a,[b,c]] - a(b,c),
то есть
[[a,b],c] - [a,[b,c]] = (a,b)c - a(b,c).
[a,[b,c]] = [b,[a,c]]-[c,[a,b]] (бац-цаб) = [[c,a],b] - [c,[a,b]] = (c,a)b - c(a,b) = b(a,c) - c(a,b) (бац-цаб).
>>1735
Ещё один способ проверить, что [a,[b,c]] = b(a,c) - c(a,b).
Выражения справа и слева полилинейны, так что достаточно проверить их на базисе.
Возьмём ортонормальный базис {α,β,γ}.
Выражения слева и справа меняют знак при перестановке b <—> c, а так же зануляются, если a=α, b=β, c=γ, так что достаточно проверить случай a=b=α, c=β.
[α,[α,β]] = [α,-γ] = [γ,α] = -β (базисные вектора умножаются как кватернионные единицы)
α(α,β) - β(α,α) = -β.
Ещё один способ проверить, что [a,[b,c]] = b(a,c) - c(a,b).
Выражения справа и слева полилинейны, так что достаточно проверить их на базисе.
Возьмём ортонормальный базис {α,β,γ}.
Выражения слева и справа меняют знак при перестановке b <—> c, а так же зануляются, если a=α, b=β, c=γ, так что достаточно проверить случай a=b=α, c=β.
[α,[α,β]] = [α,-γ] = [γ,α] = -β (базисные вектора умножаются как кватернионные единицы)
α(α,β) - β(α,α) = -β.
Еще немного про векторное произведение.
Буду обозначать внешнее произведение x и y как x^y.
Возьмём трёхмерное пространство. Если мы выберем базис в старшей внешней степени (один базисный вектор v), то мы сможем пололинейно связать с тремя векторами a,b,c число α — a^b^c = αv. Или, иначе, сможем сопоставить двум векторам a,b ковектор, который сопоставляет вектору c скаляр α. Этот ковектор (которому можно сопоставить вектор, если у нас есть невырожденная билинейная форма) и называется «векторным произведением» a и b.
Так вот, векторное произведение есть на (трёхмерном) пространстве с выделенным базисом в старшей внешней степени (элементом объёма). Классически, когда мы фиксируем базис и меняем один базисный вектор на противоположный (или переставляем пару базисных векторов), знак векторного произведения меняется. Но дело тут не в том, что мы меняем базис, а в том, что мы связываем с каждым базисом элемент объёма — именно он меняется на противоположный, и, как следствие, меняется знак ковектора.
То есть утверждение, что векторное произведение является «псевдовектором», соответствует тому, что векторное произведение определено не просто на векторном пространстве / векторном пространстве с билинейной формой, а на векторном пространстве с формой объёма.
Буду обозначать внешнее произведение x и y как x^y.
Возьмём трёхмерное пространство. Если мы выберем базис в старшей внешней степени (один базисный вектор v), то мы сможем пололинейно связать с тремя векторами a,b,c число α — a^b^c = αv. Или, иначе, сможем сопоставить двум векторам a,b ковектор, который сопоставляет вектору c скаляр α. Этот ковектор (которому можно сопоставить вектор, если у нас есть невырожденная билинейная форма) и называется «векторным произведением» a и b.
Так вот, векторное произведение есть на (трёхмерном) пространстве с выделенным базисом в старшей внешней степени (элементом объёма). Классически, когда мы фиксируем базис и меняем один базисный вектор на противоположный (или переставляем пару базисных векторов), знак векторного произведения меняется. Но дело тут не в том, что мы меняем базис, а в том, что мы связываем с каждым базисом элемент объёма — именно он меняется на противоположный, и, как следствие, меняется знак ковектора.
То есть утверждение, что векторное произведение является «псевдовектором», соответствует тому, что векторное произведение определено не просто на векторном пространстве / векторном пространстве с билинейной формой, а на векторном пространстве с формой объёма.
>>1737
>когда мы фиксируем базис
>мы связываем с каждым базисом элемент объёма
Имеется в виду упорядоченный базис (в самом пространстве, конечно).
>когда мы фиксируем базис
>мы связываем с каждым базисом элемент объёма
Имеется в виду упорядоченный базис (в самом пространстве, конечно).
>>1727
По сути такое же расуждение — это классическое доказательство мультипликативности определителя.
По сути такое же расуждение — это классическое доказательство мультипликативности определителя.
Блин, кажется до меня дошло, что такое парадокс импликации. То есть, почему тут нет парадокса.
Обычно говорят: «Из верного утверждения следует верное утверждение. Поэтому из того, что арбузы зеленые, следует, что луна жёлтая — бред.»
Так вот, дело тут вот в чём. Мы берем какую-то «аксиоматическую систему» и рассматриваем все «модели» для неё — все возможные интерпретации. Мы называем утверждение верным, если оно верно во всех моделях, и неверным, если оно неверно во всех моделях. Ясно, что это крайние случаи — обычно утверждение иногда верно, иногда неверно, то есть его можно принять (или не принять) как независимую аксиому.
В стиле предыдущего абзаца, мы представляем, что у нас есть (хорошее) воображение, и мы представляем всевозможные миры. Мы говорим, что из А следует Б, если во всех мирах верность А сопровождается верностью Б, то есть (из А не следует Б) эквивалентно (мы можем представить мир, в котором А верно, а Б — неверно). Мы называем верными (относительно нашей аксиоматики, которая задает рассматриваемые нами «допустимые» миры) утверждениями утверждения, которые верны во всех мирах, а неверными — те которые неверны во всех мирах.
Вернемся к исходному примеру. Из того, что арбузы зеленые, не следует, что луна жёлтая, потому что мы можем представить мир, в котором арбузы зеленые, но луна не желтая. Но тогда (для такой аксиоматики, задающей наши допустимые миры), утверждение «луна жёлтая» неверно — мы можем представать мир, в котором это не так. С другой стороны, если мы ограничим наше воображение более жесткой аксиоматикой — так, чтобы мы могли представить только миры, в которых арбузы зеленые, а луна жёлтая — то тогда, для такой «аксиоматики», (арбузы зеленые => луна желтая).
То есть всегда есть фоновая аксиоматика, задающая допустимые миры и ограничиващая воображение.
Таким способом всё прекрасно, и я могу наконец-то попробовать изучить хоть что-то из матлогики.
Обычно говорят: «Из верного утверждения следует верное утверждение. Поэтому из того, что арбузы зеленые, следует, что луна жёлтая — бред.»
Так вот, дело тут вот в чём. Мы берем какую-то «аксиоматическую систему» и рассматриваем все «модели» для неё — все возможные интерпретации. Мы называем утверждение верным, если оно верно во всех моделях, и неверным, если оно неверно во всех моделях. Ясно, что это крайние случаи — обычно утверждение иногда верно, иногда неверно, то есть его можно принять (или не принять) как независимую аксиому.
В стиле предыдущего абзаца, мы представляем, что у нас есть (хорошее) воображение, и мы представляем всевозможные миры. Мы говорим, что из А следует Б, если во всех мирах верность А сопровождается верностью Б, то есть (из А не следует Б) эквивалентно (мы можем представить мир, в котором А верно, а Б — неверно). Мы называем верными (относительно нашей аксиоматики, которая задает рассматриваемые нами «допустимые» миры) утверждениями утверждения, которые верны во всех мирах, а неверными — те которые неверны во всех мирах.
Вернемся к исходному примеру. Из того, что арбузы зеленые, не следует, что луна жёлтая, потому что мы можем представить мир, в котором арбузы зеленые, но луна не желтая. Но тогда (для такой аксиоматики, задающей наши допустимые миры), утверждение «луна жёлтая» неверно — мы можем представать мир, в котором это не так. С другой стороны, если мы ограничим наше воображение более жесткой аксиоматикой — так, чтобы мы могли представить только миры, в которых арбузы зеленые, а луна жёлтая — то тогда, для такой «аксиоматики», (арбузы зеленые => луна желтая).
То есть всегда есть фоновая аксиоматика, задающая допустимые миры и ограничиващая воображение.
Таким способом всё прекрасно, и я могу наконец-то попробовать изучить хоть что-то из матлогики.
>>1743
Парадокса в любом случае нет, так как импликация это не вывод. Иначе говоря, A → B это не то же самое, что A ⊢ B.
Кстати, заодно зацени вот это: https://ru.wikisource.org/wiki/О_чём_Черепаха_говорила_Ахиллесу_(Кэрролл)
Парадокса в любом случае нет, так как импликация это не вывод. Иначе говоря, A → B это не то же самое, что A ⊢ B.
Кстати, заодно зацени вот это: https://ru.wikisource.org/wiki/О_чём_Черепаха_говорила_Ахиллесу_(Кэрролл)
>>1743
Кстати, твоё определение с мирами очень похоже на semantic consequence.
Кстати, твоё определение с мирами очень похоже на semantic consequence.
Существование базисов Грёбнера.
Возьмём линейный фундированный порядок на множестве нормированных одночленов от фиксированного конечного числа переменных, так, чтобы он был согласован с умножением (a > b => ca > cb, где a,b,c — любые нормированные одночлены). Например: 1 < x < y < x^2 < xy < y^2 < ... (упрядочение по полной степени, а внутри степени — лексикографически).
Возьмём идеал в кольце многочленов от конечного числа перменных над полем и назовём множество его образующих базисом Грёбнера, если для любого f из идеала существует представление f = qg + r, где g — какой-то элемент этого множества образующих, при этом (нормированный старший член r) < (нормированный старший член f), всё в смысле нашего порядка.
Чтобы доказать существование такого множества образующих, рассмотрим идеал, порожденный старшими членами многочленов идеала. По теореме >>1400 этот идеал конечно порожден, а это эквивалентно возможности выбрать из любого множества образующих конечное множество образующих,как упоминалось в
>>1607
>Конечнопорожденность эквивалентна тому, что из любого множества образующих можно выбрать конечное подмножество образующих (мы берем какое-то конечное множество образующих, выражаем его элементы через исходные образующие и берем те из исходных образующих, которые участвуют в этих выражениях) — аналогично компактности.
Поэтому мы можем выбрать конечное число многочленов исходного идеала так, чтобы старший член любого многочлена исходного идеала делился на старший член одного из них, а это как раз то, что нужно.
Возьмём линейный фундированный порядок на множестве нормированных одночленов от фиксированного конечного числа переменных, так, чтобы он был согласован с умножением (a > b => ca > cb, где a,b,c — любые нормированные одночлены). Например: 1 < x < y < x^2 < xy < y^2 < ... (упрядочение по полной степени, а внутри степени — лексикографически).
Возьмём идеал в кольце многочленов от конечного числа перменных над полем и назовём множество его образующих базисом Грёбнера, если для любого f из идеала существует представление f = qg + r, где g — какой-то элемент этого множества образующих, при этом (нормированный старший член r) < (нормированный старший член f), всё в смысле нашего порядка.
Чтобы доказать существование такого множества образующих, рассмотрим идеал, порожденный старшими членами многочленов идеала. По теореме >>1400 этот идеал конечно порожден, а это эквивалентно возможности выбрать из любого множества образующих конечное множество образующих,как упоминалось в
>>1607
>Конечнопорожденность эквивалентна тому, что из любого множества образующих можно выбрать конечное подмножество образующих (мы берем какое-то конечное множество образующих, выражаем его элементы через исходные образующие и берем те из исходных образующих, которые участвуют в этих выражениях) — аналогично компактности.
Поэтому мы можем выбрать конечное число многочленов исходного идеала так, чтобы старший член любого многочлена исходного идеала делился на старший член одного из них, а это как раз то, что нужно.
>>1750
Здесь ещё используется то, что если m = Σ h_i m_i, где m и все m_i — мономы (а h_i — произвольные многочены), то m является кратным какого-то из m_i (если мы раскроем произведения h_i m_i, то там где-то будет одночлен, с точностью до константы равный m).
Здесь ещё используется то, что если m = Σ h_i m_i, где m и все m_i — мономы (а h_i — произвольные многочены), то m является кратным какого-то из m_i (если мы раскроем произведения h_i m_i, то там где-то будет одночлен, с точностью до константы равный m).
Интересно, почему для образа и прообраза множества не используются (по крайней мере непопулярны) обозначения пикрелейтед (χ — характеристическая функция).
Алсо, бинарные отношения (и их композицию) надо иллюстрировать как пикрелейтед тут: ( >>1617 ).
Образ пересечения не обязан быть равен пересечению образов — это иллюстрация того, что гомоморфизм частично упорядоченных множеств не обязан быть гомоморфизмом решеток, и того, что левый сопряженный функтор не обязан сохранять пределы.
Алсо, бинарные отношения (и их композицию) надо иллюстрировать как пикрелейтед тут: ( >>1617 ).
Образ пересечения не обязан быть равен пересечению образов — это иллюстрация того, что гомоморфизм частично упорядоченных множеств не обязан быть гомоморфизмом решеток, и того, что левый сопряженный функтор не обязан сохранять пределы.
>>1685
Матрица дискретного преобразования Фурье — это матрица Вандермонда, вычисляющая значение многочлена в точке, а матрица умножения на многочлен (элемент K[x]/(x^n=1)) называется циркулянтом ( https://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix ).
Если x, y — два линейных отображения, и xyx=x, yxy=y, то ядро yx (которое является проектором, yxyx=yx) содержится в ядре x, поэтому, (так как оно, очевидно, содержит ядро x) оно равно ядру x. Аналогично, образ yx равен образу y, и, симметрично, всё то же выполняется с заменой x на y. Отсюда, кажется (?) (я надеюсь), очевидно, что x и y выглядят как пикрелейтед, то есть это композиции проекторов и изоморфизма подпространств. Если добавить условие ортогональности этих проекторов (xy и yx), то для любого x существует и единственный такой y, это «обратный Мура-Пенроуза»: https://en.wikipedia.org/wiki/Moore–Penrose_inverse
Матрица дискретного преобразования Фурье — это матрица Вандермонда, вычисляющая значение многочлена в точке, а матрица умножения на многочлен (элемент K[x]/(x^n=1)) называется циркулянтом ( https://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix ).
Если x, y — два линейных отображения, и xyx=x, yxy=y, то ядро yx (которое является проектором, yxyx=yx) содержится в ядре x, поэтому, (так как оно, очевидно, содержит ядро x) оно равно ядру x. Аналогично, образ yx равен образу y, и, симметрично, всё то же выполняется с заменой x на y. Отсюда, кажется (?) (я надеюсь), очевидно, что x и y выглядят как пикрелейтед, то есть это композиции проекторов и изоморфизма подпространств. Если добавить условие ортогональности этих проекторов (xy и yx), то для любого x существует и единственный такой y, это «обратный Мура-Пенроуза»: https://en.wikipedia.org/wiki/Moore–Penrose_inverse
>>1429
В таком же стиле можно проверить, что из ассоциативной алгебры, переходом к операции ab+ba, получается Йорданова алгебра:
Ассоциативность = (коммутирование эндоморфизмов левого и правого умножения a* и *b). Если ab=ba, то односторонние умножения (a*, b* и *a, *b) тоже коммутируют, значит, (a*+*a) и (b*+*b) тоже коммутируют.
В таком же стиле можно проверить, что из ассоциативной алгебры, переходом к операции ab+ba, получается Йорданова алгебра:
Ассоциативность = (коммутирование эндоморфизмов левого и правого умножения a* и *b). Если ab=ba, то односторонние умножения (a*, b* и *a, *b) тоже коммутируют, значит, (a*+*a) и (b*+*b) тоже коммутируют.
Похоже, что эти (стандартные?) матрицы, которые фигурируют в качестве «контрпримеров в положительной характеристике», все получаются из одного места.
Например, тут (рис. 1,2), вроде, берем алгебру K[t]/(t^p=1). Тогда x = t (ну, возьмём циклический сдвиг в другую сторону), y = t(d/dt). Тогда [t(d/dt),t] = [t,t]d/dt + t[d/dt,t] = t.
Или, например, тут (рис. 3), берется алгебра K[t]/(t^n=0), F = t, H = d/dt, [d/dt,t]=1, только, опять, там рассматривается действие на векторы-строки, поэтому и порядок обратный.
Например, тут (рис. 1,2), вроде, берем алгебру K[t]/(t^p=1). Тогда x = t (ну, возьмём циклический сдвиг в другую сторону), y = t(d/dt). Тогда [t(d/dt),t] = [t,t]d/dt + t[d/dt,t] = t.
Или, например, тут (рис. 3), берется алгебра K[t]/(t^n=0), F = t, H = d/dt, [d/dt,t]=1, только, опять, там рассматривается действие на векторы-строки, поэтому и порядок обратный.
>>1759
Соль тут в том, что если в K n=0, то d/dt, определяемое обычной формулой на базисе 1, t, t^2, ..., t^(n-1), является дифференцированием для алгебр K[t]/(t^n=1) и K[t]/(t^n=0). Даже, наверное, для K[t]/(t^n=α).
Соль тут в том, что если в K n=0, то d/dt, определяемое обычной формулой на базисе 1, t, t^2, ..., t^(n-1), является дифференцированием для алгебр K[t]/(t^n=1) и K[t]/(t^n=0). Даже, наверное, для K[t]/(t^n=α).
>>1761
Очевидно, что, если λ в центре кольца, а d — дифференцирование кольца, то λd — тоже дифференцирование. Поэтому x^m ∂/∂x — тоже дифференцирования. Более того, это базис в дифференцированиях, так как дифференцирование определяется образом x. Более, того, это, кажется, очевидно, обобщается на произвольные алгебры Витта ( https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Witt_algebra ), базис — (x_1)^(m_1)...(x_n)^(m_n) ∂/∂(x_i).
Очевидно, что, если λ в центре кольца, а d — дифференцирование кольца, то λd — тоже дифференцирование. Поэтому x^m ∂/∂x — тоже дифференцирования. Более того, это базис в дифференцированиях, так как дифференцирование определяется образом x. Более, того, это, кажется, очевидно, обобщается на произвольные алгебры Витта ( https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Witt_algebra ), базис — (x_1)^(m_1)...(x_n)^(m_n) ∂/∂(x_i).
>>1429
Ещё, условие, что d является дифференцированием кольца R, можно записать в виде [d,a*]=d(a)*, где a — любой элемент кольца R, a* — эндоморфизм умножения на a.
Например, [∂/∂x,x]=1 — очевидно.
Ещё, условие, что d является дифференцированием кольца R, можно записать в виде [d,a*]=d(a)*, где a — любой элемент кольца R, a* — эндоморфизм умножения на a.
Например, [∂/∂x,x]=1 — очевидно.
>>1704
>рисунок 1
Текстовая версия:
aa=bb=aba=bab=0
=> [1+a,1+b]_mult = 1+[a,b]_add
Proof:
(1+a)(1-a)=(1+b)(1-b)=1
(1+a)(1+b)(1-a)(1-b)=1+(ab-ba).
Из той же оперы:
aa=bb=0 => (1+a)(1+b)(1+ba) = 1+a+b+ab+ba+aba = (1+ab)(1+b)(1+a).
В качестве a и b можно взять, например, пикрелейтед.
>рисунок 1
Текстовая версия:
aa=bb=aba=bab=0
=> [1+a,1+b]_mult = 1+[a,b]_add
Proof:
(1+a)(1-a)=(1+b)(1-b)=1
(1+a)(1+b)(1-a)(1-b)=1+(ab-ba).
Из той же оперы:
aa=bb=0 => (1+a)(1+b)(1+ba) = 1+a+b+ab+ba+aba = (1+ab)(1+b)(1+a).
В качестве a и b можно взять, например, пикрелейтед.
>>1765
Возьмем произвольный обратимый элемент кольца и представим его в виде 1+αβ (очевидно, что это всегда возможно, например, взяв α=1). Так как (верхние и нижние) унитреугольные матрицы стабильны относительно сопряжения обратимыми диагональными матрицами (напрямую очевидно), мы можем «переставлять» их между собой.
В равенстве
>(1+a)(1+b)(1+ba) = (1+ab)(1+b)(1+a)
перенесем 2 диагональные матрицы в одну сторону, 4 унитреугольные — в другую, получим ещё одну формулу для растяжения diag(ε,ε^(-1)) — как произведение xyzw, где x,z — нижние унитреугольные, y,w — верхние унитреугольные.
Возьмем произвольный обратимый элемент кольца и представим его в виде 1+αβ (очевидно, что это всегда возможно, например, взяв α=1). Так как (верхние и нижние) унитреугольные матрицы стабильны относительно сопряжения обратимыми диагональными матрицами (напрямую очевидно), мы можем «переставлять» их между собой.
В равенстве
>(1+a)(1+b)(1+ba) = (1+ab)(1+b)(1+a)
перенесем 2 диагональные матрицы в одну сторону, 4 унитреугольные — в другую, получим ещё одну формулу для растяжения diag(ε,ε^(-1)) — как произведение xyzw, где x,z — нижние унитреугольные, y,w — верхние унитреугольные.
Возможно, буду/стоит записывать свои матфилософские порывы.
Что общего между объемом и метрикой? Алгебраически 2-форма и «внешняя» форма, ну, обе — формы. (И у того, и у другого есть «звездочка» — обычная дуальность у скалярного и «звёздочка Хожда» у объёма!) Но этого явно недостаточно, Классификация говорит, что это одно и то же!
Векторное произведение тоже связано с обоими.
Мера и метрическое пространство вообще выглядят непохоже (но оба связаны с топологией!) (и теорией категорий???!!!).
>>1730
>Тождества типа ассоциативности (действие на себе):
>a(bc) = (bc)a^(bc)
>(ab)c = b(a^b)c = bc((a^b)^c)
>=> a^(bc) = (a^b)^c
>(ab)c = c(ab)^c
>a(bc) = ac(b^c) = c(a^c)(b^c)
>=> (ab)^c = (a^c)(b^c)
Короче — протащить a через bc в abc можно сразу или по частям. Удивительно, что один и тот же принцип отвечает за 2 вещи:
1) Сопоставление g —> x^g — мультипликативный гомоморфизм.
2) Сопоставление x —> x^g — мультипликативный гомоморфизм.
Это ещё связано с ассоциативностью!
Ситуация параллельна ситуации в алгебрах Ли, где одно тождество (тождество Лейбница/Якоби) отвечает за ДВА факта:
1) Сопоставление a —> [a,x] — ли-гомоморфизм.
2) Сопоставление x —> [a,x] — ли-гомоморфизм.
Тождество Якоби тоже как бы ассоциативность.
Но ведь для групп есть ДВА других аналога тождества Якоби! Ситцация здесь в высшей степени запутанная философски.
Не говоря уже о том, что коммутативность — это тоже ассоциативность (a* коммутирует с *b) = ((a*)(b*)=(ab*)) = (ассоциативность).
____
Переход от умножения к коммутированию (xy-yx) или антикоммутированию (xy+yx) сохраняет абелевы градуировки и инволюции.
Если у нас есть две инволюции, то элементы, на которых они совпадают, образуют подалгебру.
Коммутативность алгебры эквивалентна тому, что тождественное отображение — инволюция, антикоммутативность алгебры эквивалентна тому, что минус — инволюция.
Поэтому (в ассоциативной алгебре с инволюцией) эрмитовы (не меняющиеся под действием инволюции) элементы образуют йорданову алгебру, а антиэрмитовы (минусущиеся под действием инволюции) элементы образуют алгебру ли.
Так получается запомнить, где минус, а где — плюс.
Что общего между объемом и метрикой? Алгебраически 2-форма и «внешняя» форма, ну, обе — формы. (И у того, и у другого есть «звездочка» — обычная дуальность у скалярного и «звёздочка Хожда» у объёма!) Но этого явно недостаточно, Классификация говорит, что это одно и то же!
Векторное произведение тоже связано с обоими.
Мера и метрическое пространство вообще выглядят непохоже (но оба связаны с топологией!) (и теорией категорий???!!!).
>>1730
>Тождества типа ассоциативности (действие на себе):
>a(bc) = (bc)a^(bc)
>(ab)c = b(a^b)c = bc((a^b)^c)
>=> a^(bc) = (a^b)^c
>(ab)c = c(ab)^c
>a(bc) = ac(b^c) = c(a^c)(b^c)
>=> (ab)^c = (a^c)(b^c)
Короче — протащить a через bc в abc можно сразу или по частям. Удивительно, что один и тот же принцип отвечает за 2 вещи:
1) Сопоставление g —> x^g — мультипликативный гомоморфизм.
2) Сопоставление x —> x^g — мультипликативный гомоморфизм.
Это ещё связано с ассоциативностью!
Ситуация параллельна ситуации в алгебрах Ли, где одно тождество (тождество Лейбница/Якоби) отвечает за ДВА факта:
1) Сопоставление a —> [a,x] — ли-гомоморфизм.
2) Сопоставление x —> [a,x] — ли-гомоморфизм.
Тождество Якоби тоже как бы ассоциативность.
Но ведь для групп есть ДВА других аналога тождества Якоби! Ситцация здесь в высшей степени запутанная философски.
Не говоря уже о том, что коммутативность — это тоже ассоциативность (a* коммутирует с *b) = ((a*)(b*)=(ab*)) = (ассоциативность).
____
Переход от умножения к коммутированию (xy-yx) или антикоммутированию (xy+yx) сохраняет абелевы градуировки и инволюции.
Если у нас есть две инволюции, то элементы, на которых они совпадают, образуют подалгебру.
Коммутативность алгебры эквивалентна тому, что тождественное отображение — инволюция, антикоммутативность алгебры эквивалентна тому, что минус — инволюция.
Поэтому (в ассоциативной алгебре с инволюцией) эрмитовы (не меняющиеся под действием инволюции) элементы образуют йорданову алгебру, а антиэрмитовы (минусущиеся под действием инволюции) элементы образуют алгебру ли.
Так получается запомнить, где минус, а где — плюс.
>>1636
Только есть какая-то «псевдотранспозиция», оператор Янга-Бакстера, который как косы. Не знаю, как это сюда впихнуть. Наверное, поэтому и не используют.
Но это τ (да и косы вообще) выглядит как-то уебищно. Вообще, гомотопии определены не инвариантно, там всегда есть что-то вроде выбора точки, что очень раздражает. Когда мы берем и рисуем на прямой точки, а потом рисуем косы и пишем aba=bab — это же бред. Крайние точки ничем не отличаются от точек посередине. Эта вещь, которая и в гомологиях присутствует, конечно, — вечное ощущение наёбки от неоднозначности выбора знака ±.
———————————————
Вообще, есть тонкое смутное ощущение, что категории (в очень широком смысле) — тесноватое ложе. Но я не могу даже представить, каким будет следующее понятие. Если совсем шизить, то, возможно, в тот момент когда это понятие появится, само понимание мышления перейдет на следующий уровень. Будет создано что-то вроде сильного ИИ.
••••••• сезон философской графомании объявляется открытым •••••••
Только есть какая-то «псевдотранспозиция», оператор Янга-Бакстера, который как косы. Не знаю, как это сюда впихнуть. Наверное, поэтому и не используют.
Но это τ (да и косы вообще) выглядит как-то уебищно. Вообще, гомотопии определены не инвариантно, там всегда есть что-то вроде выбора точки, что очень раздражает. Когда мы берем и рисуем на прямой точки, а потом рисуем косы и пишем aba=bab — это же бред. Крайние точки ничем не отличаются от точек посередине. Эта вещь, которая и в гомологиях присутствует, конечно, — вечное ощущение наёбки от неоднозначности выбора знака ±.
———————————————
Вообще, есть тонкое смутное ощущение, что категории (в очень широком смысле) — тесноватое ложе. Но я не могу даже представить, каким будет следующее понятие. Если совсем шизить, то, возможно, в тот момент когда это понятие появится, само понимание мышления перейдет на следующий уровень. Будет создано что-то вроде сильного ИИ.
••••••• сезон философской графомании объявляется открытым •••••••
Индукция — это доказательство, доказательство — это индукция.
Понять, что такое индукция, означает понять, что такое доказательство
>>1608
>(A×B → C) = (A → {B → C})
Стрелка тут еще и импликация (а произведение — союз и).
Понять, что такое индукция, означает понять, что такое доказательство
>>1608
>(A×B → C) = (A → {B → C})
Стрелка тут еще и импликация (а произведение — союз и).
Локальность открытости и замкнутости.
Допустим, у нас есть топологическое пространство и его открытое покрытие. Подмножество пространства открыто тогда и только тогда, когда его ограничения на все множества покрытия открыты (в индуцированной топологии). Это практически очевидно.
Переходя к дополнениям, получаем, что замкнутость подмножества тоже эквивалалентна замкнутости его ограничений на множества открытого покрытия (ограничение дополнения равно дополнению ограничения).
Допустим, у нас есть топологическое пространство и его открытое покрытие. Подмножество пространства открыто тогда и только тогда, когда его ограничения на все множества покрытия открыты (в индуцированной топологии). Это практически очевидно.
Переходя к дополнениям, получаем, что замкнутость подмножества тоже эквивалалентна замкнутости его ограничений на множества открытого покрытия (ограничение дополнения равно дополнению ограничения).
>>1756
Интересно, что этот «слабый обратный» соотносится с обычным обратным так же, как сопряженные функторы соотносятся с эквивалентностью категорий (fgf=f, gfg=g ...).
Интересно, что этот «слабый обратный» соотносится с обычным обратным так же, как сопряженные функторы соотносятся с эквивалентностью категорий (fgf=f, gfg=g ...).
Иллюстрация условий конечности (условий обрыва цепочек) для абелевых групп:
1) Бесконечно раздувая конечную группу Z/nZ, получаем группу Z, в которой есть бесконечно убывающие цепочки подгрупп.
2) Бесконечно измельчая конечную группу Z/nZ, получаем группу Z[1/n]/nZ, в которой есть бесконечно возрастающие цепочки подгрупп.
3) Сделав и то, и другое, получаем группу Z[1/n], в которой есть и бесконечно убывающие, и бесконечно возрастающие цепочки подгрупп.
1) Бесконечно раздувая конечную группу Z/nZ, получаем группу Z, в которой есть бесконечно убывающие цепочки подгрупп.
2) Бесконечно измельчая конечную группу Z/nZ, получаем группу Z[1/n]/nZ, в которой есть бесконечно возрастающие цепочки подгрупп.
3) Сделав и то, и другое, получаем группу Z[1/n], в которой есть и бесконечно убывающие, и бесконечно возрастающие цепочки подгрупп.
>>1604
>>1605
Пожалуй, тут следует добавить, что точной верхней гранью семейства отрезков является отрезок, левый конец которого — инфимум левых концов отрезков семейства, а правый — супремум правых концов. Лемма Цорна тут как бы ни к чему.
——————————
Локализация как обратная к факторизации и локализация, как обратная к пополнению.
Есть два «крайних случая» локализации кольца — локализация по элементу (степеням элемента) и локализация по простому идеалу (дополнению простого идеала). (Второй случай тоже «крайний», потому что насыщенное мультипликативное множество — дополнение объединения простых идеалов.)
Второй случай «противоположен факторизации», потому что простые идеалы («точки») локализации в простом идеале («точке») p, соответствуют простым идеалам исходного кольца, содержащимся в идеале p (то есть неприводимым подмногообразиям, содержащим неприводимое подмногообразие, соответствующее p). С факторизацией по p всё как раз наоборот. >>1656
Первый случай «противоположен пополнению», потому что он отвечает вырезанию подмногообразия, заданного уравнением f=0. Оно как бы «уходит на бесконечность», как в случае с гиперболой пикрелейтед, или как когда мы получаем аффинное пространство, вырезая гиперплоскость на бесконечности из проективного.
>>1605
Пожалуй, тут следует добавить, что точной верхней гранью семейства отрезков является отрезок, левый конец которого — инфимум левых концов отрезков семейства, а правый — супремум правых концов. Лемма Цорна тут как бы ни к чему.
——————————
Локализация как обратная к факторизации и локализация, как обратная к пополнению.
Есть два «крайних случая» локализации кольца — локализация по элементу (степеням элемента) и локализация по простому идеалу (дополнению простого идеала). (Второй случай тоже «крайний», потому что насыщенное мультипликативное множество — дополнение объединения простых идеалов.)
Второй случай «противоположен факторизации», потому что простые идеалы («точки») локализации в простом идеале («точке») p, соответствуют простым идеалам исходного кольца, содержащимся в идеале p (то есть неприводимым подмногообразиям, содержащим неприводимое подмногообразие, соответствующее p). С факторизацией по p всё как раз наоборот. >>1656
Первый случай «противоположен пополнению», потому что он отвечает вырезанию подмногообразия, заданного уравнением f=0. Оно как бы «уходит на бесконечность», как в случае с гиперболой пикрелейтед, или как когда мы получаем аффинное пространство, вырезая гиперплоскость на бесконечности из проективного.
>>1677
>рис. 1
Короче:
След (=2a) целый => знаменатель a равен 1 или 2.
Норма (=a^2+(b^2)d) целая => 4a^2+4(b^2)d целое <=> 4(b^2)d целое => знаменатель b равен 1 или 2 (так как d бесквадратное).
——————————
Инвариантная метрика на аффинной группе прямой (структура вещественных чисел) дает плоскость Лобачевского (в виде верхней полуплоскости: мультипликативные преобразования — вертикальная (полу)ось, аддитивные — горизонтальная ось.)
——————————
[x∂/∂x,x]=x, [x∂/∂x,∂/∂x]=-∂/∂x, совсем как [h,e]=2e, [h,f]=-2f в sl(2). Векторное поле x∂/∂x как бы отвечает экспоненте/логарифму, так же, как дифференциальная форма dx/x (определяющая «вычет»). [что бы это значило?]
>рис. 1
Короче:
След (=2a) целый => знаменатель a равен 1 или 2.
Норма (=a^2+(b^2)d) целая => 4a^2+4(b^2)d целое <=> 4(b^2)d целое => знаменатель b равен 1 или 2 (так как d бесквадратное).
——————————
Инвариантная метрика на аффинной группе прямой (структура вещественных чисел) дает плоскость Лобачевского (в виде верхней полуплоскости: мультипликативные преобразования — вертикальная (полу)ось, аддитивные — горизонтальная ось.)
——————————
[x∂/∂x,x]=x, [x∂/∂x,∂/∂x]=-∂/∂x, совсем как [h,e]=2e, [h,f]=-2f в sl(2). Векторное поле x∂/∂x как бы отвечает экспоненте/логарифму, так же, как дифференциальная форма dx/x (определяющая «вычет»). [что бы это значило?]
>>1782
Z, Q, Q/Z.
Z_p, Q_p, (Q_p)/(Z_p) (группа Прюфера, квазициклическая группа).
Z, R, R/Z.
Z и R/Z, Z_p и (Q_p)/(Z_p) — дуальные (Понтрягина). Интересно, что дискретная тут (Q_p)/(Z_p), а Z_p — компактная. Q_p и R самодуальны.
Z свободная, проективная; Q/Z делимая, инъективная.
(Q_p)/(Z_p) = Z[1/p]/Z = Z(p^infinity) — плотный кусочек Q/Z (Силовская p-подгруппа); Z — плотный кусочек Z_p.
Z_p = lim Z/(p^n)Z.
Z[1/p]/Z = colim Z/(p^n)Z.
Z_p = Aut(Z[1/p]/Z) (модуль Тейта).
>>1785
>(=a^2+(b^2)d)
(=a^2-(b^2)d)
>4a^2+4(b^2)d
4a^2-4(b^2)d
Z, Q, Q/Z.
Z_p, Q_p, (Q_p)/(Z_p) (группа Прюфера, квазициклическая группа).
Z, R, R/Z.
Z и R/Z, Z_p и (Q_p)/(Z_p) — дуальные (Понтрягина). Интересно, что дискретная тут (Q_p)/(Z_p), а Z_p — компактная. Q_p и R самодуальны.
Z свободная, проективная; Q/Z делимая, инъективная.
(Q_p)/(Z_p) = Z[1/p]/Z = Z(p^infinity) — плотный кусочек Q/Z (Силовская p-подгруппа); Z — плотный кусочек Z_p.
Z_p = lim Z/(p^n)Z.
Z[1/p]/Z = colim Z/(p^n)Z.
Z_p = Aut(Z[1/p]/Z) (модуль Тейта).
>>1785
>(=a^2+(b^2)d)
(=a^2-(b^2)d)
>4a^2+4(b^2)d
4a^2-4(b^2)d
>>1786
Можно добавить, что Z — генератор, а Q/Z — когенератор (в категории абелевых групп).
Можно добавить, что Z — генератор, а Q/Z — когенератор (в категории абелевых групп).
Это отличная идея, только начинать нужно с элементарного. Логики, риторики, элементарной финансовой да и экономической грамотности, социальной этики.
Нужно сначала вменить людям разницу между реальными вещами и выдуманными конструктами, вроде крайнеправолевых взглядов или патриотизма, благодаря которым их тарабанят в жопу не первое тысячелетие более умные гомосапинсы. Развивать критическое мышление, короче.
Нужно сначала вменить людям разницу между реальными вещами и выдуманными конструктами, вроде крайнеправолевых взглядов или патриотизма, благодаря которым их тарабанят в жопу не первое тысячелетие более умные гомосапинсы. Развивать критическое мышление, короче.
>>1314
Кстати, для такой суммы есть простая формула в терминах чисел Стилинга: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number
Биноминальные коэффициенты отвечают подобъектам (подмножествам), числа Стирлинга отвечают факторизациям (1 рода — факторизации по действию, 2 рода — факторизации как разбиению). (А 3 рода (числа Лаха), видимо, факторизации 1 рода с зафиксированным сечением (трансверсалью).)
>>1789
Можешь сам этим заняться, если хочешь.
Кстати, для такой суммы есть простая формула в терминах чисел Стилинга: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number
Биноминальные коэффициенты отвечают подобъектам (подмножествам), числа Стирлинга отвечают факторизациям (1 рода — факторизации по действию, 2 рода — факторизации как разбиению). (А 3 рода (числа Лаха), видимо, факторизации 1 рода с зафиксированным сечением (трансверсалью).)
>>1789
Можешь сам этим заняться, если хочешь.
>>1793
Из комбинаторных описаний легко получаются рекуррентные описания (рис. 1). Из рекуррентных описаний легко получаются алгебраические описания (рис. 2).
Из комбинаторных описаний легко получаются рекуррентные описания (рис. 1). Из рекуррентных описаний легко получаются алгебраические описания (рис. 2).
>>1799
То же самое с гауссовыми биноминальными коэффициентами (количество k-мерных линейных подпространств в n-мерном линейном пространстве над полем из q элементов). Проективно-аффинная редукция даёт рекуррентное соотношение.
То же самое с гауссовыми биноминальными коэффициентами (количество k-мерных линейных подпространств в n-мерном линейном пространстве над полем из q элементов). Проективно-аффинная редукция даёт рекуррентное соотношение.
>>1802
Опечатка во второй картинке.
Опечатка во второй картинке.
>>1786
Можно ещё добавить, что Br(Q_p)=Q/Z, где Br — группа Брауэра.
>>1799
Так же сюда следует добавить упоминание мультиномиальных коэффициентов и чисел, подсчитавающих мультимножества (пикрелейтед 1), которые я предлагаю называть мономиальными коэффициентами.
Возможно, чуть отдельно, числа Каталана (пикрелейтед 2).
..................................
Алгебры типа свободных, да и вообще, свободные конструкции, стоит рассказывать вместе, так как они очень похожи по духу и фактически.
(Имеются в виду: тензорная алгебра, внешняя алгебра, симметрическая алгебра, алгебра Клиффорда, алгебра Вейля, универсальная обёртывающая алгебра, групповая алгебра, а так же свободные алгебры Ли, свободные моноиды, и т.д.) Со многими из них, в характеристике 0, связано что-то вроде усреднения и т.д. Это комбинаторные вещи, по сути.
..................
Какая-то польза от полуколец: двухэлементная булева алгебра, которая как поле из 2 элементов, только 1+1=1 (да и вообще, любая дистрибутивная решетка), даёт полукольцо, что позволяет интерпретировать композицию отношений ( >>1617 ) как композицию матриц с коэффициентами в этом полукольце.
Можно ещё добавить, что Br(Q_p)=Q/Z, где Br — группа Брауэра.
>>1799
Так же сюда следует добавить упоминание мультиномиальных коэффициентов и чисел, подсчитавающих мультимножества (пикрелейтед 1), которые я предлагаю называть мономиальными коэффициентами.
Возможно, чуть отдельно, числа Каталана (пикрелейтед 2).
..................................
Алгебры типа свободных, да и вообще, свободные конструкции, стоит рассказывать вместе, так как они очень похожи по духу и фактически.
(Имеются в виду: тензорная алгебра, внешняя алгебра, симметрическая алгебра, алгебра Клиффорда, алгебра Вейля, универсальная обёртывающая алгебра, групповая алгебра, а так же свободные алгебры Ли, свободные моноиды, и т.д.) Со многими из них, в характеристике 0, связано что-то вроде усреднения и т.д. Это комбинаторные вещи, по сути.
..................
Какая-то польза от полуколец: двухэлементная булева алгебра, которая как поле из 2 элементов, только 1+1=1 (да и вообще, любая дистрибутивная решетка), даёт полукольцо, что позволяет интерпретировать композицию отношений ( >>1617 ) как композицию матриц с коэффициентами в этом полукольце.
>>1225
Те же тождества (пикрелейтед) позволяют связать с группой лупу Муфанг (a и b — произвольные элементы группы, мы добавляем элемент u).
Тождества Муфанг тесно связаны с альтернативностью (ассоциатора).
Те же тождества (пикрелейтед) позволяют связать с группой лупу Муфанг (a и b — произвольные элементы группы, мы добавляем элемент u).
Тождества Муфанг тесно связаны с альтернативностью (ассоциатора).
>>1806
Что-то не могу понять, что происходит с этими «лупами Муфанг», понимание только-только начинает зарождаться.
Наверное, вместо обращения можно использовать любую инволюцию. Мы добавляем инволюцию, так же, как, например, добавляем автоморфизм (в привычных конструкциях, вроде полупрямого произведения).
ug=g’u
Третье и четвёртое тождество можно интерпретировать как первое, только для эндоморфизмов левого или правого умножения.
Последнее — это ещё (ug)(hu)=u(gh)u.
Ладно, когда-нибудь разберусь.
Эта тема, кстати, прекрасно вписывается в идеологию «всё (в данном случае октонионы) можно проиллюстрировать на группах». Ещё, теорема [G:F]=[G:H][H:F] полностью аналогична соответствующей теореме для полей.
Само по себе наличие этих «луп Муфанг», «алгебр Мальцева» и т.д. показывает, что мы не понимаем алгебру, потому что такие вещи должны охватываться единой теорией с обычными вещами и быть очевидными.
Что-то не могу понять, что происходит с этими «лупами Муфанг», понимание только-только начинает зарождаться.
Наверное, вместо обращения можно использовать любую инволюцию. Мы добавляем инволюцию, так же, как, например, добавляем автоморфизм (в привычных конструкциях, вроде полупрямого произведения).
ug=g’u
Третье и четвёртое тождество можно интерпретировать как первое, только для эндоморфизмов левого или правого умножения.
Последнее — это ещё (ug)(hu)=u(gh)u.
Ладно, когда-нибудь разберусь.
Эта тема, кстати, прекрасно вписывается в идеологию «всё (в данном случае октонионы) можно проиллюстрировать на группах». Ещё, теорема [G:F]=[G:H][H:F] полностью аналогична соответствующей теореме для полей.
Само по себе наличие этих «луп Муфанг», «алгебр Мальцева» и т.д. показывает, что мы не понимаем алгебру, потому что такие вещи должны охватываться единой теорией с обычными вещами и быть очевидными.
>>1807
>Третье и четвёртое тождество можно интерпретировать как первое
То есть как второе.
>Последнее — это ещё (ug)(hu)=u(gh)u
Точнее, три последних тождества являются более-менее прямыми следствиями сответствующих тождеств Муфанг. (Точнее, не следствиями (формально), это ведь определения. Понятно, что имеется в виду универсальность.)
Действие — это гомоморфизм в эндоморфизмы.
При действии группы орбиты или не пересекаются, или совпадают (очевидно). Группа действует на себе 1) умножением слева 2) умножением справа (только это «правое действие», то есть гомоморфизм противоположной группы в эндоморфизмы) 3) сопряжением (слева или справа). Ещё, на группе таким же образом действуют подгруппы, и мы можем рассмотреть коммутирующие действия с двух сторон двух подгрупп H и K (левым и правым умножением). То есть гомоморфизм H×(K^o) —> End(G) (End как множества; K^o = K^opp = K^opposite; отображения из групп A и B в группу C, такие, что образы элементов из A коммутируют с образами элементов из B = отображение A×B —> C).
Это даёт разложения на односторонние и двусторонние смежные классы и классы сопряжённости.
Если на группе есть инволюция (антиавтоморфизм порядка 2), то эта инволюция позволяет отождествить левые и правые действия группы. На группе всегда есть по крайней мере одна инволюция — обращение.
Двойной смежный класс FxH содержит [H:(H пересечение F^x)] левых смежных классов по F, потому что мы рассматриваем орбиту действия H на левые смежные классы по F, при этом стабилизатор класса Fx в H равен пересечению стабилизатора Fx в G (F^x) и H.
Не понимаю, почему для каждого из этих утверждений теорема об орбитах/стабилизаторах каждый раз передоказывается заново.
>Третье и четвёртое тождество можно интерпретировать как первое
То есть как второе.
>Последнее — это ещё (ug)(hu)=u(gh)u
Точнее, три последних тождества являются более-менее прямыми следствиями сответствующих тождеств Муфанг. (Точнее, не следствиями (формально), это ведь определения. Понятно, что имеется в виду универсальность.)
Действие — это гомоморфизм в эндоморфизмы.
При действии группы орбиты или не пересекаются, или совпадают (очевидно). Группа действует на себе 1) умножением слева 2) умножением справа (только это «правое действие», то есть гомоморфизм противоположной группы в эндоморфизмы) 3) сопряжением (слева или справа). Ещё, на группе таким же образом действуют подгруппы, и мы можем рассмотреть коммутирующие действия с двух сторон двух подгрупп H и K (левым и правым умножением). То есть гомоморфизм H×(K^o) —> End(G) (End как множества; K^o = K^opp = K^opposite; отображения из групп A и B в группу C, такие, что образы элементов из A коммутируют с образами элементов из B = отображение A×B —> C).
Это даёт разложения на односторонние и двусторонние смежные классы и классы сопряжённости.
Если на группе есть инволюция (антиавтоморфизм порядка 2), то эта инволюция позволяет отождествить левые и правые действия группы. На группе всегда есть по крайней мере одна инволюция — обращение.
Двойной смежный класс FxH содержит [H:(H пересечение F^x)] левых смежных классов по F, потому что мы рассматриваем орбиту действия H на левые смежные классы по F, при этом стабилизатор класса Fx в H равен пересечению стабилизатора Fx в G (F^x) и H.
Не понимаю, почему для каждого из этих утверждений теорема об орбитах/стабилизаторах каждый раз передоказывается заново.
>>1727
Еще один способ смотреть на это — это то, что a и b пикрелейтед — это обобщённые обратные в смысле >>1756 (a переводит e_2 в (e_1)ε, b переводит e_1 в (e_2)ε^(-1))
Тогда
aba=a (потому что обобщённые обратные)
ab+ba=1 (потому что ab и ba — проекторы на соответствующие подпространства)
bb=aa=0
Поэтому
(1+a)(1-b)(1+a) = 1+a-b+a-ab-ba+aa-aba = a-b
(1-b)(1+a)(1-b) = 1-b+a-b-ba-ab+bb+bab = a-b
Еще один способ смотреть на это — это то, что a и b пикрелейтед — это обобщённые обратные в смысле >>1756 (a переводит e_2 в (e_1)ε, b переводит e_1 в (e_2)ε^(-1))
Тогда
aba=a (потому что обобщённые обратные)
ab+ba=1 (потому что ab и ba — проекторы на соответствующие подпространства)
bb=aa=0
Поэтому
(1+a)(1-b)(1+a) = 1+a-b+a-ab-ba+aa-aba = a-b
(1-b)(1+a)(1-b) = 1-b+a-b-ba-ab+bb+bab = a-b
>>1806
Попробовал проверить тождества альтерантивности. По крайней мере нам нужны такие условия: a=a’ центрально, xx’=x’x центрально.
Это для таких обозначений:
ii=a
xi=ix’
x(yi)=(yx)i
(ix)y=i(yx)
(xi)(iy)=yax
(i — новый элемент, штрих — инволюция).
Степень отображения в топологии, степень многочлена и степень расширения полей в алгебре — это всё одна и та же степень.
Характеристическая подгруппа — «абсолютно нормальная подгруппа» («абсолютно» примерно в таком же смысле, в котором «абсолютная группа Галуа», «абсолютно неприводимый многочлен»...).
Центр стабилен относительно автоморфизмов, но не является функтором, коммутант — функтор.
Попробовал проверить тождества альтерантивности. По крайней мере нам нужны такие условия: a=a’ центрально, xx’=x’x центрально.
Это для таких обозначений:
ii=a
xi=ix’
x(yi)=(yx)i
(ix)y=i(yx)
(xi)(iy)=yax
(i — новый элемент, штрих — инволюция).
Степень отображения в топологии, степень многочлена и степень расширения полей в алгебре — это всё одна и та же степень.
Характеристическая подгруппа — «абсолютно нормальная подгруппа» («абсолютно» примерно в таком же смысле, в котором «абсолютная группа Галуа», «абсолютно неприводимый многочлен»...).
Центр стабилен относительно автоморфизмов, но не является функтором, коммутант — функтор.
Только недавно узнал это поразительное рассуждение:
Что будет, если умножить перестановку на транспозицию?
Если транспозиция с концами в одном цикле, то этот цикл разделится на два (пикрелейтед слева).
Если транспозиция с концами в двух разных циклах, то эти циклы сольются в один (пикрелейтед справа).
Тем самым мы сразу доказали две вещи:
1) Любая перестановка раскладывается в произведение транспозиций (просто измельчаем циклы до максимума).
2) Знак перестановки определен корректно (умножение на транспозицию изменяет количество циклов на 1).
Что будет, если умножить перестановку на транспозицию?
Если транспозиция с концами в одном цикле, то этот цикл разделится на два (пикрелейтед слева).
Если транспозиция с концами в двух разных циклах, то эти циклы сольются в один (пикрелейтед справа).
Тем самым мы сразу доказали две вещи:
1) Любая перестановка раскладывается в произведение транспозиций (просто измельчаем циклы до максимума).
2) Знак перестановки определен корректно (умножение на транспозицию изменяет количество циклов на 1).
>>1786
Аддитивная группа ℤ/nℤ и мультипликативная группа μ_n — дуальны (так же, как ℤ_p и μ_(p^∞)). Для первой группы естественны наложения ℤ/nℤ ↠ ℤ/mℤ, m∣n, для второй — вложения μ_m ↪︎ μ_n, m∣n.
>>1802
Сделал иллюстрацию к рекуррентным соотношениям, показывающую «количество способов вставить «белый шарик» (выделенный элемент множества)».
>>1424
Распределение e^(-x^2) на плоскости (интегрированием по круговым слоям) даёт xe^(-x^2), из чего легко получается, что ∫e^(-x^2)dx = √π. В пространстве, интегрированием по сферическим слоям, e^(-x^2) даёт (x^2)e^(-x^2) — «распределение Максвелла».
Аддитивная группа ℤ/nℤ и мультипликативная группа μ_n — дуальны (так же, как ℤ_p и μ_(p^∞)). Для первой группы естественны наложения ℤ/nℤ ↠ ℤ/mℤ, m∣n, для второй — вложения μ_m ↪︎ μ_n, m∣n.
>>1802
Сделал иллюстрацию к рекуррентным соотношениям, показывающую «количество способов вставить «белый шарик» (выделенный элемент множества)».
>>1424
Распределение e^(-x^2) на плоскости (интегрированием по круговым слоям) даёт xe^(-x^2), из чего легко получается, что ∫e^(-x^2)dx = √π. В пространстве, интегрированием по сферическим слоям, e^(-x^2) даёт (x^2)e^(-x^2) — «распределение Максвелла».
Что я столько хрени понаписал по поводу разложений пикрелейтед, они же очевидны.
>>1805
Возможно, стоит упомянуть, что возрастающий факториал измеряет количество отображений из k-элементного множества в n-элементное, с линейно упорядоченными слоями (расстановки k флагов на n флагштоках). А убывающий факториал, ясное дело, измеряет количество линейно упроядоченных k-элементных подмножеств n-элементного множества. Из этого соответствующие выражения биноминальных и «мономиальных» коэффициентов напрямую очевидны.
Рекуррентное соотношение тоже напрямую очевидно из комбинаторного определения.
А связь между биноминальными и «мономиальными» коэффициентами (первая формула) следует из принципа «stars and bars»: https://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics)
>>1805
Возможно, стоит упомянуть, что возрастающий факториал измеряет количество отображений из k-элементного множества в n-элементное, с линейно упорядоченными слоями (расстановки k флагов на n флагштоках). А убывающий факториал, ясное дело, измеряет количество линейно упроядоченных k-элементных подмножеств n-элементного множества. Из этого соответствующие выражения биноминальных и «мономиальных» коэффициентов напрямую очевидны.
Рекуррентное соотношение тоже напрямую очевидно из комбинаторного определения.
А связь между биноминальными и «мономиальными» коэффициентами (первая формула) следует из принципа «stars and bars»: https://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics)
Метрика на множестве подмножеств.
Определим несимметричное расстояние между подмножествами как количество элементов в их разности. Неравенство треугольника очевидно. Если у нас есть несимметричная «метрика» мы можем её симметризовать, взяв максимум или сумму (так же, как делалось в >>1320 ). Неравенство треугольника сохранится. В нашем случае мы получим все свойства метрики, за исключением того, что расстояние может быть бесконечным (чтобы этого не произошло, можно ограничиться конечными подмножествами, например).
Поразительно, что я узнал этот пример только сейчас.
Определим несимметричное расстояние между подмножествами как количество элементов в их разности. Неравенство треугольника очевидно. Если у нас есть несимметричная «метрика» мы можем её симметризовать, взяв максимум или сумму (так же, как делалось в >>1320 ). Неравенство треугольника сохранится. В нашем случае мы получим все свойства метрики, за исключением того, что расстояние может быть бесконечным (чтобы этого не произошло, можно ограничиться конечными подмножествами, например).
Поразительно, что я узнал этот пример только сейчас.
>>1822
>Неравенство треугольника очевидно.
Оно следует из того, что (A => B) & (B => C) => (A => C) (переходом к дополнениям).
>количество элементов в их разности
Количество элементов можно заменить мерой (монотонной положительной конечно-аддитивной функцией на подмножествах).
>Неравенство треугольника очевидно.
Оно следует из того, что (A => B) & (B => C) => (A => C) (переходом к дополнениям).
>количество элементов в их разности
Количество элементов можно заменить мерой (монотонной положительной конечно-аддитивной функцией на подмножествах).
Образ идеала — идеал, порожденный образом.
При локализации образ прообраза идеала равен ему самому, так как идеалы определяются числителями.
При локализации прообраз образа простого идеала, дизъюнктного с мультипликативным множеством, равен ему самому. Нам нужно доказать, что локализовав, затем факторизовав, затем взяв прообраз 0, мы получим исходный идеал. Локализация и факторизация коммутируют, после факторизации по простому идеалу, локазизация — вложение.
При локализации образ прообраза идеала равен ему самому, так как идеалы определяются числителями.
При локализации прообраз образа простого идеала, дизъюнктного с мультипликативным множеством, равен ему самому. Нам нужно доказать, что локализовав, затем факторизовав, затем взяв прообраз 0, мы получим исходный идеал. Локализация и факторизация коммутируют, после факторизации по простому идеалу, локазизация — вложение.
Замечание о конструкции локализации.
Локализация состоит из формальных дробей a/b, дроби a/b и sa/sb считаются эквивалентными (мы рассматриваем отношение эквивалентности, порождённое таким отождествлением).
Чтобы проверить корректность определения операций, достаточно проверить, что результаты операций меняются на эквивалентные при такой замене одного из слагаемых (замене a/b на sa/sb), а это очень легко.
Локализация состоит из формальных дробей a/b, дроби a/b и sa/sb считаются эквивалентными (мы рассматриваем отношение эквивалентности, порождённое таким отождествлением).
Чтобы проверить корректность определения операций, достаточно проверить, что результаты операций меняются на эквивалентные при такой замене одного из слагаемых (замене a/b на sa/sb), а это очень легко.
>>1256
Франтишек Латка
Математический мини лексикон
На русском не встречал, гуглится только на чешском. При себе имею украинский вариант
Франтишек Латка
Математический мини лексикон
На русском не встречал, гуглится только на чешском. При себе имею украинский вариант
Точность справа тензорного произведения.
Буду доказывать для абелевых групп, знак тензорного произведения опускается.
Тензорным произведением абелевых групп A и B называется абелева группа AB, заданная образующими и соотношениями. Образующие — формальные произведения (упорядоченные пары) ab, соотношения — сотношения дистрибутивности: (a+a’)b=ab+a’b, a(b+b’)=ab+ab’.
Последовательность A —> B —> C —> 0 называется точной, если B —> C сюръективно, A —> C равно нулю, индуцированное отображение B/Image(A) —> C имеет обратное отображение C —> B/Image(A).
Точная последовательность A —> B —> C —> 0 индуцирует точную последовательность AM —> BM —> CM —> 0.
Сюръективность BM —> CM и зануление AM —> CM напрямую следуют из соответствующих фактов для B —> C и A —> C. Отображение C —> B/Image(A) позволяет определить (на образующих) отображение CM —> BM/Image(AM), так как класс (b+Image(A))m в BM/Image(AM) определен однозначно. Взаимная обратность отображений на образующих и выполнение соотношений — очевидны.
Буду доказывать для абелевых групп, знак тензорного произведения опускается.
Тензорным произведением абелевых групп A и B называется абелева группа AB, заданная образующими и соотношениями. Образующие — формальные произведения (упорядоченные пары) ab, соотношения — сотношения дистрибутивности: (a+a’)b=ab+a’b, a(b+b’)=ab+ab’.
Последовательность A —> B —> C —> 0 называется точной, если B —> C сюръективно, A —> C равно нулю, индуцированное отображение B/Image(A) —> C имеет обратное отображение C —> B/Image(A).
Точная последовательность A —> B —> C —> 0 индуцирует точную последовательность AM —> BM —> CM —> 0.
Сюръективность BM —> CM и зануление AM —> CM напрямую следуют из соответствующих фактов для B —> C и A —> C. Отображение C —> B/Image(A) позволяет определить (на образующих) отображение CM —> BM/Image(AM), так как класс (b+Image(A))m в BM/Image(AM) определен однозначно. Взаимная обратность отображений на образующих и выполнение соотношений — очевидны.
>>1641
Здесь я, не оговаривая явно, использую то, что при разложении пространства в A-инвариантную прямую сумму характеристический многочлен A на всём пространстве разлагается в произведение характеристических многочленов A на слагаемых, и то, что диагонализация преобразования A с помощью ортогонального преобразования диагонализует и квадратичную форму A, потому что для ортогонального преобразования транспонированное=обратное.
Инерция Сильвестра.
Количество минусов, количество плюсов и количество нулей в диагональной форме — инварианты квадратичной формы, потому что количество плюсов — наибольшая размерность сторого положительного подпространства, так как положительное подпространство большей размерности пересекалось бы с полуотрицательным пространством, заданным - и 0 в диагональной форме, а это противоречие. И то же для максимальной размерности отрицательного подпространства (и, как следствие, количество минусов и нулей тоже инвариантно).
Если форма на всём пространстве невырождена, её ограничение на подпространство может быть вырождено (у формы x^2-y^2 есть нулевая диагональная прямая x=y (световой конус)). Но для знакоопределённой формы, такого, очевидно, не может быть.
Если у формы на подпространстве столько-то плюсов (и минусов), то на всем пространстве у неё может быть только больше плюсов (и минусов).
Знак определителя является инвариантом формы (при замене базиса определитель умножается на квадрат обратимого элемента).
Таким образом получаем критерий положительности: положительность формы эквивалентна положительности всех главных левых верхних миноров.
Очевидно, таким же образом (по знакам миноров) мы можем узнать количество + и - и в общем случае, только нужно выбрать такой флаг, что ограничения формы на его подпространства невырождены (главные левые верхние миноры ненулевые).
Здесь я, не оговаривая явно, использую то, что при разложении пространства в A-инвариантную прямую сумму характеристический многочлен A на всём пространстве разлагается в произведение характеристических многочленов A на слагаемых, и то, что диагонализация преобразования A с помощью ортогонального преобразования диагонализует и квадратичную форму A, потому что для ортогонального преобразования транспонированное=обратное.
Инерция Сильвестра.
Количество минусов, количество плюсов и количество нулей в диагональной форме — инварианты квадратичной формы, потому что количество плюсов — наибольшая размерность сторого положительного подпространства, так как положительное подпространство большей размерности пересекалось бы с полуотрицательным пространством, заданным - и 0 в диагональной форме, а это противоречие. И то же для максимальной размерности отрицательного подпространства (и, как следствие, количество минусов и нулей тоже инвариантно).
Если форма на всём пространстве невырождена, её ограничение на подпространство может быть вырождено (у формы x^2-y^2 есть нулевая диагональная прямая x=y (световой конус)). Но для знакоопределённой формы, такого, очевидно, не может быть.
Если у формы на подпространстве столько-то плюсов (и минусов), то на всем пространстве у неё может быть только больше плюсов (и минусов).
Знак определителя является инвариантом формы (при замене базиса определитель умножается на квадрат обратимого элемента).
Таким образом получаем критерий положительности: положительность формы эквивалентна положительности всех главных левых верхних миноров.
Очевидно, таким же образом (по знакам миноров) мы можем узнать количество + и - и в общем случае, только нужно выбрать такой флаг, что ограничения формы на его подпространства невырождены (главные левые верхние миноры ненулевые).
Есть интересная двойственность между пересечением максимальных (радикалом) и объединением минимальных (цоколем). Цоколь полупрост, фактор по радикалу полупрост. Характеристически простые группы в условиях артиновости разлагаются на изоморфные простые — так же, как (полу)простые кольца (и доказывается примерно так же).
(Характичестически простые группы ещё называются элементарными, видимо поэтому (Z/pZ)^n — это «элементарная абелева группа».)
(Характеристически простые группы — это минимальные нормальные подгруппы.)
Локальный анализ есть в теории групп (рассмотрение (силовских) p-подгрупп) и в теории колец (рассмотрение mod p^n, локализация).
(Характичестически простые группы ещё называются элементарными, видимо поэтому (Z/pZ)^n — это «элементарная абелева группа».)
(Характеристически простые группы — это минимальные нормальные подгруппы.)
Локальный анализ есть в теории групп (рассмотрение (силовских) p-подгрупп) и в теории колец (рассмотрение mod p^n, локализация).
Почему-то я до сих пор не осознавал, НАСКОЛЬКО лемма Цассенхауза простая вещь. Она буквально очевидна, проверяется в уме за пол секунды.
В модулярности Дедекинда X — подмножество.
В модулярности Дедекинда X — подмножество.
Мне на первый взгляд показалось странным, что базисы в системах корней такие тупоугольные, но вообще-то это довольно естественно. Если вам скажут выбрать две отражения, порождающих диэдральную группу, вы, скорее всего, выберете соседние отражения типа пикрелейтед, а им естественно сопоставить как раз векторы, направленные в разные стороны под тупым углом.
>>1674
Ещё одно доказательство простоты знакопеременной группы.
A_5 простая, так как никакая сумма порядков классов сопряженности не делится на 60.
Простота A_n, n>5 доказывается по индукции. Пересечение нормальной подгруппы в A_n со стабилизатором точки в A_n, изоморфным A_(n-1), является нормальной подгруппой в A_(n-1), значит можно предположить, что оно тривиально, иначе мы закончили. Значит, никакой нетривиальный элемент нормальной подгруппы не фиксирует никакой точки, значит, в нормальной подгруппе не больше n элементов. Но в любом нетривиальном классе сопряжённости A_n, n>5 больше n элементов, благодаря кратной транзитивности A_n: если в чётной перестановке есть k-цикл k>2, то зафиксировав точку из цикла и переводя 2 соседние точки цикла куда угодно, мы получим (n-1)(n-2) разные перестановки, если в ней есть только транспозиции, то их как минимум две, зафиксировав по точке из каждой и переводя две другие куда угодно, получим (n-2)(n-3) разные перестановки.
Ещё одно доказательство простоты знакопеременной группы.
A_5 простая, так как никакая сумма порядков классов сопряженности не делится на 60.
Простота A_n, n>5 доказывается по индукции. Пересечение нормальной подгруппы в A_n со стабилизатором точки в A_n, изоморфным A_(n-1), является нормальной подгруппой в A_(n-1), значит можно предположить, что оно тривиально, иначе мы закончили. Значит, никакой нетривиальный элемент нормальной подгруппы не фиксирует никакой точки, значит, в нормальной подгруппе не больше n элементов. Но в любом нетривиальном классе сопряжённости A_n, n>5 больше n элементов, благодаря кратной транзитивности A_n: если в чётной перестановке есть k-цикл k>2, то зафиксировав точку из цикла и переводя 2 соседние точки цикла куда угодно, мы получим (n-1)(n-2) разные перестановки, если в ней есть только транспозиции, то их как минимум две, зафиксировав по точке из каждой и переводя две другие куда угодно, получим (n-2)(n-3) разные перестановки.
>>1705
То же рассуждение показывает, что центр группы верхних унитреугольных матриц состоит верхних унитреугольных матриц, у которых выше главной диагонали везде нули, кроме самого верхнего правого места.
Коммутационные соотношения между элементарными трансвекциями явно иллюстрируются группой Гейзенберга.
То же рассуждение показывает, что центр группы верхних унитреугольных матриц состоит верхних унитреугольных матриц, у которых выше главной диагонали везде нули, кроме самого верхнего правого места.
Коммутационные соотношения между элементарными трансвекциями явно иллюстрируются группой Гейзенберга.
О базовой алгебраической терминологии.
Слова «кольцо» (как «круг друзей»), «группа» («группировать перстановки»), «поле» (как «поле деятельности») — указывают на группировку, обозначение территории. Слово «идеал» указывает на то, что идеалы — это «правильные», «идеальные» аналоги чисел (в кольце целых чисел идеалы = числа, а в более общих кольцах целых (в числовых полях) именно идеалы однозначно разлагаются на простые, а «обычные» числа — нет).
Слово «модуль» связано с выражением «сравнение по модулю идеала», потому что идеал = подмодуль кольца. В некотором роде оно связано и с обычным вещественным «модулем» (абсолютным значением): с одной стороны, модуль вещественного числа — это число по модулю умножения на ±1, с другой стороны — x=0 (mod p^n) означает, что число x «маленькое» в смысле неархимедова p-адического нормирования.
Лемма Бернсайда.
Если (конечная) группа транзитивно действует на (конечном) множестве, то сумма (по элементам группы) порядков множеств фиксированных точек совпадает с суммой (по элементам множества) порядков стабилизаторов («подсчёт двумя способами»), которая равна порядку группы. То есть среднее число фиксированных точек элемента группы равно 1. Если группа действует не транзитивно (орбит несколько), то, воспользовавшись очевидной аддитивностью количества фиксированных точек по орбитам, получаем:
Лемма Бернсайда: среднее количество фиксированных точек совпадает с количеством орбит.
Слова «кольцо» (как «круг друзей»), «группа» («группировать перстановки»), «поле» (как «поле деятельности») — указывают на группировку, обозначение территории. Слово «идеал» указывает на то, что идеалы — это «правильные», «идеальные» аналоги чисел (в кольце целых чисел идеалы = числа, а в более общих кольцах целых (в числовых полях) именно идеалы однозначно разлагаются на простые, а «обычные» числа — нет).
Слово «модуль» связано с выражением «сравнение по модулю идеала», потому что идеал = подмодуль кольца. В некотором роде оно связано и с обычным вещественным «модулем» (абсолютным значением): с одной стороны, модуль вещественного числа — это число по модулю умножения на ±1, с другой стороны — x=0 (mod p^n) означает, что число x «маленькое» в смысле неархимедова p-адического нормирования.
Лемма Бернсайда.
Если (конечная) группа транзитивно действует на (конечном) множестве, то сумма (по элементам группы) порядков множеств фиксированных точек совпадает с суммой (по элементам множества) порядков стабилизаторов («подсчёт двумя способами»), которая равна порядку группы. То есть среднее число фиксированных точек элемента группы равно 1. Если группа действует не транзитивно (орбит несколько), то, воспользовавшись очевидной аддитивностью количества фиксированных точек по орбитам, получаем:
Лемма Бернсайда: среднее количество фиксированных точек совпадает с количеством орбит.
>>1831
То есть:
A —> B
(BM)/Image(AM) = (B/Image(A))M
>>1833
>Характеристически простые группы в условиях артиновости разлагаются на изоморфные простые — так же, как (полу)простые кольца (и доказывается примерно так же).
Ок, докажу это.
Конечная характеристически простая группа = (конечное) произведение изоморфных (конечных) простых групп.
В одну сторону:
Абелево произведение изоморфных простых групп = элементарная абелева группа = векторное пространство над Z/pZ, GL-инвариантных подпространств там нет.
Теперь неабелев случай. У неабелевой простой группы (обозначим её H) тривиальный центр. Допустим, у нас есть нетривиальная характеристическая подгруппа в H^n. Возьмём нетривиальный элемент оттуда (который мы обозначим h). У h есть нетривиальный элемент на каком-то (i-ом, допустим) месте. Какой-то элемент H (обозначим его g) нетривиально действует на него (так как H без центра). Возьмём элемент из H^n с 1 во всех коордианатах, кроме i-ой, где стоит g, и подействуем им. Мы получим нетривиальный элемент произведения, у которого только i-ая координата ненулевая. То есть, характеристическая подгруппа пересекается с каким-то из прямых слагаемых, значит, содержит его, значит, содержит всё, так как мы можем действовать перестановками координат.
В другую сторону:
Возьмём в (конечной) характеристически простой группе G минимальную нетривиальную нормальную подгруппу N. Посмотрим на её образы под действием автоморфизмов G. Они порождают нетривиальную характеристическую подгруппу в G, значит, порождают G.
1)Нормальная подгруппа либо не пересекается с минимальной нормальной, либо содержит её (так как пересечение нормальных нормально).
2)Две не пересекающиеся нормальные подгруппы коммутрируют (так как коммутант двух нормальных подгрупп лежит в их пересечении). Поэтому, подгруппа, которую они порождают, изоморфна их произведению.
Воспользовавшись этим, будем последовательно присоединять к N её образы при автоморфизмах (которые всё ещё не содержаться в полученной группе). На каждом шаге будем получать нормальные подгруппы (нормальные подгруппы порождают нормальную подгруппу), изоморфные произведению изоморфных копий N.
P.S. Записал это, потому что в книге Вавилова «Конкретная теория групп 1. Основные понятия.» эта теорема доказывается с использованием классификации конечных абелевых групп, которая тут, видимо, ни к чему.
То есть:
A —> B
(BM)/Image(AM) = (B/Image(A))M
>>1833
>Характеристически простые группы в условиях артиновости разлагаются на изоморфные простые — так же, как (полу)простые кольца (и доказывается примерно так же).
Ок, докажу это.
Конечная характеристически простая группа = (конечное) произведение изоморфных (конечных) простых групп.
В одну сторону:
Абелево произведение изоморфных простых групп = элементарная абелева группа = векторное пространство над Z/pZ, GL-инвариантных подпространств там нет.
Теперь неабелев случай. У неабелевой простой группы (обозначим её H) тривиальный центр. Допустим, у нас есть нетривиальная характеристическая подгруппа в H^n. Возьмём нетривиальный элемент оттуда (который мы обозначим h). У h есть нетривиальный элемент на каком-то (i-ом, допустим) месте. Какой-то элемент H (обозначим его g) нетривиально действует на него (так как H без центра). Возьмём элемент из H^n с 1 во всех коордианатах, кроме i-ой, где стоит g, и подействуем им. Мы получим нетривиальный элемент произведения, у которого только i-ая координата ненулевая. То есть, характеристическая подгруппа пересекается с каким-то из прямых слагаемых, значит, содержит его, значит, содержит всё, так как мы можем действовать перестановками координат.
В другую сторону:
Возьмём в (конечной) характеристически простой группе G минимальную нетривиальную нормальную подгруппу N. Посмотрим на её образы под действием автоморфизмов G. Они порождают нетривиальную характеристическую подгруппу в G, значит, порождают G.
1)Нормальная подгруппа либо не пересекается с минимальной нормальной, либо содержит её (так как пересечение нормальных нормально).
2)Две не пересекающиеся нормальные подгруппы коммутрируют (так как коммутант двух нормальных подгрупп лежит в их пересечении). Поэтому, подгруппа, которую они порождают, изоморфна их произведению.
Воспользовавшись этим, будем последовательно присоединять к N её образы при автоморфизмах (которые всё ещё не содержаться в полученной группе). На каждом шаге будем получать нормальные подгруппы (нормальные подгруппы порождают нормальную подгруппу), изоморфные произведению изоморфных копий N.
P.S. Записал это, потому что в книге Вавилова «Конкретная теория групп 1. Основные понятия.» эта теорема доказывается с использованием классификации конечных абелевых групп, которая тут, видимо, ни к чему.
>>1842
>В другую сторону:
Забыл сказать, что если G разложено в произведение N, то нормальные подгруппы в N нормальны и в G, поэтому, по минимальности N, N — простая группа.
>В другую сторону:
Забыл сказать, что если G разложено в произведение N, то нормальные подгруппы в N нормальны и в G, поэтому, по минимальности N, N — простая группа.
>>1810
>Двойной смежный класс FxH содержит [H:(H пересечение F^x)] левых смежных классов по F, потому что мы рассматриваем орбиту действия H на левые смежные классы по F, при этом стабилизатор класса Fx в H равен пересечению стабилизатора Fx в G (F^x) и H.
Отсюда ещё следует формула произведения:
|FH| = |F| [H:(H пересечение F)] = |F| |H| / |(H пересечение F)|
>Двойной смежный класс FxH содержит [H:(H пересечение F^x)] левых смежных классов по F, потому что мы рассматриваем орбиту действия H на левые смежные классы по F, при этом стабилизатор класса Fx в H равен пересечению стабилизатора Fx в G (F^x) и H.
Отсюда ещё следует формула произведения:
|FH| = |F| [H:(H пересечение F)] = |F| |H| / |(H пересечение F)|
>>1690
>Ещё существование силовских подгрупп можно доказать действием на подмножества группы мощности p^n (p-часть порядка группы) — их количество не делится на p (элементарно, см. википедию), и стабилизатор не больше, чем нужно.
>(элементарно, см. википедию)
Лучше:
Допустим, p^n, c — взаимно простые.
(1+x)^((p^n)c)≡(1+x^(p^n))^c≡1+cx^(p^n)+... (mod p)
>Ещё существование силовских подгрупп можно доказать действием на подмножества группы мощности p^n (p-часть порядка группы) — их количество не делится на p (элементарно, см. википедию), и стабилизатор не больше, чем нужно.
>(элементарно, см. википедию)
Лучше:
Допустим, p^n, c — взаимно простые.
(1+x)^((p^n)c)≡(1+x^(p^n))^c≡1+cx^(p^n)+... (mod p)
Наконец-то понял теорему Рамсея и (обобщённую) теорему ван дер Вардена. Они обе очевидны (в смысле, простые доказательства), первая совсем очевидна, вторая очевидна только на второй взгляд. Доказательство словами как-то с трудом излагается, просто оставлю иллюстрацию (непонятно зачем). Фактически, эта иллюстрация и есть доказательство, но это понятно только после того, как ты понял доказательство (которое http://www.mcnmo.ru/free-books/dubna/bugaenko.pdf я даже подробно не читал, после того, как понял).
Кольца Борромео, изображённые тут >>1843 , были некоторой неожиданностью для меня, так как их группа симметрий — это еще одна конечная подгруппа в ортогональной группе, но почему-то их нигде не рисуют. Эта же группа — группа симметрий куба внутри додекаэдра, или тех же колец Борромео, реализованных «золотыми прямоугольниками» внутри икосаэдра).
Кольца Борромео, изображённые тут >>1843 , были некоторой неожиданностью для меня, так как их группа симметрий — это еще одна конечная подгруппа в ортогональной группе, но почему-то их нигде не рисуют. Эта же группа — группа симметрий куба внутри додекаэдра, или тех же колец Борромео, реализованных «золотыми прямоугольниками» внутри икосаэдра).
>>1850
>теорема Рамсея
Нульмерный случай (принципиально важный): если раскрасить в фиксированное конечное количество цветов большое множество, то в нём всегда найдется большое монохроматическое подмножество.
Как бы принцип Дирихле, та же логика.
Одномерный случай: если раскрасить 1-грани (рёбра) большого симплекса (полного графа) в фиксированное конечное количество цветов, то в нём найдётся большой монохромический подсимплекс.
Согласно предыдущему, достаточно доказать, что сумма (по цветам) размеров максимальных монохроматических подсимплексов данного цвета большая.
Берем и фиксируем произвольную вершину. Другие вершины красим в цвет ребра, соединяющего их с фиксированной. Берем большое монохроматическое подмножество среди этих вершин (назовем его X). Сумма размеров максимальных монохроматических подсимплексов для всего большого симплекса по крайней мере на 1 больше, чем та же величина для X.
То же доказательство работает, если красить n-мерные подсимплексы . Мы вибираем вершину и красим (n-1)-мерные подсимплексы, не содержащие вершины, в цвет n-симплекса, получающегося добавленнием к ним этой вершины, по индукции находим большой подсимплекс, с монохроматическими (n-1)-гранями (назовём его X), и т. д.
>теорема Рамсея
Нульмерный случай (принципиально важный): если раскрасить в фиксированное конечное количество цветов большое множество, то в нём всегда найдется большое монохроматическое подмножество.
Как бы принцип Дирихле, та же логика.
Одномерный случай: если раскрасить 1-грани (рёбра) большого симплекса (полного графа) в фиксированное конечное количество цветов, то в нём найдётся большой монохромический подсимплекс.
Согласно предыдущему, достаточно доказать, что сумма (по цветам) размеров максимальных монохроматических подсимплексов данного цвета большая.
Берем и фиксируем произвольную вершину. Другие вершины красим в цвет ребра, соединяющего их с фиксированной. Берем большое монохроматическое подмножество среди этих вершин (назовем его X). Сумма размеров максимальных монохроматических подсимплексов для всего большого симплекса по крайней мере на 1 больше, чем та же величина для X.
То же доказательство работает, если красить n-мерные подсимплексы . Мы вибираем вершину и красим (n-1)-мерные подсимплексы, не содержащие вершины, в цвет n-симплекса, получающегося добавленнием к ним этой вершины, по индукции находим большой подсимплекс, с монохроматическими (n-1)-гранями (назовём его X), и т. д.
>>1851
Это даёт верхнюю границу на число Рамсея R(r) (для случая раскраски рёбер в 2 цвета), равную 2^(2r) (потому что каждый шаг — это удвоение, нам нужно удвоить два раза).
Нижнюю границу получить тоже очень легко. Первая формула пикрелейтед — это доля раскрасок всего полного графа, индуцирующих данную раскраску данного полного подграфа размера r. Если любая раскраска графа размера N имеет монохроматический подграф размера r, то множество раскрасок графа является объединением подмножеств раскрасок, индуцирующих монохроматические раскраски на каком-то полном подграфе размера r, поэтому выполняется вторая формула пикрелейтед. Отсюда получаем нижнюю оценку 2^(r/2).
Литература:
https://www.math.uh.edu/~tomforde/Articles/Gowers-2-Cultures.pdf
https://www.ihes.fr/~gromov/wp-content/uploads/2018/08/problems-sept2014-copy.pdf
Это даёт верхнюю границу на число Рамсея R(r) (для случая раскраски рёбер в 2 цвета), равную 2^(2r) (потому что каждый шаг — это удвоение, нам нужно удвоить два раза).
Нижнюю границу получить тоже очень легко. Первая формула пикрелейтед — это доля раскрасок всего полного графа, индуцирующих данную раскраску данного полного подграфа размера r. Если любая раскраска графа размера N имеет монохроматический подграф размера r, то множество раскрасок графа является объединением подмножеств раскрасок, индуцирующих монохроматические раскраски на каком-то полном подграфе размера r, поэтому выполняется вторая формула пикрелейтед. Отсюда получаем нижнюю оценку 2^(r/2).
Литература:
https://www.math.uh.edu/~tomforde/Articles/Gowers-2-Cultures.pdf
https://www.ihes.fr/~gromov/wp-content/uploads/2018/08/problems-sept2014-copy.pdf
>>1394
Алсо, композиция (1-z)/(1+z), z^2 и (1+z)/(1-z), даёт отображение Жуковского (1/2)(z+1/z).
https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Жуковского
Оказывается, у этого даже название есть — преобразование Кэли: https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_transform
>>1703
Ещё:
Добавление в https://www.mccme.ru/free-books/izdano/2002/VIA-kvatern.pdf
Страница 17 в https://www.mccme.ru/free-books/arnold/VIA-RAG.pdf
и места в других книгах Арнольда.
Еще:
Страницы 197-198 в http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=69&option_lang=rus&wshow=paper
Похожая «подстановка Виета» x+a/x решает кубические уравнения: >>1644
Похожие выражения входят в «суммы Клостермана»: https://en.wikipedia.org/wiki/Kloosterman_sum
Кто знает, может что-то в этом есть.
Алсо, композиция (1-z)/(1+z), z^2 и (1+z)/(1-z), даёт отображение Жуковского (1/2)(z+1/z).
https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Жуковского
Оказывается, у этого даже название есть — преобразование Кэли: https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_transform
>>1703
Ещё:
Добавление в https://www.mccme.ru/free-books/izdano/2002/VIA-kvatern.pdf
Страница 17 в https://www.mccme.ru/free-books/arnold/VIA-RAG.pdf
и места в других книгах Арнольда.
Еще:
Страницы 197-198 в http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=69&option_lang=rus&wshow=paper
Похожая «подстановка Виета» x+a/x решает кубические уравнения: >>1644
Похожие выражения входят в «суммы Клостермана»: https://en.wikipedia.org/wiki/Kloosterman_sum
Кто знает, может что-то в этом есть.
>>1855
>Алсо, композиция (1-z)/(1+z), z^2 и (1+z)/(1-z), даёт отображение Жуковского (1/2)(z+1/z).
То есть действие инволюции (1-z)/(1+z) переводит -z в z^(-1), а -z^2 в (1/2)(z+1/z).
>Алсо, композиция (1-z)/(1+z), z^2 и (1+z)/(1-z), даёт отображение Жуковского (1/2)(z+1/z).
То есть действие инволюции (1-z)/(1+z) переводит -z в z^(-1), а -z^2 в (1/2)(z+1/z).
>>1762
Кстати, обратите внимание, что линейные преобразования сидят в дифференцированиях.
Кстати, обратите внимание, что линейные преобразования сидят в дифференцированиях.
>>1857
Для (таким образом реализованной) sl(2) неприводимое представление веса m — это её действие на однородных многочленах степени m. (Стандартный базис — ((x^(m-i))/((m-i)!))((y^i)/(i!)).)
Сама градировка многочленов по степени — разложение на собственные подпространства для Σ(x_i)∂/∂(x_i).
Первой вещью, с которой начинается разговор об алгебрах Ли, должна быть алгебра дифференцирований многочленов.
Для (таким образом реализованной) sl(2) неприводимое представление веса m — это её действие на однородных многочленах степени m. (Стандартный базис — ((x^(m-i))/((m-i)!))((y^i)/(i!)).)
Сама градировка многочленов по степени — разложение на собственные подпространства для Σ(x_i)∂/∂(x_i).
Первой вещью, с которой начинается разговор об алгебрах Ли, должна быть алгебра дифференцирований многочленов.
>>1810
Рассмотрим действие группы на смежных классах по подгруппе. Ядро действия — это пересечение стабилизаторов, в данном случае это пересечение сопряжённых к подгруппе — наибольшая нормальная подгруппа всей группы, содержащаяся в подгруппе. Мы получили, что её индекс делится на факториал индекса подгруппы.
Следствие:
Пусть p — наименьшее простое, делящее порядок группы. Тогда любая подгруппа индекса p нормальна.
Пересечение двух нормальных подгрупп конечного индекса является нормальной подгруппой конечного индекса, так как нормальные подгруппы конечного индекса — это ядра гомоморфизмов в конечные группы, а пересечение — ядро индуцированного гомоморфизма в произведение.
С учётом предыдущего, получаем:
Пересечение двух подгрупп конечного индекса имеет конечный индекс.
Рассмотрим действие группы на смежных классах по подгруппе. Ядро действия — это пересечение стабилизаторов, в данном случае это пересечение сопряжённых к подгруппе — наибольшая нормальная подгруппа всей группы, содержащаяся в подгруппе. Мы получили, что её индекс делится на факториал индекса подгруппы.
Следствие:
Пусть p — наименьшее простое, делящее порядок группы. Тогда любая подгруппа индекса p нормальна.
Пересечение двух нормальных подгрупп конечного индекса является нормальной подгруппой конечного индекса, так как нормальные подгруппы конечного индекса — это ядра гомоморфизмов в конечные группы, а пересечение — ядро индуцированного гомоморфизма в произведение.
С учётом предыдущего, получаем:
Пересечение двух подгрупп конечного индекса имеет конечный индекс.
>>1835
Из модулярности Дедекинда, получаем, например, изоморфизм решетки H-инвариантных подгрупп между H⋂N и N с решёткой H-инвариантных подгрупп между H и HN, где N — H-инвариантная подгруппа.
То есть это все как бы модулярность.
Из модулярности Дедекинда, получаем, например, изоморфизм решетки H-инвариантных подгрупп между H⋂N и N с решёткой H-инвариантных подгрупп между H и HN, где N — H-инвариантная подгруппа.
То есть это все как бы модулярность.
>>1670
Думаю, конкретно, что мы получаем эквивалентность категории транзитивных G-действий с отмеченной точкой и категории подгрупп в G.
Думаю, конкретно, что мы получаем эквивалентность категории транзитивных G-действий с отмеченной точкой и категории подгрупп в G.
>>1860
>Пересечение двух подгрупп конечного индекса имеет конечный индекс.
Проще:
Подгруппам соответствуют действия, где они — стабилизаторы точек, индекс подгруппы равен порядку орбиты. Возьмем эти действия и рассмотрим индуцированное действие на дизъюнктном объединении соответствующих множеств, тогда пересечение подгрупп = стабилизатор соответствующей n-ки точек, поэтому индекс пересечения не больше произведения индексов (это количество n-ок точек, по одной точке в каждой из n орбит).
>Пересечение двух подгрупп конечного индекса имеет конечный индекс.
Проще:
Подгруппам соответствуют действия, где они — стабилизаторы точек, индекс подгруппы равен порядку орбиты. Возьмем эти действия и рассмотрим индуцированное действие на дизъюнктном объединении соответствующих множеств, тогда пересечение подгрупп = стабилизатор соответствующей n-ки точек, поэтому индекс пересечения не больше произведения индексов (это количество n-ок точек, по одной точке в каждой из n орбит).
>>1863
>двух подгрупп
n=2
Внешний автоморфизм S_6 можно легко увидеть внутри M_12, зная только 2 вещи:
1) M_12 точно 5-транзитивна
2) M_12 — это группа автоморфизмов системы Штейнера S(5,6,12).
Из этого ясно, что стабилизатор блока из 6 точек — это в точности S_6. Посмотрим, как это S_6 действует на дополнении блока (тоже из 6 точек). Возьмём транспозицию. Она будет фиксировать 4 точки внутри блока, значит, из-за точной 5-транзитивности, она не может фиксировать ни одной точки в дополнении блока. Значит, действие на дополнении блока — это как раз другое действие S_6 на 6 точках.
>двух подгрупп
n=2
Внешний автоморфизм S_6 можно легко увидеть внутри M_12, зная только 2 вещи:
1) M_12 точно 5-транзитивна
2) M_12 — это группа автоморфизмов системы Штейнера S(5,6,12).
Из этого ясно, что стабилизатор блока из 6 точек — это в точности S_6. Посмотрим, как это S_6 действует на дополнении блока (тоже из 6 точек). Возьмём транспозицию. Она будет фиксировать 4 точки внутри блока, значит, из-за точной 5-транзитивности, она не может фиксировать ни одной точки в дополнении блока. Значит, действие на дополнении блока — это как раз другое действие S_6 на 6 точках.
>>1862
Признаюсь, что я не очень понимаю, что тут происходит. К нас есть ДВА способа моделировать (транзитивное) действие группы — действие умножением на смежных классах gH и действие сопряжением на подгруппах gHg’.
Признаюсь, что я не очень понимаю, что тут происходит. К нас есть ДВА способа моделировать (транзитивное) действие группы — действие умножением на смежных классах gH и действие сопряжением на подгруппах gHg’.
Простейшие изоморфизмы между линейными группами и группами перестановок.
PGL(2,q) — подгруппа группы перестановок q+1 точек проективной прямой.
PGL(2,5) транзитивная подгруппа индекса 6 в S_6. Мы сразу получаем внешний автоморфизм S_6 и изоморфизм между PGL(2,5) и S_5 (и, как следствие, изоморфизм между PSL(2,5) и A_5, так как в S_5 одна подгруппа индекса 2).
Изоморфизм между PSL(2,4) и A_5 очевиден (PSL(2,4) — подгруппа S_5).
По тому же принципу очевидны изоморфизмы PGL(2,3)=S_4, PGL(2,2)=S_3.
PGL(2,q) — подгруппа группы перестановок q+1 точек проективной прямой.
PGL(2,5) транзитивная подгруппа индекса 6 в S_6. Мы сразу получаем внешний автоморфизм S_6 и изоморфизм между PGL(2,5) и S_5 (и, как следствие, изоморфизм между PSL(2,5) и A_5, так как в S_5 одна подгруппа индекса 2).
Изоморфизм между PSL(2,4) и A_5 очевиден (PSL(2,4) — подгруппа S_5).
По тому же принципу очевидны изоморфизмы PGL(2,3)=S_4, PGL(2,2)=S_3.
Конструкция маленьких групп Матье.
Часть 1: M_8 и M_9.
Ключевую роль в конструкции будет играть аффинная плоскость над полем из 3 элементов (рис. 1). Оказывается, что эта ничем не примечательная на первый взгляд структура обладает исключительным свойством — потенциалом к расширению.
Система Штейнера S(t,k,v) — это множество k-элементных подмножеств v-элементного множества (называемых блоками), обладающих следующим свойством: любое t-элементное подмножество содержится в одном и только в одном блоке.
Система Штейнера S(1,k,v) — это просто разбиение (v-элементного множества на k-элементные блоки).
Примерами систем Штейнера вида S(2,k,v) являются аффинные и проективные пространства (через любые 2 точки проходит одна и только одна прямая).
Усечение системы Штейнера типа S(t,k,v) — это система Штейнера типа S(t-1,k-1,v-1), точками которой являются все точки исходной системы, кроме одной выделенной, а блоки получаются из блоков исходной системы, содержащих выделенную точку.
Автоморфизм системы Штейнера — перестановка точек, переводящая блоки в блоки.
Приступим к конструкции. Мы построим цепочку расширений: S(1,2,8), S(2,3,9), S(3,4,10), S(4,5,11), S(5,6,12).
Теорема:
S(1,2,8) единственным (с точностью до автоморфизма S(1,2,8), фиксирующего одну точку) способом расширяется до S(2,3,9), которая, как следствие, единственна, и представляет собой аффинную плоскость над полем из 3 элементов.
Доказательство:
Мы добавлем к S(1,2,8) новую точку a. Нам нужно найти 3-элементные блоки внутри S(1,2,8), не покрывающие уже покрытые пары точек (и покрывающие по одному разу все непокрытые пары точек). Нарисуем эту ситуацию (рис. 2).
Подробно проведу рассуждение. Будем рассматривать непокрытые пары точек и достраивать их до троек. Левая верхняя точка будет фиксированной.
Рассмотрим сначала пару из верхней левой точки и верхней средней точки. С точностью до перестановок, сохраняющих разбиение на блоки (и левую верхнюю точку), можно считать, что соответствующий блок — синяя прямая.
Рассмотрим пару из верхней левой и левой средней. Мы не можем взять правую среднюю и правую нижнюю, а также уже сидящие с верхней левой в одной прямой другие верхние точки. Остаются нижние левая и средняя, но они переводятся друг в друга перестановкой, не изменяющей до сих пор построенного разбиения на блоки (и фиксирующей левую верхнюю точку), поэтому можно считать, что нужный блок — зеленая прямая.
Дальше, для прямой (блока), содержащей верхнюю левую и нижнюю среднюю точки, есть только один варант — красная прямая.
Для прямой, содержащей нижнюю левую и нижнюю среднюю есть только один варант — жёлтая прямая.
Для прямой, содержащей верхнюю правую и правую среднюю есть только один вариант — фиолетовая прямая.
Дальше рисунок достраивается без проблем (и получается ровно то, что ожидалось).
Теорема доказана.
Из транзитивности группы автоморфизмов S(1,2,8) и только что приведенного рассуждения следует, что группа автоморфизмов S(2,3,9) 2-транзитивна (что в этом случае и так очевидно, потому что это аффинная плоскость, но в последующих конструкциях это будет априори неочевидно): возьмём произвольную перестановку, переводящую точку a в произвольную точку b и посмотрим на индуцированную этой перестановкой новую структуру системы Штейнера S(2,3,9) на том же множестве точек (блоки которой — образы исходных блоков). Она индуцируют на дополнении к b систему типа S(1,2,8). Кроме того, на дополнении к b есть структура S(1,2,8) индуцированная исходной структурой S(2,3,9). Так как все S(1,2,8) изоморфны, перестановкой дополнения к b можно сделать новую структуру совпадающей со старой. После этого, автоморфизмом структуры S(1,2,8) на дополнении к b, можно привести всю новую структуру S(2,3,9) к старой (это как раз единственность расширения, которую мы только что доказывали), что доказывает транзитивность.
Теперь переведём произвольную точку x из дополнения к b, перестановкой дополнения к b, сохраняющей S(1,2,8), в любую другую точку y дополнения, а потом, автоморфизмом дополнения к b, фиксирующим точку y, вернём всю структуру S(2,3,9) к исходной (наше рассужение выше доказывает, что это можно сделать — верхняя левая точка была фиксирована).
Группа автоморфизмов S(2,3,9) не точно 2-транзитивна, но в ней есть точно 2-транзитивная подгруппа. Дело в том, что у аффинной плоскости S(2,3,9) есть дополнительная структура — 4 семейства параллельных прямых. Аффинная группа переставляет 4 семейства параллельных прямых, индуцируя на этом множестве из 4 элементов все перестановки (PGL(2,3)=S_4). На множестве из 4 элементов есть структура 3 разбиений на два блока по два элемента (рис. 3), которая сохраняется четверной группой. Мы можем взять подгруппу в аффинных преобразованиях, сохраняющую эту структуру. Она уже будет точно 2-транзитивна (трансляции транзитивны и фиксируют классы параллельности, после этого стабилизатор точки точно транзитивен на дополнении к ней, ибо четверная группа точно транзитивна на 4 классах паралельности, а минус фиксирует все классы параллельности).
Полученная группа называется M_9 и изоморфна PSU(3,2). Кстати, стабилизатор точки в ней называется M_8 и изоморфен группе кватернионов Q.
Часть 1: M_8 и M_9.
Ключевую роль в конструкции будет играть аффинная плоскость над полем из 3 элементов (рис. 1). Оказывается, что эта ничем не примечательная на первый взгляд структура обладает исключительным свойством — потенциалом к расширению.
Система Штейнера S(t,k,v) — это множество k-элементных подмножеств v-элементного множества (называемых блоками), обладающих следующим свойством: любое t-элементное подмножество содержится в одном и только в одном блоке.
Система Штейнера S(1,k,v) — это просто разбиение (v-элементного множества на k-элементные блоки).
Примерами систем Штейнера вида S(2,k,v) являются аффинные и проективные пространства (через любые 2 точки проходит одна и только одна прямая).
Усечение системы Штейнера типа S(t,k,v) — это система Штейнера типа S(t-1,k-1,v-1), точками которой являются все точки исходной системы, кроме одной выделенной, а блоки получаются из блоков исходной системы, содержащих выделенную точку.
Автоморфизм системы Штейнера — перестановка точек, переводящая блоки в блоки.
Приступим к конструкции. Мы построим цепочку расширений: S(1,2,8), S(2,3,9), S(3,4,10), S(4,5,11), S(5,6,12).
Теорема:
S(1,2,8) единственным (с точностью до автоморфизма S(1,2,8), фиксирующего одну точку) способом расширяется до S(2,3,9), которая, как следствие, единственна, и представляет собой аффинную плоскость над полем из 3 элементов.
Доказательство:
Мы добавлем к S(1,2,8) новую точку a. Нам нужно найти 3-элементные блоки внутри S(1,2,8), не покрывающие уже покрытые пары точек (и покрывающие по одному разу все непокрытые пары точек). Нарисуем эту ситуацию (рис. 2).
Подробно проведу рассуждение. Будем рассматривать непокрытые пары точек и достраивать их до троек. Левая верхняя точка будет фиксированной.
Рассмотрим сначала пару из верхней левой точки и верхней средней точки. С точностью до перестановок, сохраняющих разбиение на блоки (и левую верхнюю точку), можно считать, что соответствующий блок — синяя прямая.
Рассмотрим пару из верхней левой и левой средней. Мы не можем взять правую среднюю и правую нижнюю, а также уже сидящие с верхней левой в одной прямой другие верхние точки. Остаются нижние левая и средняя, но они переводятся друг в друга перестановкой, не изменяющей до сих пор построенного разбиения на блоки (и фиксирующей левую верхнюю точку), поэтому можно считать, что нужный блок — зеленая прямая.
Дальше, для прямой (блока), содержащей верхнюю левую и нижнюю среднюю точки, есть только один варант — красная прямая.
Для прямой, содержащей нижнюю левую и нижнюю среднюю есть только один варант — жёлтая прямая.
Для прямой, содержащей верхнюю правую и правую среднюю есть только один вариант — фиолетовая прямая.
Дальше рисунок достраивается без проблем (и получается ровно то, что ожидалось).
Теорема доказана.
Из транзитивности группы автоморфизмов S(1,2,8) и только что приведенного рассуждения следует, что группа автоморфизмов S(2,3,9) 2-транзитивна (что в этом случае и так очевидно, потому что это аффинная плоскость, но в последующих конструкциях это будет априори неочевидно): возьмём произвольную перестановку, переводящую точку a в произвольную точку b и посмотрим на индуцированную этой перестановкой новую структуру системы Штейнера S(2,3,9) на том же множестве точек (блоки которой — образы исходных блоков). Она индуцируют на дополнении к b систему типа S(1,2,8). Кроме того, на дополнении к b есть структура S(1,2,8) индуцированная исходной структурой S(2,3,9). Так как все S(1,2,8) изоморфны, перестановкой дополнения к b можно сделать новую структуру совпадающей со старой. После этого, автоморфизмом структуры S(1,2,8) на дополнении к b, можно привести всю новую структуру S(2,3,9) к старой (это как раз единственность расширения, которую мы только что доказывали), что доказывает транзитивность.
Теперь переведём произвольную точку x из дополнения к b, перестановкой дополнения к b, сохраняющей S(1,2,8), в любую другую точку y дополнения, а потом, автоморфизмом дополнения к b, фиксирующим точку y, вернём всю структуру S(2,3,9) к исходной (наше рассужение выше доказывает, что это можно сделать — верхняя левая точка была фиксирована).
Группа автоморфизмов S(2,3,9) не точно 2-транзитивна, но в ней есть точно 2-транзитивная подгруппа. Дело в том, что у аффинной плоскости S(2,3,9) есть дополнительная структура — 4 семейства параллельных прямых. Аффинная группа переставляет 4 семейства параллельных прямых, индуцируя на этом множестве из 4 элементов все перестановки (PGL(2,3)=S_4). На множестве из 4 элементов есть структура 3 разбиений на два блока по два элемента (рис. 3), которая сохраняется четверной группой. Мы можем взять подгруппу в аффинных преобразованиях, сохраняющую эту структуру. Она уже будет точно 2-транзитивна (трансляции транзитивны и фиксируют классы параллельности, после этого стабилизатор точки точно транзитивен на дополнении к ней, ибо четверная группа точно транзитивна на 4 классах паралельности, а минус фиксирует все классы параллельности).
Полученная группа называется M_9 и изоморфна PSU(3,2). Кстати, стабилизатор точки в ней называется M_8 и изоморфен группе кватернионов Q.
Конструкция маленьких групп Матье.
Часть 2: M_10.
Будем расширять S(2,3,9) до S(3,4,10). Обозначим новую точку буквой b, а какую-то из точек дополнения к b — буквой a (как раньше). Нам нужно найти новые блоки (из 4 точек) внутри S(2,3,9), отвечающие блокам S(3,4,10), не содержащим b.
Назовём треугольниками (в аффинной плоскости) тройки точек, не лежащих на одной прямой, а четырёхугольниками — четверки точек, не содержащие прямой.
Аффинная группа транзитивна на треугольниках.
Треугольник содержится в трёх четырёхугольниках (рис. 1). Каждый из них обладает двумя парами параллельных сторон и характеризуется одним из трёх разбиений четырёх классов параллельности — разбиением, в котором есть блок, содержащий эти два класса параллельности.
Множество четырёхугольников (в котором (9.8.6.3)/(4.3.2.1)=54 элементов) можно разбить на 3 множества по 18 элементов, соответствующих 3 разбиениям 4 классов параллельности — разбиению классов паралельности {{x,y},{z,w}} сопоставляется множество четырехугольников, классы параллельных сторон которых равны {x,y} или {z,w}. Предыдущее рассуждение показывает, что каждое из этих трёх 18-элементных множеств четырёхугольников можно взять в качестве новых блоков и получить систему Штейнера S(3,4,10).
Теперь докажем обратное:
Аффинную плоскость можно расширить до S(3,4,10) только вышеописанными тремя способами (не с точностью до автоморфизма, а буквально тремя).
Блоки S(3,4,10), содержащие b, нам известны. Найдём блоки S(3,4,10), не содержащие b, но содержащие a. Рассуждение (рис. 2) похоже на рассуждение части 1, только теперь мы не можем переставлять точки (зато теперь нам запрещено захватывать прямые аффинной плоскости). Пара точек, дополняемая до тройки, отмечается жирным. «Прямые» разноцветные, по соображениям наглядности.
Мы получили как раз 3 нужных варианта. Теперь найдём блоки, не содержащие b и не содержащие a для кажого из этих вариантов (это легко) (рис. 3).
Ну всё. 3-транзитивность очевидна по тем же соображениям, что и в части 1.
Часть 2: M_10.
Будем расширять S(2,3,9) до S(3,4,10). Обозначим новую точку буквой b, а какую-то из точек дополнения к b — буквой a (как раньше). Нам нужно найти новые блоки (из 4 точек) внутри S(2,3,9), отвечающие блокам S(3,4,10), не содержащим b.
Назовём треугольниками (в аффинной плоскости) тройки точек, не лежащих на одной прямой, а четырёхугольниками — четверки точек, не содержащие прямой.
Аффинная группа транзитивна на треугольниках.
Треугольник содержится в трёх четырёхугольниках (рис. 1). Каждый из них обладает двумя парами параллельных сторон и характеризуется одним из трёх разбиений четырёх классов параллельности — разбиением, в котором есть блок, содержащий эти два класса параллельности.
Множество четырёхугольников (в котором (9.8.6.3)/(4.3.2.1)=54 элементов) можно разбить на 3 множества по 18 элементов, соответствующих 3 разбиениям 4 классов параллельности — разбиению классов паралельности {{x,y},{z,w}} сопоставляется множество четырехугольников, классы параллельных сторон которых равны {x,y} или {z,w}. Предыдущее рассуждение показывает, что каждое из этих трёх 18-элементных множеств четырёхугольников можно взять в качестве новых блоков и получить систему Штейнера S(3,4,10).
Теперь докажем обратное:
Аффинную плоскость можно расширить до S(3,4,10) только вышеописанными тремя способами (не с точностью до автоморфизма, а буквально тремя).
Блоки S(3,4,10), содержащие b, нам известны. Найдём блоки S(3,4,10), не содержащие b, но содержащие a. Рассуждение (рис. 2) похоже на рассуждение части 1, только теперь мы не можем переставлять точки (зато теперь нам запрещено захватывать прямые аффинной плоскости). Пара точек, дополняемая до тройки, отмечается жирным. «Прямые» разноцветные, по соображениям наглядности.
Мы получили как раз 3 нужных варианта. Теперь найдём блоки, не содержащие b и не содержащие a для кажого из этих вариантов (это легко) (рис. 3).
Ну всё. 3-транзитивность очевидна по тем же соображениям, что и в части 1.
>>1876
>Рассуждение (рис. 2) похоже на рассуждение части 1, только теперь мы не можем переставлять точки (зато теперь нам запрещено захватывать прямые аффинной плоскости).
Даже более того, тут можно проще. После того, как мы выбрали первые 2 прямые, все прямые восстанавливаются однозначно, исходя только из условия не брать противоположные точки — потому что перестановкой, сохраняющей «отношение противоположности» всё переводится в картинку части 1. Так что переделывать не надо, достаточно подействовать соответствующей перестановкой.
>Рассуждение (рис. 2) похоже на рассуждение части 1, только теперь мы не можем переставлять точки (зато теперь нам запрещено захватывать прямые аффинной плоскости).
Даже более того, тут можно проще. После того, как мы выбрали первые 2 прямые, все прямые восстанавливаются однозначно, исходя только из условия не брать противоположные точки — потому что перестановкой, сохраняющей «отношение противоположности» всё переводится в картинку части 1. Так что переделывать не надо, достаточно подействовать соответствующей перестановкой.
>>1878
Вот, записал хорошие преобразования.
Вот, записал хорошие преобразования.
Конструкция маленьких групп Матье.
Часть 3: M_11.
1. Транзитивность на 4-угольниках.
Посмотрев на рисунок 1 в >>1876 и подействовав трансляциями, убеждаемся, что все 4-угольники с точностью до аффинных преобразований имеют вид типа (рисунок 1), значит, очевидно, переводятся друг в друга аффинными преобразованиями.
2. Диагональная точка 4-угольника.
У 4-угольника есть четыре «стороны» — две пары параллельных прямых — и две «диагонали». Точка пересечения диагоналей называется «диагональной точкой» 4-угольника. Пример: рисунок 2. Четырехугольник + (его диагональная точка) обладают тем свойством, что при удалении любой точки из этой пятёрки, кроме диагональной точки, остаются прямая и точка. Так же это единственная точка вне 4-угольника, добавив которую к 4-угольнику, мы получим пятёрку, не содержащую 4-угольников другого типа (то есть из другого 18-элементного множества 4-угольников). Эти свойства достаточно проверить для одного 4-угольника, например, того, что на рисунке 2, где это очевидно.
3. S(4,5,11)
Теперь мы легко можем легко построить S(4,5,11).
Возьмём аффинную плоскость и добавим к ней две точки: a и b. Мы знаем какой вид обязаны иметь блоки, содержащие a или b:
i) (прямая в аффинной плоскости) + a + b,
ii) (4-угольник типа 1) + a,
iii) (4-угольник типа 2) + b.
Осталось найти блоки, целиком лежащие в аффинной плоскости. Они обязаны покрывать 4-угольники типа 3 и не покрывать 4-угольники других типов. Есть только один вариант:
iiii) (4-угольник типа 3) + (его диагональная точка).
С другой стороны, тривиально проверяется, что эти блоки не могут пересекаться по четверке, и то, что они покрывают четверки, содержащие a или b, а так же 4-угольники аффинной плоскости. Осталось проверить, покрывают ли они четверки из прямой и точки. Можно считать, что тип 3 — это тип 4-угольника из рисунка 2. Воспользовавшись 2-транзитивностью группы аффинных преобразований, сохраняющих все типы 4-угольников, можно перенести прямую в среднюю горизонтальную прямую, затем перенести точку вне прямой в среднюю точку верхнего/нижнего ряда с помощью горизонтальной трансляции, затем дополнить.
4. Транзитивность.
Транзитивность группы автоморфизмов S(4,5,11) очевидна по тем же соображениям, что и раньше. Только теперь, стоит отметить, стабилизатор двух точек a и b обязан переводить прямоугольники типа 1 в прямоугольники типа 1, а прямоугольники типа 2 в прямоугольники типа 2 (и, как следствие, прямоугольники типа 3 в прямоугольники типа 3). То есть этот стабилизатор равен M_9 и точно 2-транзитивен, поэтому M_11 (группа автоморфизмов S(4,5,11)) точно 4-транзитивна.
Часть 3: M_11.
1. Транзитивность на 4-угольниках.
Посмотрев на рисунок 1 в >>1876 и подействовав трансляциями, убеждаемся, что все 4-угольники с точностью до аффинных преобразований имеют вид типа (рисунок 1), значит, очевидно, переводятся друг в друга аффинными преобразованиями.
2. Диагональная точка 4-угольника.
У 4-угольника есть четыре «стороны» — две пары параллельных прямых — и две «диагонали». Точка пересечения диагоналей называется «диагональной точкой» 4-угольника. Пример: рисунок 2. Четырехугольник + (его диагональная точка) обладают тем свойством, что при удалении любой точки из этой пятёрки, кроме диагональной точки, остаются прямая и точка. Так же это единственная точка вне 4-угольника, добавив которую к 4-угольнику, мы получим пятёрку, не содержащую 4-угольников другого типа (то есть из другого 18-элементного множества 4-угольников). Эти свойства достаточно проверить для одного 4-угольника, например, того, что на рисунке 2, где это очевидно.
3. S(4,5,11)
Теперь мы легко можем легко построить S(4,5,11).
Возьмём аффинную плоскость и добавим к ней две точки: a и b. Мы знаем какой вид обязаны иметь блоки, содержащие a или b:
i) (прямая в аффинной плоскости) + a + b,
ii) (4-угольник типа 1) + a,
iii) (4-угольник типа 2) + b.
Осталось найти блоки, целиком лежащие в аффинной плоскости. Они обязаны покрывать 4-угольники типа 3 и не покрывать 4-угольники других типов. Есть только один вариант:
iiii) (4-угольник типа 3) + (его диагональная точка).
С другой стороны, тривиально проверяется, что эти блоки не могут пересекаться по четверке, и то, что они покрывают четверки, содержащие a или b, а так же 4-угольники аффинной плоскости. Осталось проверить, покрывают ли они четверки из прямой и точки. Можно считать, что тип 3 — это тип 4-угольника из рисунка 2. Воспользовавшись 2-транзитивностью группы аффинных преобразований, сохраняющих все типы 4-угольников, можно перенести прямую в среднюю горизонтальную прямую, затем перенести точку вне прямой в среднюю точку верхнего/нижнего ряда с помощью горизонтальной трансляции, затем дополнить.
4. Транзитивность.
Транзитивность группы автоморфизмов S(4,5,11) очевидна по тем же соображениям, что и раньше. Только теперь, стоит отметить, стабилизатор двух точек a и b обязан переводить прямоугольники типа 1 в прямоугольники типа 1, а прямоугольники типа 2 в прямоугольники типа 2 (и, как следствие, прямоугольники типа 3 в прямоугольники типа 3). То есть этот стабилизатор равен M_9 и точно 2-транзитивен, поэтому M_11 (группа автоморфизмов S(4,5,11)) точно 4-транзитивна.
Конструкция маленьких групп Матье.
Часть 4: M_12.
Мы расширяем аффинную плоскость, добавляя три точки: a,b,c. Согласно предыдущему, мы знаем все блоки, кроме тех, которые полностью сидят внутри аффинной плоскости:
1. прямая + a + b + c
2. (4-угольник типа 1) + b + c
3. (4-угольник типа 2) + a + c
4. (4-угольник типа 3) + a + b
5. (4-угольник типа 1 с диагональной точкой) + a
6. (4-угольник типа 2 с диагональной точкой) + b
7. (4-угольник типа 3 с диагональной точкой) + c
Найти новые блоки очень просто, если перейти к дополнениям. Нам нужно найти шестёрки, которые покрывают все пятёрки, кроме 4-угольников с диагональной точкой. Дополнения 4-угольников с диагональной точкой — это в точности 4-угольники. То есть нам нужно найти тройки, которые не лежат в 4-угольниках и дополняются однозначным образом до четверки вида прямая + точка. Ясно, что это в точности все прямые.
Всё.
Точная 5-транзитивность всё так же очевидна.
Кстати, обратите внимание, что дополнения блоков — блоки.
Наконец, ещё одно описание S(5,6,12) можно получить с помощью MINIMOG (MOG = Miracle Octad Generator, который используется в одной из конструкций S(5,8,24), блоки которой называются октадами) и «тетракода».
Тетракод — это двумерное линейное подпространство в четырёхмерном линейном пространстве над полем из трёх элементов, которое состоит из скалярных кратных строк матрицы, изображенной на рисунке 1 (+=+1, -=-1).
Тетракод обладает таким свойством: любая пара координат однозначно определяет кодовое слово (проверяется непосредственным взглядом на картинку). Более того, если изменять по одной координате в слове, мы получим из одного кодового слова ещё 4*2=8 слов, причём из разных кодовых слов будут получаться разные слова, благодаря предыдущему свойству. В итоге мы получим 9*9=3^4 слов — в точности всё пространство. Кажется это называется «совершенный код».
MINIMOG — это табличка 3×4, строки которой перенумерованы элементами поля из 3 элементов (обычно в таком порядке сверху вниз: 0,+,-). В неё ставятся шестерки точек, отвечающие блокам. Мы разрешаем любые распределения шестёрки по столбцам, кроме 6=3+2+1. То есть разрешены распределения 6=3+3=3+1+1+1=2+2+1+1=2+2+2 Если внутри столбца две точки или одна точка, то этому столбцу можно сопоставить элемент поля (соответствующий точке или дополнению пары точек). Условие такое: это «недослово» дополняется до кодового слова. Примеры на рисунке 2.
Пятёрка точек может быть распределена по столбцам такими способами: 5=3+2=3+1+1=2+1+1+1=2+2+1. Используя совершенность кода, легко проверяется, что мы построили систему Штейнера S(5,6,12):
3+2 достраивается до 3+3
3+1+1 достраивается до 3+1+1+1
2+1+1+1 достраивается до 2+2+1+1 или 3+1+1+1
2+2+1 достраивается до 2+2+2 или 2+2+1+1.
Как мы знаем, S(5,6,12) единственна.
Например, рассматривая блоки, содержащие левый столбец, в правом 3 на 3 квадрате получаем знакомую аффинную плоскость.
Часть 4: M_12.
Мы расширяем аффинную плоскость, добавляя три точки: a,b,c. Согласно предыдущему, мы знаем все блоки, кроме тех, которые полностью сидят внутри аффинной плоскости:
1. прямая + a + b + c
2. (4-угольник типа 1) + b + c
3. (4-угольник типа 2) + a + c
4. (4-угольник типа 3) + a + b
5. (4-угольник типа 1 с диагональной точкой) + a
6. (4-угольник типа 2 с диагональной точкой) + b
7. (4-угольник типа 3 с диагональной точкой) + c
Найти новые блоки очень просто, если перейти к дополнениям. Нам нужно найти шестёрки, которые покрывают все пятёрки, кроме 4-угольников с диагональной точкой. Дополнения 4-угольников с диагональной точкой — это в точности 4-угольники. То есть нам нужно найти тройки, которые не лежат в 4-угольниках и дополняются однозначным образом до четверки вида прямая + точка. Ясно, что это в точности все прямые.
Всё.
Точная 5-транзитивность всё так же очевидна.
Кстати, обратите внимание, что дополнения блоков — блоки.
Наконец, ещё одно описание S(5,6,12) можно получить с помощью MINIMOG (MOG = Miracle Octad Generator, который используется в одной из конструкций S(5,8,24), блоки которой называются октадами) и «тетракода».
Тетракод — это двумерное линейное подпространство в четырёхмерном линейном пространстве над полем из трёх элементов, которое состоит из скалярных кратных строк матрицы, изображенной на рисунке 1 (+=+1, -=-1).
Тетракод обладает таким свойством: любая пара координат однозначно определяет кодовое слово (проверяется непосредственным взглядом на картинку). Более того, если изменять по одной координате в слове, мы получим из одного кодового слова ещё 4*2=8 слов, причём из разных кодовых слов будут получаться разные слова, благодаря предыдущему свойству. В итоге мы получим 9*9=3^4 слов — в точности всё пространство. Кажется это называется «совершенный код».
MINIMOG — это табличка 3×4, строки которой перенумерованы элементами поля из 3 элементов (обычно в таком порядке сверху вниз: 0,+,-). В неё ставятся шестерки точек, отвечающие блокам. Мы разрешаем любые распределения шестёрки по столбцам, кроме 6=3+2+1. То есть разрешены распределения 6=3+3=3+1+1+1=2+2+1+1=2+2+2 Если внутри столбца две точки или одна точка, то этому столбцу можно сопоставить элемент поля (соответствующий точке или дополнению пары точек). Условие такое: это «недослово» дополняется до кодового слова. Примеры на рисунке 2.
Пятёрка точек может быть распределена по столбцам такими способами: 5=3+2=3+1+1=2+1+1+1=2+2+1. Используя совершенность кода, легко проверяется, что мы построили систему Штейнера S(5,6,12):
3+2 достраивается до 3+3
3+1+1 достраивается до 3+1+1+1
2+1+1+1 достраивается до 2+2+1+1 или 3+1+1+1
2+2+1 достраивается до 2+2+2 или 2+2+1+1.
Как мы знаем, S(5,6,12) единственна.
Например, рассматривая блоки, содержащие левый столбец, в правом 3 на 3 квадрате получаем знакомую аффинную плоскость.
Кстати, аффинная плоскость над полем из трёх элементов ещё называется конфигурацией Гессе. Если удалить из неё точку (рисунок 1), получим конфигурацию Мёбиуса-Кантора, представляющую собой два взаимно вписанных четырехугольника, аналогичную конфигурации Дезарга ( >>1207 ), которая представляет собой два взаимно вписанных пятиугольника.
Очень легко проверить, что единственная S(2,3,7) — это плоскость Фано (рисунок 2, посередине).
Очень легко проверить, что единственная S(2,3,7) — это плоскость Фано (рисунок 2, посередине).
>>1878
Кажется, все совсем прекрасно. Прямая, проходящая через 2 белые точки, обязана проходить через чёрную точку. Учитывая это, получается, что применив симметрию квадрата из чёрных точек, в левом верхнем углу мы получим 2 стандартные прямые (типа >>1875 рисунок 2, синяя и зеленая прямая), после все однозначно. Но таким образом мы получаем описание всех расширений — они получаются симметриями чёрного квадрата! Отсюда результат части 2 очевиден — если мы хотим получить ещё одно расширение S(1,2,8) до S(2,3,9) — такое, чтобы не было общих прямых, лежащих в S(1,2,8) мы должны применить симметрию квадрата без фикс. точек. Но отражения относительно диагонали не подходят — 2 «диагональные» прямые остаются фиксированы. Остаются вращения квадрата. Отсюда получаем описание блоков расширения S(2,3,9) до S(4,5,10), содержащих фикс. точку (через выбор двух классов паралельности). Но, так как 4-угольники заданного типа, содержащие фикс. точку, покрывают все точки, и так как аффинная плоскость рядом со всеми точками выглядит одинакового (все точки переводятся друг в друга трансляциями), выборы двух классов параллельности во всех точках согласованы.
Теперь, кажется, всё доказательство норм.
Кажется, все совсем прекрасно. Прямая, проходящая через 2 белые точки, обязана проходить через чёрную точку. Учитывая это, получается, что применив симметрию квадрата из чёрных точек, в левом верхнем углу мы получим 2 стандартные прямые (типа >>1875 рисунок 2, синяя и зеленая прямая), после все однозначно. Но таким образом мы получаем описание всех расширений — они получаются симметриями чёрного квадрата! Отсюда результат части 2 очевиден — если мы хотим получить ещё одно расширение S(1,2,8) до S(2,3,9) — такое, чтобы не было общих прямых, лежащих в S(1,2,8) мы должны применить симметрию квадрата без фикс. точек. Но отражения относительно диагонали не подходят — 2 «диагональные» прямые остаются фиксированы. Остаются вращения квадрата. Отсюда получаем описание блоков расширения S(2,3,9) до S(4,5,10), содержащих фикс. точку (через выбор двух классов паралельности). Но, так как 4-угольники заданного типа, содержащие фикс. точку, покрывают все точки, и так как аффинная плоскость рядом со всеми точками выглядит одинакового (все точки переводятся друг в друга трансляциями), выборы двух классов параллельности во всех точках согласованы.
Теперь, кажется, всё доказательство норм.
>>1883
>Но, так как 4-угольники заданного типа, содержащие фикс. точку, покрывают все точки, и так как аффинная плоскость рядом со всеми точками выглядит одинакового (все точки переводятся друг в друга трансляциями), выборы двух классов параллельности во всех точках согласованы.
Это бред. Продолжаем как рисунок 3 тут: >>1876
>Но, так как 4-угольники заданного типа, содержащие фикс. точку, покрывают все точки, и так как аффинная плоскость рядом со всеми точками выглядит одинакового (все точки переводятся друг в друга трансляциями), выборы двух классов параллельности во всех точках согласованы.
Это бред. Продолжаем как рисунок 3 тут: >>1876
Представление группы симметрий треугольника.
S_3 = D_3 = <r_1, r_2 | (r_1)^2 = (r_2)^2 = ((r_1)(r_2))^3 = 1>
Все элементы группы: 1, r_1, r_2, (r_1)(r_2), (r_2)(r_1), (r_1)(r_2)(r_1)=(r_2)(r_1)(r_2).
Два обобщения:
Представление диэдральной группы.
D_n = <r_1, r_2 | (r_1)^2 = (r_2)^2 = ((r_1)(r_2))^n = 1>
Доказательство: любое слово от инволюций x и y представляется в виде xyxyxyxy..., причём из соотношения типа xyxyxyx=1 двусторонним домножением на x получается yxyxy=1 и так далее, то есть оно невозможно.
Представление Кокстера группы перестановок.
S_n = <r_1, ..., r_(n-1) | ... >
Докажем по индукции.
1. Можно предполагать, что в слове не больше одного r_(n-1).
По индукции мы можем предположить, что в слове от r_1, ..., r_(n-2) не больше одного r_(n-2). Тогда, если в исходном слове два или больше r_(n-1), рассмотрим два соседних r_(n-1):
...r_(n-1)...r_(n-2)...r_(n-1)... = ...r_(n-1)r_(n-2)r_(n-1)... = ...r_(n-2)r_(n-1)r_(n-2)...
Мы уменьшили количество r_(n-1) на один.
2. Индекс подгруппы, порождённой r_1, ..., r_(n-2), не больше n.
По индукции мы знаем, что индекс подгруппы, порождённой r_1, ... r_(n-3), внутри подгруппы, порождённой r_1, ..., r_(n-2), не больше n-1. Поэтому у r_(n-1) не больше n-1 образов под действием сопряжения элементами подгруппы, порождённой r_1, ..., r_(n-2) (r_(n-1) коммутирует с r_1, ... r_(n-3)). Мы протаскиваем единственное (пункт 1) в слове r_(n-1) направо и получаем результат.
Всё доказано (по индукции получаем, что порядок <r_1, ..., r_(n-1) | ... > не больше n!).
{Здесь должен быть разговор о группах треугольника и об общих группах отражений / группах Кокстера.}
S_3 = D_3 = <r_1, r_2 | (r_1)^2 = (r_2)^2 = ((r_1)(r_2))^3 = 1>
Все элементы группы: 1, r_1, r_2, (r_1)(r_2), (r_2)(r_1), (r_1)(r_2)(r_1)=(r_2)(r_1)(r_2).
Два обобщения:
Представление диэдральной группы.
D_n = <r_1, r_2 | (r_1)^2 = (r_2)^2 = ((r_1)(r_2))^n = 1>
Доказательство: любое слово от инволюций x и y представляется в виде xyxyxyxy..., причём из соотношения типа xyxyxyx=1 двусторонним домножением на x получается yxyxy=1 и так далее, то есть оно невозможно.
Представление Кокстера группы перестановок.
S_n = <r_1, ..., r_(n-1) | ... >
Докажем по индукции.
1. Можно предполагать, что в слове не больше одного r_(n-1).
По индукции мы можем предположить, что в слове от r_1, ..., r_(n-2) не больше одного r_(n-2). Тогда, если в исходном слове два или больше r_(n-1), рассмотрим два соседних r_(n-1):
...r_(n-1)...r_(n-2)...r_(n-1)... = ...r_(n-1)r_(n-2)r_(n-1)... = ...r_(n-2)r_(n-1)r_(n-2)...
Мы уменьшили количество r_(n-1) на один.
2. Индекс подгруппы, порождённой r_1, ..., r_(n-2), не больше n.
По индукции мы знаем, что индекс подгруппы, порождённой r_1, ... r_(n-3), внутри подгруппы, порождённой r_1, ..., r_(n-2), не больше n-1. Поэтому у r_(n-1) не больше n-1 образов под действием сопряжения элементами подгруппы, порождённой r_1, ..., r_(n-2) (r_(n-1) коммутирует с r_1, ... r_(n-3)). Мы протаскиваем единственное (пункт 1) в слове r_(n-1) направо и получаем результат.
Всё доказано (по индукции получаем, что порядок <r_1, ..., r_(n-1) | ... > не больше n!).
{Здесь должен быть разговор о группах треугольника и об общих группах отражений / группах Кокстера.}
>>1319
Эти типы преобразований еще называют гиперболическими, эллиптическими и параболическими:
https://en.wikipedia.org/wiki/SL2(R)#Classification_of_elements
————————————————
Ещё одним местом, где проявляется фундаментальное соотношение «2+2=4 тремя способами», является lantern relation (соотношение фонаря?):
https://en.wikipedia.org/wiki/Lantern_relation
Четыре дырки, которые тут участвуют, (как бы) равноправны (диск с 3 дырками = сфера с 4 дырками), три синие кривые делят 4 на 2+2.
Эти типы преобразований еще называют гиперболическими, эллиптическими и параболическими:
https://en.wikipedia.org/wiki/SL2(R)#Classification_of_elements
————————————————
Ещё одним местом, где проявляется фундаментальное соотношение «2+2=4 тремя способами», является lantern relation (соотношение фонаря?):
https://en.wikipedia.org/wiki/Lantern_relation
Четыре дырки, которые тут участвуют, (как бы) равноправны (диск с 3 дырками = сфера с 4 дырками), три синие кривые делят 4 на 2+2.
>>1837
В S_n, n>4 нет неочевидных нормальных подгрупп, кроме A_n: такая подгруппа не может иметь нетривиальное пересечение с A_n, иначе мы получили бы нормальную подгруппу в A_n, поэтому гомоморфизм знака определяет изоморфизм этой подгруппы с группой из 2 элементов. Но в S_n, очевидно, не может быть инволюции, стабильной относительно сопряжения.
Забавные вещи про инволюции:
В группе чётного порядка нечётное число нетривиальных инволюций, потому что инволюции — это фиксированные точки инволюции обращения.
В группе нечётного порядка нет нетривиальных инволюций, потому что умножение на нетривиальную инволюцию определяет инволюцию без фиксированных точек.
В S_n, n>4 нет неочевидных нормальных подгрупп, кроме A_n: такая подгруппа не может иметь нетривиальное пересечение с A_n, иначе мы получили бы нормальную подгруппу в A_n, поэтому гомоморфизм знака определяет изоморфизм этой подгруппы с группой из 2 элементов. Но в S_n, очевидно, не может быть инволюции, стабильной относительно сопряжения.
Забавные вещи про инволюции:
В группе чётного порядка нечётное число нетривиальных инволюций, потому что инволюции — это фиксированные точки инволюции обращения.
В группе нечётного порядка нет нетривиальных инволюций, потому что умножение на нетривиальную инволюцию определяет инволюцию без фиксированных точек.
>>1883
>мы должны применить симметрию квадрата без фикс. точек. Но отражения относительно диагонали не подходят — 2 «диагональные» прямые остаются фиксированы
Короче: если мы не хотим фиксированных прямых, нам нужна симметрия квадрата без фиксированных вершин и сторон, то есть вращение.
>>1882
>плоскость Фано
Слова веса 3 кода Хэмминга (7,4) https://en.wikipedia.org/wiki/Hamming(7,4) — это прямые плоскости Фано.
>мы должны применить симметрию квадрата без фикс. точек. Но отражения относительно диагонали не подходят — 2 «диагональные» прямые остаются фиксированы
Короче: если мы не хотим фиксированных прямых, нам нужна симметрия квадрата без фиксированных вершин и сторон, то есть вращение.
>>1882
>плоскость Фано
Слова веса 3 кода Хэмминга (7,4) https://en.wikipedia.org/wiki/Hamming(7,4) — это прямые плоскости Фано.
>>1869
Функторы стабилизатора и действия на смежных классах определяют эквивалентность категории подгрупп и категории транзитивных действий с отмеченной точкой, группа действует на обеих категориях: на первой она действует сопряжением, на второй — изменением отмеченной точки, эти действия согласованы.
В частности, если у нас есть транзитивная подгруппа в группе перестановок какого-то множества, то автоморфизм этой подгруппы, переводящий стабилизатор в стабилизатор, индуцируется перестановкой множества.
Функторы стабилизатора и действия на смежных классах определяют эквивалентность категории подгрупп и категории транзитивных действий с отмеченной точкой, группа действует на обеих категориях: на первой она действует сопряжением, на второй — изменением отмеченной точки, эти действия согласованы.
В частности, если у нас есть транзитивная подгруппа в группе перестановок какого-то множества, то автоморфизм этой подгруппы, переводящий стабилизатор в стабилизатор, индуцируется перестановкой множества.
Теорема Ферма о суммах двух квадратов.
Нечетное простое p представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел p=x^2+y^2 тогда и только тогда, когда p=1 (mod 4).
Квадратами в Z/4Z являются только 1 и 0, так что необходимость условия очевидна.
Если p=1 (mod 4), то существует i в Z/pZ, такой, что i^2=-1 (mod p) ( >>1639 ).
Рассмотрим решётку Z^2, стандартным образом расположенную в плоскости. Рассмотрим в этой решётке векторы (x,y), удовлетворяющие сравнению ix=y (mod p). Они образуют решётку, замкнутую относительно поворота на 90 градусов, потому что ix=y (mod p) => i(-y)=x (mod p) (домножением на i). Рассмотрим в этой решётке вектор наименьшей длины (x,y). Решётка порождается (x,y) и (-y,x), потому что иначе в ней был бы вектор короче вектора (x,y).
Плотность точек решётки равна 1/p, поэтому длина (x,y) равна корню из p, то есть x^2+y^2=p.
Нечетное простое p представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел p=x^2+y^2 тогда и только тогда, когда p=1 (mod 4).
Квадратами в Z/4Z являются только 1 и 0, так что необходимость условия очевидна.
Если p=1 (mod 4), то существует i в Z/pZ, такой, что i^2=-1 (mod p) ( >>1639 ).
Рассмотрим решётку Z^2, стандартным образом расположенную в плоскости. Рассмотрим в этой решётке векторы (x,y), удовлетворяющие сравнению ix=y (mod p). Они образуют решётку, замкнутую относительно поворота на 90 градусов, потому что ix=y (mod p) => i(-y)=x (mod p) (домножением на i). Рассмотрим в этой решётке вектор наименьшей длины (x,y). Решётка порождается (x,y) и (-y,x), потому что иначе в ней был бы вектор короче вектора (x,y).
Плотность точек решётки равна 1/p, поэтому длина (x,y) равна корню из p, то есть x^2+y^2=p.
>>1897
>Если p=1 (mod 4), то существует i в Z/pZ, такой, что i^2=-1 (mod p) ( >>1639 ).
Ладно, можно и повторить рассуждение. Если p=1 (mod 4) (и p не равно 2), то умножение на -1 является чётной перестановкой Z/pZ (например Z/5Z = {0, ±1, ±2}), поэтому -1 является чётной степенью мультипликативной образующей (умножение на которую является нечётной перестановкой — (p-1)-циклом).
>Если p=1 (mod 4), то существует i в Z/pZ, такой, что i^2=-1 (mod p) ( >>1639 ).
Ладно, можно и повторить рассуждение. Если p=1 (mod 4) (и p не равно 2), то умножение на -1 является чётной перестановкой Z/pZ (например Z/5Z = {0, ±1, ±2}), поэтому -1 является чётной степенью мультипликативной образующей (умножение на которую является нечётной перестановкой — (p-1)-циклом).
Если G — конечная p-группа, а H — нетривиальная нормальная подгруппа в G, то пересечение H с центром G нетривиально.
Если L — конечномерная нильпотентная алгебра Ли, а I — нетривиальный идеал в L, то пересечение I с центром L нетривиально.
Если G — конечная p-группа, а H — собственная подгруппа G, то нормализатор H в G строго больше H. Максимальные подгруппы в G нормальны и имеют индекс p.
Если L — конечномерная нильпотентная алгебра Ли, а K — собственная подалгебра L, то нормализатор K в L строго больше K. Максимальные подалгебры в L являются идеалами и имеют коразмерность 1.
Если L — конечномерная нильпотентная алгебра Ли, а I — нетривиальный идеал в L, то пересечение I с центром L нетривиально.
Если G — конечная p-группа, а H — собственная подгруппа G, то нормализатор H в G строго больше H. Максимальные подгруппы в G нормальны и имеют индекс p.
Если L — конечномерная нильпотентная алгебра Ли, а K — собственная подалгебра L, то нормализатор K в L строго больше K. Максимальные подалгебры в L являются идеалами и имеют коразмерность 1.
>>1876
>Треугольник содержится в трёх четырёхугольниках (рис. 1).
В этой картинке, кстати, присутствует интересная симметрия. Каждый треугольник определяет разбиение плоскости на тройку «параллелных треугольников», каждый из которых состоит из точек, лежащих на продолжениях сторон предыдущего треугольника.
>Треугольник содержится в трёх четырёхугольниках (рис. 1).
В этой картинке, кстати, присутствует интересная симметрия. Каждый треугольник определяет разбиение плоскости на тройку «параллелных треугольников», каждый из которых состоит из точек, лежащих на продолжениях сторон предыдущего треугольника.
Гексакод.
Рассмотрим шестимерное линейное пространство GF(4)^6 над полем из 4 элементов: GF(4)={0, 1, ω, ω^2=ω=ω+1}=Z[ω]/(2). Множество векторов вида {(a, b, c, f(1), f(ω), f(ω^2)) | f(x) := ax^2+bx+c = ax+bx+c} (то есть две тройки, связанные преобразованием Фурье) называется гексакодом. Очевидно, что это множество является трёхмерным линейным подпространством. Это множество инвариантно относительно циклического сдвига влево первых трёх координат (a,b,c), сопровождающегося заменой f(x) на x*f(x) (симметрия преобразования Фурье), а также сопряжения всех координат, сопровождающегося перестановкой первых двух координат (это следует из второго выражения для f(x)).
Гексакоду принадлежат, например, следующие кодовые слова (векторы):
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
Принадлежность первого слова проверяется напрямую, второе слово получается из первого «симметрией Фурье», а третее слово получается из первого «сопряжением». Четвёртое слово является суммой первых трёх. Первые три слова линейно независимы и, как следствие, порождают весь код. Это множество из четырёх образующих инвариантно относительно группы чётных перестановок координат, сохраняющих разбиение {{1,2},{3,4},{5,6}}, изоморфной S_4. Как следствие, весь гексакод инвариантен относительно этих перестановок. Это действие S_4 на 6 точках можно представлять как действие S_4 на 6 рёбрах тетраэдра, при этом блокам разбиения соответствуют пары противоположных рёбер. В таком случае 4 данных кодовых слова имеют вид, изображённый пикрелейтед слева (для каждой из 4 вершин тетраэдра). Или, чтобы подчеркнуть некоторое сходство с кодом Хэмминга ( >>1892 ), можно расположить 6 координат в виде 6 точек проколотой плоскости Фано, а 4 кодовым словам сопоставить 4 прямые, не проходящие через выколотую точку (пикрелейтед справа).
Если в качестве симметрий кода мы разрешаем не только перестановки, но еще и мономиальные преобразования (перестановки, сопровождающиеся умножением на диагональную матрицу), то из отмеченной выше «симметрии Фурье» (композиция 3-цикла и диагональной матрицы) и S_4 мы получаем группу 3.A_6 (действуя на «3-цикл» «(1,2,3)» элементами «S_4» мы получаем все «3-циклы» «(1,2,i)»). Если мы разрешаем ещё и автоморфизмы поля, то, добавив «сопряжение», мы получаем 3.S_6. (Это исключительные (не спинорные) накрытия A_6 и S_6.)
Рассмотрим шестимерное линейное пространство GF(4)^6 над полем из 4 элементов: GF(4)={0, 1, ω, ω^2=ω=ω+1}=Z[ω]/(2). Множество векторов вида {(a, b, c, f(1), f(ω), f(ω^2)) | f(x) := ax^2+bx+c = ax+bx+c} (то есть две тройки, связанные преобразованием Фурье) называется гексакодом. Очевидно, что это множество является трёхмерным линейным подпространством. Это множество инвариантно относительно циклического сдвига влево первых трёх координат (a,b,c), сопровождающегося заменой f(x) на x*f(x) (симметрия преобразования Фурье), а также сопряжения всех координат, сопровождающегося перестановкой первых двух координат (это следует из второго выражения для f(x)).
Гексакоду принадлежат, например, следующие кодовые слова (векторы):
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
Принадлежность первого слова проверяется напрямую, второе слово получается из первого «симметрией Фурье», а третее слово получается из первого «сопряжением». Четвёртое слово является суммой первых трёх. Первые три слова линейно независимы и, как следствие, порождают весь код. Это множество из четырёх образующих инвариантно относительно группы чётных перестановок координат, сохраняющих разбиение {{1,2},{3,4},{5,6}}, изоморфной S_4. Как следствие, весь гексакод инвариантен относительно этих перестановок. Это действие S_4 на 6 точках можно представлять как действие S_4 на 6 рёбрах тетраэдра, при этом блокам разбиения соответствуют пары противоположных рёбер. В таком случае 4 данных кодовых слова имеют вид, изображённый пикрелейтед слева (для каждой из 4 вершин тетраэдра). Или, чтобы подчеркнуть некоторое сходство с кодом Хэмминга ( >>1892 ), можно расположить 6 координат в виде 6 точек проколотой плоскости Фано, а 4 кодовым словам сопоставить 4 прямые, не проходящие через выколотую точку (пикрелейтед справа).
Если в качестве симметрий кода мы разрешаем не только перестановки, но еще и мономиальные преобразования (перестановки, сопровождающиеся умножением на диагональную матрицу), то из отмеченной выше «симметрии Фурье» (композиция 3-цикла и диагональной матрицы) и S_4 мы получаем группу 3.A_6 (действуя на «3-цикл» «(1,2,3)» элементами «S_4» мы получаем все «3-циклы» «(1,2,i)»). Если мы разрешаем ещё и автоморфизмы поля, то, добавив «сопряжение», мы получаем 3.S_6. (Это исключительные (не спинорные) накрытия A_6 и S_6.)
>>1904
Чёрточки сожрались.
Должно быть так:
GF(4)={0, 1, ω, ω^2=ω=ω+1}=Z[ω]/(2)
{(a, b, c, f(1), f(ω), f(ω^2)) | f(x) := ax^2+bx+c = ax+bx+c}
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
Чёрточки сожрались.
Должно быть так:
GF(4)={0, 1, ω, ω^2=ω=ω+1}=Z[ω]/(2)
{(a, b, c, f(1), f(ω), f(ω^2)) | f(x) := ax^2+bx+c = ax+bx+c}
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
>>1892
>Слова веса 3 кода Хэмминга (7,4) — это прямые плоскости Фано.
Точнее, вот все слова Hamming(7,4): прямые, дополнения прямых, ноль и единица (всё пространство).
>>1881
>Тетракод обладает таким свойством: любая пара координат однозначно определяет кодовое слово (проверяется непосредственным взглядом на картинку).
Достаточно проверить, что это линейный код (это очевидно) и увидеть, что минимальный вес слова (количество ненулевых координат) равен трём.
>Слова веса 3 кода Хэмминга (7,4) — это прямые плоскости Фано.
Точнее, вот все слова Hamming(7,4): прямые, дополнения прямых, ноль и единица (всё пространство).
>>1881
>Тетракод обладает таким свойством: любая пара координат однозначно определяет кодовое слово (проверяется непосредственным взглядом на картинку).
Достаточно проверить, что это линейный код (это очевидно) и увидеть, что минимальный вес слова (количество ненулевых координат) равен трём.
Группа PSL(2,9) сидит внутри M_10:
Отождествим (Z/3)^2 с GF(9)=(Z/3)[x]/(x^2-1)=(Z/3)[i] (а бесконечность — это точка S(3,4,10), лежащая вне аффинной плоскости). Группа PSL(2,9) порождается сдвигом на 1, сдвигом на i, преобразованием -1/x. Первые два преобразования очевидно лежат в M_10, последнее преобразование (пикрелейтед слева) умноженное на (лежащее в M_10) отражение относительно вертикальной прямой даёт преобразование пикрелейтед справа наверху (или, если ещё умножить на центральную симметрию, преобразование справа внизу). То, что это преобразование лежит в M_10 (легко) проверяется непосредственно.
Отождествим (Z/3)^2 с GF(9)=(Z/3)[x]/(x^2-1)=(Z/3)[i] (а бесконечность — это точка S(3,4,10), лежащая вне аффинной плоскости). Группа PSL(2,9) порождается сдвигом на 1, сдвигом на i, преобразованием -1/x. Первые два преобразования очевидно лежат в M_10, последнее преобразование (пикрелейтед слева) умноженное на (лежащее в M_10) отражение относительно вертикальной прямой даёт преобразование пикрелейтед справа наверху (или, если ещё умножить на центральную симметрию, преобразование справа внизу). То, что это преобразование лежит в M_10 (легко) проверяется непосредственно.
>>1909
>(Z/3)[x]/(x^2-1)
x^2+1
PSL(2,7)=PSL(3,2).
PSL(2,7) — подгруппа в группе перестановок 8 точек проективной прямой над Z/7Z. Отождествим эти 8 точек с точками GF(8)=(Z/2Z)[x]/(x^3+x+1) [неразложимость для кубического многочлена эквивалентна отсутствию корней] — i из Z/7Z сопоставим x^i, а бесконечности — ноль. Проверим, что элементы PSL(2,7) перейдут в аффинные преобразования (Z/2Z)^3. Достаточно проверить это на образующих: t+1 и -1/t. Для первого это очевидно (оно переходит в умножение на x), для второго это небольшая проверка, которую мы сейчас сделаем. Преобразование, в которое переходит -1/t ноль переводит в единицу, чтобы проверить его аффинность сделаем из него линейное преобразование, взяв композицию с соответствующей трансляцией (прибавлением единицы). Проверка линейности иллюстрирована пикрелейтед.
Взяв гомоморфизм аффинных преобразований в линейные (факторизация по трансляциям) и воспользовавшись простотой PSL(2,7), а так же сравнив порядки, получаем изоморфизм PSL(2,7) —> PSL(3,2).
>(Z/3)[x]/(x^2-1)
x^2+1
PSL(2,7)=PSL(3,2).
PSL(2,7) — подгруппа в группе перестановок 8 точек проективной прямой над Z/7Z. Отождествим эти 8 точек с точками GF(8)=(Z/2Z)[x]/(x^3+x+1) [неразложимость для кубического многочлена эквивалентна отсутствию корней] — i из Z/7Z сопоставим x^i, а бесконечности — ноль. Проверим, что элементы PSL(2,7) перейдут в аффинные преобразования (Z/2Z)^3. Достаточно проверить это на образующих: t+1 и -1/t. Для первого это очевидно (оно переходит в умножение на x), для второго это небольшая проверка, которую мы сейчас сделаем. Преобразование, в которое переходит -1/t ноль переводит в единицу, чтобы проверить его аффинность сделаем из него линейное преобразование, взяв композицию с соответствующей трансляцией (прибавлением единицы). Проверка линейности иллюстрирована пикрелейтед.
Взяв гомоморфизм аффинных преобразований в линейные (факторизация по трансляциям) и воспользовавшись простотой PSL(2,7), а так же сравнив порядки, получаем изоморфизм PSL(2,7) —> PSL(3,2).
>>1909
Изоморфизм PSL(2,9)=A_6 можно доказать, отождествив 10 точек PL(9) (PL = Projective Line) с 10 разбиениями 6=3+3. Группа A_6 вкладывается в группу перестановок этих 10 разбиений. Сдвигам на 1 и i должны соответствовать два коммутирующих элемента порядка 3, то есть два коммутирующих 3-цикла. Нулю соответствует разбиение, которое эти два цикла не стабилизируют (а бесконечности — то (единственное) разбиение, которое они стабилизируют), с точностью до перенумерации точек такая конфигурация одна. Мы можем зафиксировать нумерацию точек и явно выписать соотвествие между разбиениями и точками PL(9). Проверив, что отображению -1/x соответствует перестановка (чётная инволюция, она обязана быть цикленного типа (2,2)), получим гомоморфизм PSL(2,9) —> A_6. Можно заодно проверить, что автоморфизму поля соответствует нечетная инволюция, поэтому PΣL(2,9)=S_6.
Изоморфизм PSL(2,9)=A_6 можно доказать, отождествив 10 точек PL(9) (PL = Projective Line) с 10 разбиениями 6=3+3. Группа A_6 вкладывается в группу перестановок этих 10 разбиений. Сдвигам на 1 и i должны соответствовать два коммутирующих элемента порядка 3, то есть два коммутирующих 3-цикла. Нулю соответствует разбиение, которое эти два цикла не стабилизируют (а бесконечности — то (единственное) разбиение, которое они стабилизируют), с точностью до перенумерации точек такая конфигурация одна. Мы можем зафиксировать нумерацию точек и явно выписать соотвествие между разбиениями и точками PL(9). Проверив, что отображению -1/x соответствует перестановка (чётная инволюция, она обязана быть цикленного типа (2,2)), получим гомоморфизм PSL(2,9) —> A_6. Можно заодно проверить, что автоморфизму поля соответствует нечетная инволюция, поэтому PΣL(2,9)=S_6.
Действие S_n на k-элементных подмножествах n-элементного множества примитивно, если k < n/2.
Доказательство:
Если A и B лежат в одном блоке, то, подействовав транспозицией, меняющей местами точку из разности A\B с точкой, не лежащей ни в A, ни в B, получим, что существуют A и A’, симметрическая разность которых равна 2, лежащие в одном блоке. После этого, «подействовав трансляциями» (пикрелейтед), получим, что пары множеств с произвольным размером пересечения лежат в одном блоке.
Видимо, переходом к дополнениям (коммутирующим с действием группы перестановок), получаем, что если k не равно n/2, то действие S_n на k-элементных подмножествах примитивно.
Это пример примитивного, но не 2-транзитивного действия.
Доказательство:
Если A и B лежат в одном блоке, то, подействовав транспозицией, меняющей местами точку из разности A\B с точкой, не лежащей ни в A, ни в B, получим, что существуют A и A’, симметрическая разность которых равна 2, лежащие в одном блоке. После этого, «подействовав трансляциями» (пикрелейтед), получим, что пары множеств с произвольным размером пересечения лежат в одном блоке.
Видимо, переходом к дополнениям (коммутирующим с действием группы перестановок), получаем, что если k не равно n/2, то действие S_n на k-элементных подмножествах примитивно.
Это пример примитивного, но не 2-транзитивного действия.
>>1912
Если k = n/2, то действие не примитивное: можно соединить подмножества со своими дополнениями в двухэлементные блоки.
Пикрелейтед илююстрирует два бинарных линейных кода с одинаковым количеством слов любого данного веса, но не переводящихся друг в друга перестановкой базиса. Слова кодов соотвествуют прямым, их дополнениям, нулю и единице.
Если k = n/2, то действие не примитивное: можно соединить подмножества со своими дополнениями в двухэлементные блоки.
Пикрелейтед илююстрирует два бинарных линейных кода с одинаковым количеством слов любого данного веса, но не переводящихся друг в друга перестановкой базиса. Слова кодов соотвествуют прямым, их дополнениям, нулю и единице.
Исключительное действие PSL(2,11) на 11 точках.
Рассмотрим следующее разбиение множества из 12 точек PL(11) на 6 пар:
∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6
Запомнить его очень легко: после нуля каждый следующий элемент является удвоенным предыдущим. Я утверждаю, что в орбите этого разбиения под действием PSL(2,11) 11 элементов. Во-первых, мы легко получаем 11 различных разбиений, подействовав прибавлением единицы. Эти разбиения биективны Z/11Z: разбиению, содержащему {∞, i}, сопоставляется i. В стабилизаторе разбиения находится, во-первых, умножение на 3, то есть перестановка (1,3,9,5,4)(2,6,7,10,8). Во-вторых, мы можем найти там ещё один элемент, например, прибавив 1, затем применив минус обращение, затем прибавив двойку, чтобы вернуть разбиение на место:
Минус обращение: (∞,0)(1,10)(2,5)(4,8)(6,9)(3,7).
∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6
∞ 1 | 2 3 | 5 9 | 6 0 | 10 8 | 4 7
0 10 | 5 7 | 2 6 | 9 ∞ | 1 4 | 8 3
2 1 | 7 9 | 4 8 | 0 ∞ | 3 6 | 10 5
Мы получили перестановку (0,1,7,6,5)(∞,2,9,3,10).
Теперь отождествим 12 точек PL(11) с 12 гранями додекаэдра, причём так, чтобы парам противоположных граней соответствовали блоки исходного разбиения, а двум нашим перестановкам — два 5-вращения (пикрелейтед).
Нам это удалось. Теперь видно, что в стабилизаторе разбиения не меньше 60 элементов, ведь два 5-вращения порождают всю группу вращений додекаэдра: сопрягая 5-вращение 5-вращением мы получаем все 5-вращения, а оттуда уже все элементы группы вращений, как в ( >>1269 ). Это означает, что индекс стабилизатора разбиения не больше 11, то есть в орбите разбиения не больше 11 элементов (порядок PSL(2,11) равен 60*11). Всё доказано. Обратите внимание, что аффинные преобразования из PSL(2,11) действуют на разбиения (отождествлённые с элементами Z/11Z) так же, как обычно. Кроме того, мы доказали, что стабилизатор точки при этом действии изоморфен A_5.
Рассмотрим следующее разбиение множества из 12 точек PL(11) на 6 пар:
∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6
Запомнить его очень легко: после нуля каждый следующий элемент является удвоенным предыдущим. Я утверждаю, что в орбите этого разбиения под действием PSL(2,11) 11 элементов. Во-первых, мы легко получаем 11 различных разбиений, подействовав прибавлением единицы. Эти разбиения биективны Z/11Z: разбиению, содержащему {∞, i}, сопоставляется i. В стабилизаторе разбиения находится, во-первых, умножение на 3, то есть перестановка (1,3,9,5,4)(2,6,7,10,8). Во-вторых, мы можем найти там ещё один элемент, например, прибавив 1, затем применив минус обращение, затем прибавив двойку, чтобы вернуть разбиение на место:
Минус обращение: (∞,0)(1,10)(2,5)(4,8)(6,9)(3,7).
∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6
∞ 1 | 2 3 | 5 9 | 6 0 | 10 8 | 4 7
0 10 | 5 7 | 2 6 | 9 ∞ | 1 4 | 8 3
2 1 | 7 9 | 4 8 | 0 ∞ | 3 6 | 10 5
Мы получили перестановку (0,1,7,6,5)(∞,2,9,3,10).
Теперь отождествим 12 точек PL(11) с 12 гранями додекаэдра, причём так, чтобы парам противоположных граней соответствовали блоки исходного разбиения, а двум нашим перестановкам — два 5-вращения (пикрелейтед).
Нам это удалось. Теперь видно, что в стабилизаторе разбиения не меньше 60 элементов, ведь два 5-вращения порождают всю группу вращений додекаэдра: сопрягая 5-вращение 5-вращением мы получаем все 5-вращения, а оттуда уже все элементы группы вращений, как в ( >>1269 ). Это означает, что индекс стабилизатора разбиения не больше 11, то есть в орбите разбиения не больше 11 элементов (порядок PSL(2,11) равен 60*11). Всё доказано. Обратите внимание, что аффинные преобразования из PSL(2,11) действуют на разбиения (отождествлённые с элементами Z/11Z) так же, как обычно. Кроме того, мы доказали, что стабилизатор точки при этом действии изоморфен A_5.
>>1914
Стоит отметить, что у PSL(2,11) есть два действия на 11 точках — второе получается применением внешнего «диагонального» автоморфизма PSL(2,11), то есть действием -1, которая не является квадратичным вычетом.
Группа PSL(2,p) очевидным образом действует на p+1 точке проективной прямой, и она очевидным образом не может действовать на множестве из p-1 точки, потому что порядок PSL(2,p) делится на p (в PSL(2,p) есть элемент порядка p — трансвекция), а порядок Sym(p-1) — нет.
Единственные простые p для которых PSL(2,p) действует на p точках — это p = 2, 3, 5, 7, 11 (все простые < 13).
Стоит отметить, что у PSL(2,11) есть два действия на 11 точках — второе получается применением внешнего «диагонального» автоморфизма PSL(2,11), то есть действием -1, которая не является квадратичным вычетом.
Группа PSL(2,p) очевидным образом действует на p+1 точке проективной прямой, и она очевидным образом не может действовать на множестве из p-1 точки, потому что порядок PSL(2,p) делится на p (в PSL(2,p) есть элемент порядка p — трансвекция), а порядок Sym(p-1) — нет.
Единственные простые p для которых PSL(2,p) действует на p точках — это p = 2, 3, 5, 7, 11 (все простые < 13).
>>1911
Внешний автоморфизм S_6 реализуется диагональным автоморфизмом PΣL(2,9), реализованным умножением на неквадрат, например, 1+i. Он переставляет тонкий и жирный крест пикрелейтед. Видно, что 3-цикл, соответствующий сдвигу на 1, переходит в композицию коммутирующих 3-циклов, соответствующих 1 и i, то есть в 3-цикл, соответствующий 1+i.
Внешний автоморфизм S_6 реализуется диагональным автоморфизмом PΣL(2,9), реализованным умножением на неквадрат, например, 1+i. Он переставляет тонкий и жирный крест пикрелейтед. Видно, что 3-цикл, соответствующий сдвигу на 1, переходит в композицию коммутирующих 3-циклов, соответствующих 1 и i, то есть в 3-цикл, соответствующий 1+i.
>>1916
Диагональный автоморфизм и автоморфизм поля (i -> -i) не лежат в M_10: каждый из них фиксирует одно разбиение классов параллельности, но переставляет два других. Зато их композиция лежит. Вся ситуация иллюстрируется картинкой пикрелейтед, позаимствованной из Лекция 5 | Исключительные объекты в алгебре и геометрии | Николай Вавилов | Лекториум
(которая теперь полностью доказана).
Диагональный автоморфизм и автоморфизм поля (i -> -i) не лежат в M_10: каждый из них фиксирует одно разбиение классов параллельности, но переставляет два других. Зато их композиция лежит. Вся ситуация иллюстрируется картинкой пикрелейтед, позаимствованной из Лекция 5 | Исключительные объекты в алгебре и геометрии | Николай Вавилов | Лекториум
(которая теперь полностью доказана).
Реализуем PSL(2,11) как подгруппу в M_12, построив S(5,6,12) в терминах PL(11). Блоками будут образы множества {∞,1,3,9,5,4} (бесконечность и ненулевые квадратичные вычеты) под действием PSL(2,11).
Утверждение: стабилизатор множества {∞,1,3,4,5} (в PSL(2,11)) содержится в стабилизаторе разбиения (∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6).
Доказательство:
Подействовав элементом PSL(2,11), стабилизирующим {∞,1,3,4,5}, а затем подействовав сдвигом, мы получим элемент стабилизатора (∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6), который переводит {∞,1,3,4,5} в сдвинутое {∞,1,3,4,5}. И наоборот, подействовав таким элементом стабилизатора разбиения и сдвинув, мы получим стабилизатор множества. Таким образом, нам нужно доказать, что {∞,1,3,4,5} нельзя перевести в сдвинутое {∞,1,3,4,5} вращением додекаэдра. Это лёгкая проверка (см. строчки из черных чисел пикрелейтед, нужно представлять, что слева ещё стоит бесконечность): почти все варианты сразу исключаются, потому что они содержат пару противоположных граней, а исходное множество — не содержит.
Утверждение: стабилизатор множества {1,3,4,5,9} (в PSL(2,11)) содержится в стабилизаторе разбиения (∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6).
Доказательство аналогично: нам нужно приписать нужные числа справа к уже сделанной табличке (на пикрелейтед отмечены красным), забыть про бесконечности слева, и после этого увидеть, что все варианты исключаются требованием отсутствия противоположных граней.
Утверждение: стабилизатор множества {∞,1,3,4,5,9} (в PSL(2,11)) содержится в стабилизаторе разбиения (∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6).
Доказательство: если у предыдущего утверждения все варианты исключились требованием отсутствия противоположных граней, то у этого и подавно.
Теперь доказательство теоремы завершается банальным подсчётом. Симметрий додекаэдра, стабилизирующих {∞,1,3,4,5,9}, имеется 5 штук, значит блоков у нас 660/5=132. В стабилизаторе множества {∞,1,3,4,5} только тривиальное вращение, поэтому в его орбите 660 элементов. В стабилизаторе множества {1,3,4,5,9} пять вращений, поэтому в его орбите 660/5=132 элементов. В итоге мы получили 132+660=792 пятиэлементных подмножеств, но ведь это как раз количество всех пятиэлементных подмножеств PL(12): 12.11.10.9.8 / 5.4.3.2 = 11.9.8 = 792. Поэтому любое пятиэлементное подмножество лежит в орбите этих двух => любое пятиэлементное подмножество дополняется до блока. Если мы будем последовательно двигаться по 132 блокам, ставя по метке на каждое из 6 пятиэлементных множеств, содержащихся в данном блоке, то мы используем 132*6=792 меток и покроем все пятиэлементные подмножества, значит, мы не покроем ни одного множества дважды (принцип Дирихле). Конец доказательства.
Утверждение: стабилизатор множества {∞,1,3,4,5} (в PSL(2,11)) содержится в стабилизаторе разбиения (∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6).
Доказательство:
Подействовав элементом PSL(2,11), стабилизирующим {∞,1,3,4,5}, а затем подействовав сдвигом, мы получим элемент стабилизатора (∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6), который переводит {∞,1,3,4,5} в сдвинутое {∞,1,3,4,5}. И наоборот, подействовав таким элементом стабилизатора разбиения и сдвинув, мы получим стабилизатор множества. Таким образом, нам нужно доказать, что {∞,1,3,4,5} нельзя перевести в сдвинутое {∞,1,3,4,5} вращением додекаэдра. Это лёгкая проверка (см. строчки из черных чисел пикрелейтед, нужно представлять, что слева ещё стоит бесконечность): почти все варианты сразу исключаются, потому что они содержат пару противоположных граней, а исходное множество — не содержит.
Утверждение: стабилизатор множества {1,3,4,5,9} (в PSL(2,11)) содержится в стабилизаторе разбиения (∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6).
Доказательство аналогично: нам нужно приписать нужные числа справа к уже сделанной табличке (на пикрелейтед отмечены красным), забыть про бесконечности слева, и после этого увидеть, что все варианты исключаются требованием отсутствия противоположных граней.
Утверждение: стабилизатор множества {∞,1,3,4,5,9} (в PSL(2,11)) содержится в стабилизаторе разбиения (∞ 0 | 1 2 | 4 8 | 5 10 | 9 7 | 3 6).
Доказательство: если у предыдущего утверждения все варианты исключились требованием отсутствия противоположных граней, то у этого и подавно.
Теперь доказательство теоремы завершается банальным подсчётом. Симметрий додекаэдра, стабилизирующих {∞,1,3,4,5,9}, имеется 5 штук, значит блоков у нас 660/5=132. В стабилизаторе множества {∞,1,3,4,5} только тривиальное вращение, поэтому в его орбите 660 элементов. В стабилизаторе множества {1,3,4,5,9} пять вращений, поэтому в его орбите 660/5=132 элементов. В итоге мы получили 132+660=792 пятиэлементных подмножеств, но ведь это как раз количество всех пятиэлементных подмножеств PL(12): 12.11.10.9.8 / 5.4.3.2 = 11.9.8 = 792. Поэтому любое пятиэлементное подмножество лежит в орбите этих двух => любое пятиэлементное подмножество дополняется до блока. Если мы будем последовательно двигаться по 132 блокам, ставя по метке на каждое из 6 пятиэлементных множеств, содержащихся в данном блоке, то мы используем 132*6=792 меток и покроем все пятиэлементные подмножества, значит, мы не покроем ни одного множества дважды (принцип Дирихле). Конец доказательства.
>>1909
>умноженное на (лежащее в M_10) отражение относительно вертикальной прямой даёт преобразование пикрелейтед справа наверху (или, если ещё умножить на центральную симметрию, преобразование справа внизу)
Неправильно: оба эти преобразования не лежат в M_10!
Но если умножить на отражение относительно вертикальной прямой, а потом на «поворот на 90 градусов mod 3» ( >>1916 ), то полученная композиция будет лежать в M_10 ( >>1917 ), а эффект будет тот же.
>умноженное на (лежащее в M_10) отражение относительно вертикальной прямой даёт преобразование пикрелейтед справа наверху (или, если ещё умножить на центральную симметрию, преобразование справа внизу)
Неправильно: оба эти преобразования не лежат в M_10!
Но если умножить на отражение относительно вертикальной прямой, а потом на «поворот на 90 градусов mod 3» ( >>1916 ), то полученная композиция будет лежать в M_10 ( >>1917 ), а эффект будет тот же.
Читаю сейчас книгу Роберта Арнота Уилсона «Конечные простые группы». Господи, какая же красивая теория. Изоморфизм A_8 с Ω(+,6,2) доказывается так же, как S_6 = Sp(4,2) >>1392 [более того, они (как-то) согласованы]: с помощью рассмотрения стандартного представления перестановками базиса, потом редукции по очевидному инвариантному вектору. При этом там появляется квадратичная форма в характеристике 2, относительно которой векторы веса 4 изотропны. Расширенный бинарный код Хэмминга (аффинные плоскости в AG(3,2)) определяет тотально изотропное подпространство, поэтому плюс-тип. Потом применяется соответствие Клейна, согласно которому PSL(4,q)=PΩ(+,6,q). Это соответствие — это взятие второй внешней степени, оно соответствует тому, что прямые в трёхмерном проективном пространстве образуют квадрику в пятимерном проективном пространстве: квадрику Клейна/Плюккера (что-то вроде обобщённого гиперболоида с двумя семествами параллельных прямых). Это ещё соответствует тому, что A_3 = D_3 (что соответствует тетраэдру, вписанному в куб)! Мы получаем, что 35 разбиений 8=4+4 соответствуют 35 семействам параллельных плоскостей в AG(4,2), а это соответствует Miracle Octad Generator http://finitegeometry.org/sc/24/MOG.html , с её октадами, додекадами, секстетами и тетрадами. [Получается, что M_24 связана и с PSL(4,2) (соответствующей PG(3,2)), и с PSL(3,4) (соответствующей PG(2,4)). Вроде, это две единственные конечные простые группы с совпадающими порядками (они не изоморфны, потому что центры силовских 2-подгрупп не изоморфны).] Видимо, это связано и с тем, что код Голея порождается словами вида (a,a,0), (0,b,b), (x,x,x), где a,b — слова расширенного кода Хэмминга, а x — слово кода Хэмминга, в котором сначала обратили порядок следования букв и только потом расширили (конструкция Тюрина???). Соответствие Клейна ещё связано с тройственностью. Изучать и изучать.
Пик(релейтед?) — твисторное расслоение / обобщённое расслоение Хопфа.
Пик(релейтед?) — твисторное расслоение / обобщённое расслоение Хопфа.
Действие PSL(2,7) на 7 точках, приходящее из изоморфизма PSL(2,7)=PSL(3,2), можно описать в таком же стиле, как >>1914 действие PSL(2,11) на 11 точках: это действие на орбите разбиения (∞ 0 | 1 3 | 2 6 | 4 5) (после нуля последовательное умножение на 3). Эти числа располагаются в вершинах куба и т. д. Связь с конструкцией >>1910 изоморфизма PSL(2,7)=PSL(3,2) устанавливается так: действие на разбиение совпадает с действием на соответствующую инволюцию, которой (благодаря биекции PL(11) <—> AG(3,2)) соответствует трансляция на 1 в GF(8).
Пик нерелейтед (это алгебра Клиффорда).
Пик нерелейтед (это алгебра Клиффорда).
Отождествить PL(5) с 6 парами противоположных граней додекаэдра проще простого. Трансвекция t ↦ t+1 — это элемент порядка 5, ей должно соответствовать 5-вращение. Этим картинка определяется однозначно. Отображению t ↦ -1/t соответствует 2-вращение (связанное с ребром, отмеченным жирным).
Примеры силовских p-подгрупп и их нормализаторов.
В GL(2,q), где q=p^n, группа верхних унитреугольных матриц является силовской p-подгруппой, а группа верхнетреугольных матриц — её нормализатором (так как нормализатор подгруппы переводит в себя её множество фиксированных точек). Вообще, группа верхних унитреугольных матриц является силовской p-подгруппой в GL(n,q), где q=p^n, а группа верхнетреугольных матриц — её нормализатором (группа верхнетреугольных матриц — это стабилизатор максимального флага, нормализатор подгруппы переводит инвариантные подпространства в инвариантные подпространства, существует единственное k-мерное подпространство, инвариантное относительно действия верхних унитреугольных матриц, потому что под их действием вектор с ненулевой m-той координатой порождает по крайней мере m-мерное подпространство).
В группе вращений додекаэдра, имеющей порядок 60 = 2^2.3.5, силовские 5-подгруппы — это стабилизаторы граней, их нормализируют 2-вращения, переводящие две противоположные (стабизируемые) грани друг в друга, что даёт нормализаторы индекса 6 (количество пар противоположных граней). Силовские 3-подгруппы — это 3-вращения, это даёт 20 силовских 3-подгрупп (количество вершин), то есть они самонормализуемы. Силовские 2-подгруппы — это четверные группы, реализованные тремя 2-вращениями вписанных кубов вдоль осей, проходящих через центры их граней, а их нормализаторы — это полные стабилизаторы кубов, включающие в себя 3-вращения вокруг вершин. Они имеют индекс 5 (количество вписанных кубов).
В GL(2,q), где q=p^n, группа верхних унитреугольных матриц является силовской p-подгруппой, а группа верхнетреугольных матриц — её нормализатором (так как нормализатор подгруппы переводит в себя её множество фиксированных точек). Вообще, группа верхних унитреугольных матриц является силовской p-подгруппой в GL(n,q), где q=p^n, а группа верхнетреугольных матриц — её нормализатором (группа верхнетреугольных матриц — это стабилизатор максимального флага, нормализатор подгруппы переводит инвариантные подпространства в инвариантные подпространства, существует единственное k-мерное подпространство, инвариантное относительно действия верхних унитреугольных матриц, потому что под их действием вектор с ненулевой m-той координатой порождает по крайней мере m-мерное подпространство).
В группе вращений додекаэдра, имеющей порядок 60 = 2^2.3.5, силовские 5-подгруппы — это стабилизаторы граней, их нормализируют 2-вращения, переводящие две противоположные (стабизируемые) грани друг в друга, что даёт нормализаторы индекса 6 (количество пар противоположных граней). Силовские 3-подгруппы — это 3-вращения, это даёт 20 силовских 3-подгрупп (количество вершин), то есть они самонормализуемы. Силовские 2-подгруппы — это четверные группы, реализованные тремя 2-вращениями вписанных кубов вдоль осей, проходящих через центры их граней, а их нормализаторы — это полные стабилизаторы кубов, включающие в себя 3-вращения вокруг вершин. Они имеют индекс 5 (количество вписанных кубов).
Оставлю тут иллюстрацию к внешнему автоморфизму S_6.
>>1926
Два разбиения шести точек на три пары по две точки, не имеющие общей пары, могут быть расположены единственным образом (с точностью до перестановки точек). Стабилизатором такой конфигурации является диэдральная группа из 12 элементов. Такая конфигурация однозначным образом достраивается до разбиения множества всех 15 пар точек на 5 разбиений по 3 пары в каждом. Поэтому таких пятёрок разбиений 6.5.4.3.2 / 12.5.2 = 6 штук. Группа перестановок 6 точек действует на 6 пятёрках разбиений, при этом никакая транспозиция не стабилизирует пятёрку, поэтому транспозиции переходят в инволюции без фиксированных точек.
Два разбиения шести точек на три пары по две точки, не имеющие общей пары, могут быть расположены единственным образом (с точностью до перестановки точек). Стабилизатором такой конфигурации является диэдральная группа из 12 элементов. Такая конфигурация однозначным образом достраивается до разбиения множества всех 15 пар точек на 5 разбиений по 3 пары в каждом. Поэтому таких пятёрок разбиений 6.5.4.3.2 / 12.5.2 = 6 штук. Группа перестановок 6 точек действует на 6 пятёрках разбиений, при этом никакая транспозиция не стабилизирует пятёрку, поэтому транспозиции переходят в инволюции без фиксированных точек.
>>1920
Опять неправильно. Проще напрямую проверить, что x ↦ -1/x сохраняет блоки.
Опять неправильно. Проще напрямую проверить, что x ↦ -1/x сохраняет блоки.
>>1883
Понять, что расширения S(1,2,8) < S(2,3,9) параметризуются симметриями чёрного квадрата очень легко. Сначала мы доказываем единственность расширения с точностью до изоморфизма, затем, применив линейное преобразование, можно считать, что все белые точки фиксированы. The end. Это же рассуждение показывает, что аффинная группа совпадает с группой автоморфизмов S(2,3,9).
Теперь всё доказательство приведено в естественную форму.
Блоки соответствуют прямым, четырёхугольникам, дополнениям четырёхугольников, дополнениям прямых.
Понять, что расширения S(1,2,8) < S(2,3,9) параметризуются симметриями чёрного квадрата очень легко. Сначала мы доказываем единственность расширения с точностью до изоморфизма, затем, применив линейное преобразование, можно считать, что все белые точки фиксированы. The end. Это же рассуждение показывает, что аффинная группа совпадает с группой автоморфизмов S(2,3,9).
Теперь всё доказательство приведено в естественную форму.
Блоки соответствуют прямым, четырёхугольникам, дополнениям четырёхугольников, дополнениям прямых.
>>1933
Всё, нашел хорошее решение. Переобозначив две фиксированные точки как бесконечность и ноль, мы сразу видим, что наше преобразование — это минус. Нам не нужно точно восстанавливать структуру аффинной плоскости на дополнении к бесконечности, достаточно увидеть противоположные точки, а это делается взглядом.
Всё, нашел хорошее решение. Переобозначив две фиксированные точки как бесконечность и ноль, мы сразу видим, что наше преобразование — это минус. Нам не нужно точно восстанавливать структуру аффинной плоскости на дополнении к бесконечности, достаточно увидеть противоположные точки, а это делается взглядом.
Попытался что-то сделать с латексом.
>>1939
Ещё более новая версия. Если кто-то обнаружит опечатки, что-то поймёт / что-то не поймёт — говорите.
Ещё более новая версия. Если кто-то обнаружит опечатки, что-то поймёт / что-то не поймёт — говорите.
Всё. Более-менее стабильная версия.
>>1911
Иллюстрировал эту проверку. В качестве двух 3-циклов возьмём (1,2,3) и (4,5,6). В качестве нуля — разбиение (124 | 356). Будем изображать только одну тройку из разбиения. Понять, какая инволюция типа (2,2) соответствует x ↦ -1/x можно по фиксированным точкам 125 и 126 — это (1,2)(3,4). Кроме того, очевидно, что автоморфизму поля соответствует (5,6).
Иллюстрировал эту проверку. В качестве двух 3-циклов возьмём (1,2,3) и (4,5,6). В качестве нуля — разбиение (124 | 356). Будем изображать только одну тройку из разбиения. Понять, какая инволюция типа (2,2) соответствует x ↦ -1/x можно по фиксированным точкам 125 и 126 — это (1,2)(3,4). Кроме того, очевидно, что автоморфизму поля соответствует (5,6).
>>1264
>Икосаэдр, вписанный в октаэдр (стороны делятся в золотом сечении).
Кстати, то, что икосаэдр можно таким образом вписать в тетраэдр, очевидно из соображений непрерывности: где-то в промежутке между треугольном с чёрными вершинами и треугольником с белыми вершинами будет равносторонний треугольник.
>>1892
>Плоскость Фано.
Интересная деталь насчет плоскости Фано: стабилизатор точки изоморфен S_4, но в её действии на 6 рёбрах тетраэдра. Прямые плоскости Фано, не проходящие через фиксированнную точку, соответствуют граням тетраэдра, а противоположные точки — противоположным ребрам.
>Икосаэдр, вписанный в октаэдр (стороны делятся в золотом сечении).
Кстати, то, что икосаэдр можно таким образом вписать в тетраэдр, очевидно из соображений непрерывности: где-то в промежутке между треугольном с чёрными вершинами и треугольником с белыми вершинами будет равносторонний треугольник.
>>1892
>Плоскость Фано.
Интересная деталь насчет плоскости Фано: стабилизатор точки изоморфен S_4, но в её действии на 6 рёбрах тетраэдра. Прямые плоскости Фано, не проходящие через фиксированнную точку, соответствуют граням тетраэдра, а противоположные точки — противоположным ребрам.
Того, что было сказано, достаточно, чтобы отождествить действия на вершинах, рёбрах и гранях платоновых тел.
>>1947
Не лучшая картинка. Достаточно сказать следующее: если мы рассмотрим множество из шести пар противоположных граней додекаэдра, то рёбра додекаэдра естественным образом соответствуют парам элементов этого множества, а вершины додекаэдра — разбиениям 3+3.
Не лучшая картинка. Достаточно сказать следующее: если мы рассмотрим множество из шести пар противоположных граней додекаэдра, то рёбра додекаэдра естественным образом соответствуют парам элементов этого множества, а вершины додекаэдра — разбиениям 3+3.
Почему не запилить такой канал в телеге, чтобы выкладывать туда все эти тексты с картинками? Имиджбордостан -- это круто, но так можно большему количеству людей информацию донести, да и в принципе привлечь
>>1961
Выкладывать в место, где надо зарегистрироваться, чтобы посмотреть (если не ошибаюсь)? Неэтично.
Да и нечего особо выкладывать уже.
Выкладывать в место, где надо зарегистрироваться, чтобы посмотреть (если не ошибаюсь)? Неэтично.
Да и нечего особо выкладывать уже.
Ты сумасшедший или да?
Ну что. Вроде неплохо получается.
Гайды по быстрому вкатыванию.
Vim: наберите vimtutor в командной строке.
TeX: https://www.overleaf.com/learn
Vim: наберите vimtutor в командной строке.
TeX: https://www.overleaf.com/learn
Просто оставлю это здесь (для себя) --- очень уж угарно пишет. Заметка про экзамены --- на мой взгляд --- идеально отражает моральную базу классической(их? как правильно?) школы и университета.
http://www.vofem.ru/ru/authors/260/
http://www.vofem.ru/ru/authors/260/
>>1209
Пусть у нас есть поверхность.
Во-первых, на какие многоугольники можно резать?
Во-вторых, сколько их будет?
Пусть у нас есть поверхность.
Во-первых, на какие многоугольники можно резать?
Во-вторых, сколько их будет?
Я правильно понимаю, что „инвертор с 3-мя состояниями“ — это ключ из двух транзисторов, последовательно соединённый с инвертором (тоже из двух транзисторов)?
Неожиданное открытие: чтобы начать печатать слепым десятипальцевым методом надо просто начать печатать слепым десятипальцевым методом.
Извиняюс зарание если здесь ни кстати, а то спишу на работу (не торопясь), и пришлось написать:
Языки неправельно учат. Начинают с правописании, что безумно скучно. Я обычно иду сразу на лексику, потому что правописание можно--и менее скучно (на самом деле, скука правописания просто менее заметна)--изучать по надобности требующих слов; и одновременно грамматику, потому что для меня одного без другого бессмысленно и не привязываются в разум без друг друга. Существуют ли курсы языков такого вида, где показывают слово, обясняют структуру, произхожденние данного слова, правописательные единицы существующие в данном слове и их значения (фонетические), и естественно значение его, потом ещё слово, и ещё, включая обсужденния грамматические между прочем, закончивая на том что всё это было произведения стихотворительной классики народа данного языка, который после всего этого невозможно забыть?
Языки неправельно учат. Начинают с правописании, что безумно скучно. Я обычно иду сразу на лексику, потому что правописание можно--и менее скучно (на самом деле, скука правописания просто менее заметна)--изучать по надобности требующих слов; и одновременно грамматику, потому что для меня одного без другого бессмысленно и не привязываются в разум без друг друга. Существуют ли курсы языков такого вида, где показывают слово, обясняют структуру, произхожденние данного слова, правописательные единицы существующие в данном слове и их значения (фонетические), и естественно значение его, потом ещё слово, и ещё, включая обсужденния грамматические между прочем, закончивая на том что всё это было произведения стихотворительной классики народа данного языка, который после всего этого невозможно забыть?
>>2005
Да.
Ты ставишь пальцы так, чтобы указательные были на засечках и вперёд. Сначала медленно и с ошибками, но там мало клавиш, для памяти это ничего, они сами запоминаются.
Ну, как ты научился быстро печатать? Просто печатал и всё. Так и тут.
Не знаю, насколько это легально с точки зрения "высокой науки" (если она тут есть), но вроде работает.
Да.
Ты ставишь пальцы так, чтобы указательные были на засечках и вперёд. Сначала медленно и с ошибками, но там мало клавиш, для памяти это ничего, они сами запоминаются.
Ну, как ты научился быстро печатать? Просто печатал и всё. Так и тут.
Не знаю, насколько это легально с точки зрения "высокой науки" (если она тут есть), но вроде работает.
Приведение матрицы к треугольному виду называется тригонализация, а не триангуляция.
>>1217
Проще запомнить/увидеть это так: если разрезать бутылку Клейна вдоль пополам, то получатся две ленты Мёбиуса.
>>1276
Чуть лучше:
Движение в центральном поле.
Для движения в радиально направленном поле верен второй закон Кеплера
сохранения момента --- нужно просто продифференцировать векторное произведение
радиус-вектора и вектора скорости.
Теперь предположим, что поле полностью сферически симметрично. Тогда оно,
очевидно, потенциально (является градиентом функции).
Мы знаем тангенциальную компоненту скорости как функцию от расстояния
благодаря закону сохранения момента. Как следствие, мы знаем и нормальную
компоненту скорости как функцию от расстояния (воспользовавшись законом
сохранения энергии).
Проинтегрировав d \phi / dr = f(r), получаем орбиту (эллипс для гравитации).
Проще запомнить/увидеть это так: если разрезать бутылку Клейна вдоль пополам, то получатся две ленты Мёбиуса.
>>1276
Чуть лучше:
Движение в центральном поле.
Для движения в радиально направленном поле верен второй закон Кеплера
сохранения момента --- нужно просто продифференцировать векторное произведение
радиус-вектора и вектора скорости.
Теперь предположим, что поле полностью сферически симметрично. Тогда оно,
очевидно, потенциально (является градиентом функции).
Мы знаем тангенциальную компоненту скорости как функцию от расстояния
благодаря закону сохранения момента. Как следствие, мы знаем и нормальную
компоненту скорости как функцию от расстояния (воспользовавшись законом
сохранения энергии).
Проинтегрировав d \phi / dr = f(r), получаем орбиту (эллипс для гравитации).
У большинства вещей из этого треда крайне ограниченное применение, они не несут никакой практической пользы, проще говоря - бесполезны.
Экспериментальный способ организации материала: небольшие блоки, соединённые
слабыми связями.
Что имеется в виду. Вместо гиперссылок мы указываем, что между таким-то и
таким-то блоком имеется связь. Не уточняем, слабая или сильная, не уточняем
какая.
Идея делать PDFки из (La)TeXа что-то не нравится (тяжеловесно, пижонисто,
недемократично). Как язык для записи формул --- ок. Plain text + картинки ---
зе бест.
>>2043
У БОЛЬШИНСТВА???!!!
То есть что-то тебе показалось полезным? Что?
слабыми связями.
Что имеется в виду. Вместо гиперссылок мы указываем, что между таким-то и
таким-то блоком имеется связь. Не уточняем, слабая или сильная, не уточняем
какая.
Идея делать PDFки из (La)TeXа что-то не нравится (тяжеловесно, пижонисто,
недемократично). Как язык для записи формул --- ок. Plain text + картинки ---
зе бест.
>>2043
У БОЛЬШИНСТВА???!!!
То есть что-то тебе показалось полезным? Что?
Текстовая версия Кернигана & Ритчи.
Это не .pdf, а .txt в koi8-r.
Это не .pdf, а .txt в koi8-r.
>>1209 и дальше.
Переписал этот сюжет единым текстом:
Топологическая классификация компактных поверхностей.
Разрезаем поверхность на конечное число многоугольников и начинаем склеивать
обратно. Представляем себе не многоугольники, а сферы с дырками.
На рисунках 1, 2, 3, 4 изображены, соответственно, случаи
1. двух "противоположно ориентирующих" сторон на одной дыре;
2. двух "одинаково ориентирующих" сторон на одной дыре (это приклеивание
проективной плоскости);
3. двух "противоположно ориентирующих" сторон на разных дырах, располагающихся,
тем не менее, на одной связной компоненте (это приклеивание ручки);
4. двух "одинаково ориентирующих" сторон на разных дырах, располагающихся на
одной связной компоненте (это приклеивание "ручки Клейна").
В случае двух дыр на разных компонентах связности мы просто соединяем их
трубочкой, наподобие случая 3.
На каждом шаге получаются сферы с дырками, ручками, ручками Клейна и
проективными плоскостями. В конце концов мы избавимся от всех пар
неотождествлённых сторон.
Ручка Клейна = две проективные плоскости (если разрезать бутылку Клейна
вдоль пополам, то получатся две ленты Мёбиуса: рисунок 5).
В присутствии проективной плоскости ручка = ручка Клейна, потому что
1. они обе получаются склеиванием пары отверстий, но по-разому
ориентированных;
2. если провести отверстие по ленте Мёбиуса, то оно поменяет ориентацию.
Убираем ручки Клейна, превращая их в проективные плоскости.
В итоге останутся только проективные плоскости и ручки.
Если проективных плоскостей ненулевое число, то превращаем ручки в ручки
Клейна.
Ручки Клейна снова превращаем в проективные плоскости.
В итоге останутся только ручки или только проективные плоскости.
Эти случаи различаются эйлеровой характеристикой и ориентируемостью.
Переписал этот сюжет единым текстом:
Топологическая классификация компактных поверхностей.
Разрезаем поверхность на конечное число многоугольников и начинаем склеивать
обратно. Представляем себе не многоугольники, а сферы с дырками.
На рисунках 1, 2, 3, 4 изображены, соответственно, случаи
1. двух "противоположно ориентирующих" сторон на одной дыре;
2. двух "одинаково ориентирующих" сторон на одной дыре (это приклеивание
проективной плоскости);
3. двух "противоположно ориентирующих" сторон на разных дырах, располагающихся,
тем не менее, на одной связной компоненте (это приклеивание ручки);
4. двух "одинаково ориентирующих" сторон на разных дырах, располагающихся на
одной связной компоненте (это приклеивание "ручки Клейна").
В случае двух дыр на разных компонентах связности мы просто соединяем их
трубочкой, наподобие случая 3.
На каждом шаге получаются сферы с дырками, ручками, ручками Клейна и
проективными плоскостями. В конце концов мы избавимся от всех пар
неотождествлённых сторон.
Ручка Клейна = две проективные плоскости (если разрезать бутылку Клейна
вдоль пополам, то получатся две ленты Мёбиуса: рисунок 5).
В присутствии проективной плоскости ручка = ручка Клейна, потому что
1. они обе получаются склеиванием пары отверстий, но по-разому
ориентированных;
2. если провести отверстие по ленте Мёбиуса, то оно поменяет ориентацию.
Убираем ручки Клейна, превращая их в проективные плоскости.
В итоге останутся только проективные плоскости и ручки.
Если проективных плоскостей ненулевое число, то превращаем ручки в ручки
Клейна.
Ручки Клейна снова превращаем в проективные плоскости.
В итоге останутся только ручки или только проективные плоскости.
Эти случаи различаются эйлеровой характеристикой и ориентируемостью.
>>1220 и дальше.
Инверсия переводит окружности в окружности.
Стереографическая проекция переводит инверсию в отражение относительно
экваториальной плоскости. Доказательство очевидно (рис. 1).
При стереографической проекции окружности переходят в окружности.
Доказательство. Посмотрим на конус, образованный лучами проекции, проходящими
через окружность. Мы видим два симметрично наклонённых сечения (рис. 2).
Если одно из них --- окружность, то и другое --- окружность.
Инверсия переводит окружности в окружности.
Стереографическая проекция переводит инверсию в отражение относительно
экваториальной плоскости. Доказательство очевидно (рис. 1).
При стереографической проекции окружности переходят в окружности.
Доказательство. Посмотрим на конус, образованный лучами проекции, проходящими
через окружность. Мы видим два симметрично наклонённых сечения (рис. 2).
Если одно из них --- окружность, то и другое --- окружность.
>>2044
>У БОЛЬШИНСТВА???!!!
Я сделал такое допущение, так как есть шансы, что кое-что отсюда имеет применение в обывательском мире, но я слишком невежественен, чтобы знать это наверняка.
>У БОЛЬШИНСТВА???!!!
Я сделал такое допущение, так как есть шансы, что кое-что отсюда имеет применение в обывательском мире, но я слишком невежественен, чтобы знать это наверняка.
Все последние картинки сделаны с помощью дешмановского графического планшета за
3500 руб. и GIMP, с нулевым опытом рисования.
3500 руб. и GIMP, с нулевым опытом рисования.
>>1518
Попытался собрать во что-то когерентное и вменяемое рассказ про вектора Витта.
https://pastebin.com/NVwa8ZJ0
(Это мои попытки понять статью в Википедии.)
Errata: на строке 162 вместо X^k нужно X^(k).
Попытался собрать во что-то когерентное и вменяемое рассказ про вектора Витта.
https://pastebin.com/NVwa8ZJ0
(Это мои попытки понять статью в Википедии.)
Errata: на строке 162 вместо X^k нужно X^(k).
>>2059
Ок, запощу ещё и сюда.
Векторы Витта и p-адические числа
=============================
Сначала докажем два утверждения.
Утверждение 1. Лемма Гензеля.
Если у нас есть решение сравнения f(x)=0 (mod p^n), где f --- многочлен с
целочисленными коэффициентами и f'(x) =/= 0 (mod p), то мы можем поднять его
до решения mod p^{n+1}, причём единственным образом.
(Тавтологическое) доказательство.
f(x)=0 (mod p^n) <=> f(x)=ap^n
Поменять x так, чтобы его класс mod p^n не изменился <=> добавить к нему bp^n.
f(x+bp^n) =
f(x)+f'(x)bp^n mod p^{n+1} =
ap^n+f'(x)bp^n mod p^{n+1} =
(a+f'(x)b)p^n mod p^{n+1}
Поэтому, сократив на p^n, получаем, что
f(x+bp^n)=0 (mod p^{n+1}) <=> a+f'(x)b=0 (mod p).
Если f'(x) =/= 0 (mod p), то отсюда мы однозначно восстанавливаем b.
Утверждение 2. a=b (mod p) => a^{p^n}=b^{p^n} (mod p^{n+1})
Очевидным образом доказывается по индукции.
Благодаря лемме Гензеля мы можем найти для каждого a_0 из Z/pZ p-адическое число
{a_0}+{a_1}p+{a_2}p^2+..., удовлетворяющее уравнению x^p=x. Оно называется
представителем Тейхмюллера для a_0. Очевидно, что p-адические числа можно
раскладывать в ряды по представителям Тейхмюллера: {t_0}+{t_1}p+{t_2}p^2+...,
где {t_i}^p = t_i.
Утверждение, которые мы собираемся доказать, такое: если связать с каждым
p-адическим числом последовательность элементов из Z/pZ, отвечающих
коэффициентам его разложения по представителям Тейхмюллера, то сложение и
умножение p-адических чисел описывается полиномиальными формулами с целыми
коэффициентами.
Рассмотрим p-адические числа
a={a_0}+{a_1}p+{a_2}p^2+...,
b={b_0}+{b_1}p+{b_2}p^2+...,
c={c_0}+{c_1}p+{c_2}p^2+...,
где a_i, b_i, c_i --- представители Тейхмюллера.
Условие, что c=a+b, можно записать так:
\sum_{i=0}^n c_i p^i =
\sum_{i=0}^n a_i p^i +
\sum_{i=0}^n b_i p^i mod p^(n+1)
\forall n
Учитывая, что a_i, b_i, c_i --- представители Тейхмюллера, это можно
переписать так:
\sum_{i=0}^n {c_i}^{p^{n-i}} p^i =
\sum_{i=0}^n {a_i}^{p^{n-i}} p^i +
\sum_{i=0}^n {b_i}^{p^{n-i}} p^i mod p^(n+1)
\forall n
А эти условия уже не зависят от того, какие поднятия элементов из Z/pZ мы
используем, благодаря утверждению 2 (то есть они зависят только от классов
a_i, b_i, c_i mod p).
Мы выразим {c_i}ые в виде многочленов с целыми коэффициентами от
{a_i}ых и {b_i}ых таким образом, что равенства
\sum_{i=0}^n {c_i}^{p^{n-i}} p^i =
\sum_{i=0}^n {a_i}^{p^{n-i}} p^i +
\sum_{i=0}^n {b_i}^{p^{n-i}} p^i
\forall n
будут выполнятся тождественно в кольце многочленов Z[a_0, a_1,... b_0, b_1,...].
Для умножения всё то же самое.
Тогда наше утверждение будет доказано.
Перед тем, как двигаться дальше, сделаем очевидное
Утверждение 3. d/dt log (1+t+t^2+...) = 1+t+t^2+...
Рассмотрим произвольное кольцо R. Будем называть последовательности его
элементов (X_1, X_2, ...) векторами Витта, а
X^{(n)} := \sum_{d|n} d X_{d}^{n/d} --- их призрачными компонентами.
Мы хотим определить полиномиальные формулы сложения и умножения векторов
Витта, которые переходят в покоэффициентное сложение и умножение для их
призрачных компонент:
X^{(i)} + Y^{(i)} = (X + Y)^{(i)},
X^{(i)} Y^{(i)} = (XY)^{(i)}.
Рассмотрим формальный ряд
\prod_{n \geq 1} (1 - X_n t^n)
Его коэффициенты и X_n восстанавливаются друг из друга по индукции как
многочлены с целыми коэффициентами.
Тогда
-t d/dt log \prod_{n \geq 1} (1 - X_n t^n) = \sum_{m \geq 1} X^{(m)} t^m
(Это легко увидеть, зная, например, утверждение 3.)
Теперь очевидно, как определить сложение --- это умножение рядов.
Определить умножение тоже не очень трудно.
[d,e] := lcm(d,e)
\sum_{m \geq 1; d,e | m}
d X_{d}^{m/d} e Y_{e}^{m/e} t^m =
\sum_{n,d,e \geq 1}
de (X_{d}^{[d,e]/d} Y_{e}^{[d,e]/e} t^{[d,e]})^n =
-t d/dt log \prod_{d,e \geq 1}
(1 - X_{d}^{[d,e]/d} Y_{e}^{[d,e]/e} t^{[d,e]})^{de/[d,e]}
(Первое равенство --- тавтология. Второе равенство легко увидеть, зная
утверждение 3.)
Обычные компоненты X_n и призрачные компоненты X^{(n)} легко восстанавливаются
друг из друга по индукции, только там возникают знаменатели. Мы делали то, что
делали, чтобы убедиться, что знаменатели сократятся.
X_{p^i} зависят только от X^{(p^j)}, и наоборот.
Взяв только эти компоненты, мы получим "p-типические" векторы Витта, которые и
дадут нам p-адические числа (если в качестве кольца коэффициентов взять Z/pZ).
Ок, запощу ещё и сюда.
Векторы Витта и p-адические числа
=============================
Сначала докажем два утверждения.
Утверждение 1. Лемма Гензеля.
Если у нас есть решение сравнения f(x)=0 (mod p^n), где f --- многочлен с
целочисленными коэффициентами и f'(x) =/= 0 (mod p), то мы можем поднять его
до решения mod p^{n+1}, причём единственным образом.
(Тавтологическое) доказательство.
f(x)=0 (mod p^n) <=> f(x)=ap^n
Поменять x так, чтобы его класс mod p^n не изменился <=> добавить к нему bp^n.
f(x+bp^n) =
f(x)+f'(x)bp^n mod p^{n+1} =
ap^n+f'(x)bp^n mod p^{n+1} =
(a+f'(x)b)p^n mod p^{n+1}
Поэтому, сократив на p^n, получаем, что
f(x+bp^n)=0 (mod p^{n+1}) <=> a+f'(x)b=0 (mod p).
Если f'(x) =/= 0 (mod p), то отсюда мы однозначно восстанавливаем b.
Утверждение 2. a=b (mod p) => a^{p^n}=b^{p^n} (mod p^{n+1})
Очевидным образом доказывается по индукции.
Благодаря лемме Гензеля мы можем найти для каждого a_0 из Z/pZ p-адическое число
{a_0}+{a_1}p+{a_2}p^2+..., удовлетворяющее уравнению x^p=x. Оно называется
представителем Тейхмюллера для a_0. Очевидно, что p-адические числа можно
раскладывать в ряды по представителям Тейхмюллера: {t_0}+{t_1}p+{t_2}p^2+...,
где {t_i}^p = t_i.
Утверждение, которые мы собираемся доказать, такое: если связать с каждым
p-адическим числом последовательность элементов из Z/pZ, отвечающих
коэффициентам его разложения по представителям Тейхмюллера, то сложение и
умножение p-адических чисел описывается полиномиальными формулами с целыми
коэффициентами.
Рассмотрим p-адические числа
a={a_0}+{a_1}p+{a_2}p^2+...,
b={b_0}+{b_1}p+{b_2}p^2+...,
c={c_0}+{c_1}p+{c_2}p^2+...,
где a_i, b_i, c_i --- представители Тейхмюллера.
Условие, что c=a+b, можно записать так:
\sum_{i=0}^n c_i p^i =
\sum_{i=0}^n a_i p^i +
\sum_{i=0}^n b_i p^i mod p^(n+1)
\forall n
Учитывая, что a_i, b_i, c_i --- представители Тейхмюллера, это можно
переписать так:
\sum_{i=0}^n {c_i}^{p^{n-i}} p^i =
\sum_{i=0}^n {a_i}^{p^{n-i}} p^i +
\sum_{i=0}^n {b_i}^{p^{n-i}} p^i mod p^(n+1)
\forall n
А эти условия уже не зависят от того, какие поднятия элементов из Z/pZ мы
используем, благодаря утверждению 2 (то есть они зависят только от классов
a_i, b_i, c_i mod p).
Мы выразим {c_i}ые в виде многочленов с целыми коэффициентами от
{a_i}ых и {b_i}ых таким образом, что равенства
\sum_{i=0}^n {c_i}^{p^{n-i}} p^i =
\sum_{i=0}^n {a_i}^{p^{n-i}} p^i +
\sum_{i=0}^n {b_i}^{p^{n-i}} p^i
\forall n
будут выполнятся тождественно в кольце многочленов Z[a_0, a_1,... b_0, b_1,...].
Для умножения всё то же самое.
Тогда наше утверждение будет доказано.
Перед тем, как двигаться дальше, сделаем очевидное
Утверждение 3. d/dt log (1+t+t^2+...) = 1+t+t^2+...
Рассмотрим произвольное кольцо R. Будем называть последовательности его
элементов (X_1, X_2, ...) векторами Витта, а
X^{(n)} := \sum_{d|n} d X_{d}^{n/d} --- их призрачными компонентами.
Мы хотим определить полиномиальные формулы сложения и умножения векторов
Витта, которые переходят в покоэффициентное сложение и умножение для их
призрачных компонент:
X^{(i)} + Y^{(i)} = (X + Y)^{(i)},
X^{(i)} Y^{(i)} = (XY)^{(i)}.
Рассмотрим формальный ряд
\prod_{n \geq 1} (1 - X_n t^n)
Его коэффициенты и X_n восстанавливаются друг из друга по индукции как
многочлены с целыми коэффициентами.
Тогда
-t d/dt log \prod_{n \geq 1} (1 - X_n t^n) = \sum_{m \geq 1} X^{(m)} t^m
(Это легко увидеть, зная, например, утверждение 3.)
Теперь очевидно, как определить сложение --- это умножение рядов.
Определить умножение тоже не очень трудно.
[d,e] := lcm(d,e)
\sum_{m \geq 1; d,e | m}
d X_{d}^{m/d} e Y_{e}^{m/e} t^m =
\sum_{n,d,e \geq 1}
de (X_{d}^{[d,e]/d} Y_{e}^{[d,e]/e} t^{[d,e]})^n =
-t d/dt log \prod_{d,e \geq 1}
(1 - X_{d}^{[d,e]/d} Y_{e}^{[d,e]/e} t^{[d,e]})^{de/[d,e]}
(Первое равенство --- тавтология. Второе равенство легко увидеть, зная
утверждение 3.)
Обычные компоненты X_n и призрачные компоненты X^{(n)} легко восстанавливаются
друг из друга по индукции, только там возникают знаменатели. Мы делали то, что
делали, чтобы убедиться, что знаменатели сократятся.
X_{p^i} зависят только от X^{(p^j)}, и наоборот.
Взяв только эти компоненты, мы получим "p-типические" векторы Витта, которые и
дадут нам p-адические числа (если в качестве кольца коэффициентов взять Z/pZ).
>>1689
ЛЕММА УРЫСОНА
Если в топологическом пространстве любые два замкнутых подмножества обладают
непересекающимися открытыми окрестностями, то для любых двух замкнутых
подмножеств существует непрерывная функция из топологического пространства в
единичный интервал $[0,1]$, которая на одном из них тождественно 0, а на другом
--- тождественно 1.
Импликация в обратную сторону очевидна.
Будем пользоваться обозначениями рисунка 1: по одну сторону открытое множество, по другую --- замкнутое, вертикальная черта их разделяет, а стрелка указывает
где какое.
Два замкнутых подмножества и отделяющие их открытые окрестности изображены на
рисунке 2 (замкнутые подмножества по краям).
Процесс отделения открытыми открестностями можно очевидным образом
итерировать. Второй шаг итерации изображён на рисунке 3.
Точки внутри "полосок" отображаем в двоично-рациональные числа так, как указано
на рисунке 3. На точки вне полосок продолжаем отображение очевидным образом.
Конец доказательства.
ЛЕММА УРЫСОНА
Если в топологическом пространстве любые два замкнутых подмножества обладают
непересекающимися открытыми окрестностями, то для любых двух замкнутых
подмножеств существует непрерывная функция из топологического пространства в
единичный интервал $[0,1]$, которая на одном из них тождественно 0, а на другом
--- тождественно 1.
Импликация в обратную сторону очевидна.
Будем пользоваться обозначениями рисунка 1: по одну сторону открытое множество, по другую --- замкнутое, вертикальная черта их разделяет, а стрелка указывает
где какое.
Два замкнутых подмножества и отделяющие их открытые окрестности изображены на
рисунке 2 (замкнутые подмножества по краям).
Процесс отделения открытыми открестностями можно очевидным образом
итерировать. Второй шаг итерации изображён на рисунке 3.
Точки внутри "полосок" отображаем в двоично-рациональные числа так, как указано
на рисунке 3. На точки вне полосок продолжаем отображение очевидным образом.
Конец доказательства.
>>2063
Вот лучше.
Теперь картинки в пиксельной графике. Их размер сопоставим с размером текста.
ЛЕММА УРЫСОНА
Если в топологическом пространстве любые два непересекающихся замкнутых
подмножества обладают непересекающимися открытыми окрестностями, то для любых
двух непересекающихся замкнутых подмножеств существует непрерывная функция из
топологического пространства в единичный интервал $[0,1]$, которая на одном из
подмножеств тождественно 0, а на другом --- тождественно 1.
Импликация в обратную сторону очевидна.
Будем пользоваться обозначениями рис. 1: по одну сторону открытое множество, по
другую --- замкнутое, вертикальная черта их разделяет, а стрелка указывает где
какое.
Два замкнутых подмножества и отделяющие их открытые окрестности изображены на
рис. 2.
Процесс отделения открытыми окрестностями можно очевидным образом итерировать.
Второй шаг итерации изображён на рис. 3.
Точки внутри "полосок" отображаем в двоично-рациональные числа так, как указано
на рис. 3. На остальные точки отображение продолжается очевидным образом.
Непрерывность проверяется тривиально.
Вот лучше.
Теперь картинки в пиксельной графике. Их размер сопоставим с размером текста.
ЛЕММА УРЫСОНА
Если в топологическом пространстве любые два непересекающихся замкнутых
подмножества обладают непересекающимися открытыми окрестностями, то для любых
двух непересекающихся замкнутых подмножеств существует непрерывная функция из
топологического пространства в единичный интервал $[0,1]$, которая на одном из
подмножеств тождественно 0, а на другом --- тождественно 1.
Импликация в обратную сторону очевидна.
Будем пользоваться обозначениями рис. 1: по одну сторону открытое множество, по
другую --- замкнутое, вертикальная черта их разделяет, а стрелка указывает где
какое.
Два замкнутых подмножества и отделяющие их открытые окрестности изображены на
рис. 2.
Процесс отделения открытыми окрестностями можно очевидным образом итерировать.
Второй шаг итерации изображён на рис. 3.
Точки внутри "полосок" отображаем в двоично-рациональные числа так, как указано
на рис. 3. На остальные точки отображение продолжается очевидным образом.
Непрерывность проверяется тривиально.
>>2052
Переделал и эти картинки пиксельно.
Чтобы разглядеть используйте
https://lospec.com/pixel-art-scaler/
Переделал и эти картинки пиксельно.
Чтобы разглядеть используйте
https://lospec.com/pixel-art-scaler/
>>2066
Вместо последней лучше пикрелейтед.
Ну и накидаю чуть более прилизанные версии старых текстов, чтобы зря посты не тратить.
>>1314
СУММА СТЕПЕНЕЙ ВЫРАЖАЕТСЯ МНОГОЧЛЕНОМ
$\sum_{i=1}^{n} i^k = polynomial(n)$
Доказательство по индукции. Если мы увеличиваем $n$ на 1, то левая часть
увеличивается на $(n+1)^k$. Правая часть --- линейная комбинация степеней $n$.
Мы можем подобрать её такой, чтобы она увеличивалась на столько же, так как
$(n+1)^k - n^k = kn^{k-1} + ...$ образуют базис в многочленах.
Как упражнение можно проверить, что
$1^2 + 2^2 + ... + 24^2 = 70^2$.
>>1677
ЦЕЛЫЕ В КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЯХ
Целыми в квадратичном поле $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ ($d$ бесквадратное)
называются элементы с целой нормой $N(a+b\sqrt{d})=a^2-{b^2}d$ и целым следом
$Tr(a+b\sqrt{d})=2a$.
Они описываются так: $a$ и $b$ целые, и, если $d \equiv 1 (mod 4)$, то они
могут быть одновременно полуцелыми.
Доказательство:
$2a$ целое => знаменатель $a$ равен 1 или 2.
$a^2-{b^2}d$ целое => $4a^2-4{b^2}d$ целое => $4{b^2}d$ целое => знаменатель
$b$ равен 1 или 2, так как $d$ бесквадратное.
Дальше очевидно.
>>1542
ДВА ПРИМЕРА ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Вырежем на плоскости двумя квадриками две пары прямых с одной общей прямой.
Вырежем на квадрике двумя плоскостями две пары прямых с одной общей прямой.
>>1321
DIRAC BELT TRICK
Если взять гибкую ленту и прокрутить один её конец на два полных оборота при
фиксированном другом, то её можно будет вернуть в исходное состояние
параллельными сдвигами концов.
Если представить, что по длине ленты прикреплены твёрдые трёхмерные тела, то
эти тела опишут петли в SO(3). Крайние тела опишут тождественную петлю и
двойное прокручивание, а петли, описанные промежутночными телами, зададут
гомотопию между ними.
Вместо последней лучше пикрелейтед.
Ну и накидаю чуть более прилизанные версии старых текстов, чтобы зря посты не тратить.
>>1314
СУММА СТЕПЕНЕЙ ВЫРАЖАЕТСЯ МНОГОЧЛЕНОМ
$\sum_{i=1}^{n} i^k = polynomial(n)$
Доказательство по индукции. Если мы увеличиваем $n$ на 1, то левая часть
увеличивается на $(n+1)^k$. Правая часть --- линейная комбинация степеней $n$.
Мы можем подобрать её такой, чтобы она увеличивалась на столько же, так как
$(n+1)^k - n^k = kn^{k-1} + ...$ образуют базис в многочленах.
Как упражнение можно проверить, что
$1^2 + 2^2 + ... + 24^2 = 70^2$.
>>1677
ЦЕЛЫЕ В КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЯХ
Целыми в квадратичном поле $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ ($d$ бесквадратное)
называются элементы с целой нормой $N(a+b\sqrt{d})=a^2-{b^2}d$ и целым следом
$Tr(a+b\sqrt{d})=2a$.
Они описываются так: $a$ и $b$ целые, и, если $d \equiv 1 (mod 4)$, то они
могут быть одновременно полуцелыми.
Доказательство:
$2a$ целое => знаменатель $a$ равен 1 или 2.
$a^2-{b^2}d$ целое => $4a^2-4{b^2}d$ целое => $4{b^2}d$ целое => знаменатель
$b$ равен 1 или 2, так как $d$ бесквадратное.
Дальше очевидно.
>>1542
ДВА ПРИМЕРА ИЗ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Вырежем на плоскости двумя квадриками две пары прямых с одной общей прямой.
Вырежем на квадрике двумя плоскостями две пары прямых с одной общей прямой.
>>1321
DIRAC BELT TRICK
Если взять гибкую ленту и прокрутить один её конец на два полных оборота при
фиксированном другом, то её можно будет вернуть в исходное состояние
параллельными сдвигами концов.
Если представить, что по длине ленты прикреплены твёрдые трёхмерные тела, то
эти тела опишут петли в SO(3). Крайние тела опишут тождественную петлю и
двойное прокручивание, а петли, описанные промежутночными телами, зададут
гомотопию между ними.
>>2065
>Теперь картинки в пиксельной графике. Их размер сопоставим с размером текста.
Осталось открыть векторную графику и каким-то образом добиться того, чтобы она встраивалась в посты или куда-то еще.
>Теперь картинки в пиксельной графике. Их размер сопоставим с размером текста.
Осталось открыть векторную графику и каким-то образом добиться того, чтобы она встраивалась в посты или куда-то еще.
>>2068
>открыть векторную графику
Уже было немного: >>1966
>и каким-то образом добиться того, чтобы она встраивалась в посты
Мне насрать на имиджборды.
Пиксели простые и душевные, их можно делать мышкой и они читаются на тостере, как и текст. Как минимум у них есть сфера применения в математическом изложении. Это мог бы быть интересный арт ход.
Блин, как лень разгребать. Хочется, чтобы это не была просто куча говна, но реальность жестока.
>>1278
УСКОРЕНИЕ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ ПО ОКРУЖНОСТИ
При равномерном движении по окружности ускорение относится к скорости так же,
как скорость к радиус-вектору: a / v = v / r (вектор скорости и радиус-вектор
вращаются с одинаковой угловой скоростью).
>>1279
ДВИЖЕНИЕ МАЯТНИКА
Нам нужно найти решение уравнения x'' = -x. Равномерное движение по окружности
--- это решение. Спроецировав его на прямую получаем решение на прямой.
>>1342
ЦИКЛИЧНОСТЬ КОНЕЧНЫХ ПОДГРУПП МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ГРУППЫ ПОЛЯ
В подгруппе мультипликативной группы поля не более d решений уравнения x^d = 1,
которые называются элементами экспоненты d.
Утверждение.
Если в конечной группе не больше d элементов экспоненты d для любого d, то эта
группа циклическая.
Доказательство.
Обозначим порядок нашей группы через n. Буква d обозначает делитель n.
Если в группе есть элемент порядка d, то в ней есть d элементов экспоненты d
--- степени этого элемента. Все элементы экспоненты d среди них. Значит, все
элементы порядка d --- тоже. Значит, их столько же, сколько в циклической
группе порядка n. То есть для любого d элементов порядка d либо нет, либо их
столько же, сколько в циклической группе порядка n. Так как порядок группы
равен сумме по d элементов порядка d, то их не может не быть. Взяв d = n,
получаем, что группа циклическая.
>>1232
ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРЕДЕЛА
Отображение называется непрерывным в точке, если для любой окрестности образа
этой точки существует окрестность самой точки, которая в неё отображается.
Пределом отображения в точке называется значение, которое нужно придать
отображению в этой точке, чтобы оно стало непрерывным в этой точке.
>>1254
СИМВОЛ ШЛЕФЛИ
Символ Шлефли --- конечная последовательность чисел в фигурных скобках, вроде
{3,4,3}. Присваивается правильному многограннику.
Определяющие свойства:
Символ Шлефли правильного n-угольника --- {n}.
Начальный кусок символа Шлефли --- это символ Шлефли грани соответствующей
размерности.
При переходе к дуальному многограннику символ Шлефли отражается.
Пример:
Грани додекаэдра --- пятиугольники, поэтому символ додекаэдра --- {5,x}.
Найдём x. Дуальный к додекаэдру --- икосаэдр, значит у него символ {x,5}. С
другой стороны, грани икосаэдра --- треугольники, поэтому x=3.
>>1621
СТРОЕНИЕ КОНЕЧНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
Конечная абелева группа --- Z/n-модуль. По китайской теореме об остатках
разлагаем Z/n в прямую сумму Z/p^m, после чего разлагаем модуль на Z/p^m-модули
(модуль над прямой суммой = прямая сумма модулей над слагаемыми).
Возьмём в таком слагаемом элемент максимального порядка p^max, получим точную
последовательность
0 --> Z/p^max --> X --> \prod Z/p^n --> 0
(последнее слагаемое разлагается по предположению индукции).
Докажем, что такая последовательность всегда расщепляется. Достаточно найти
сечение для каждого слагаемого Z/p^n.
Пусть x --- произвольный прообраз образующей Z/p^n. Тогда p^n x попадает в
Z/p^max.
Лемма: произвольный элемент Z/p^i является p-кратным какой-то образующей.
Доказательство: он является кратным образующей, выделим из коэффициента
кратности p-часть, оставшееся тоже будет образующей.
Поэтому p^n x = p^k y, где y --- какая-то образующая Z/p^max (мы выбираем k
меньшим, чем max). Если p^n x = 0, то мы закончили. Если нет, то k не меньше
n, так как порядок y не меньше порядка x. Поэтому можно записать
p^n (x - p^{k-n} y) = 0
и убедиться, что x - p^{k-n} y --- это и есть нужное поднятие образующей
Z/p^n.
>открыть векторную графику
Уже было немного: >>1966
>и каким-то образом добиться того, чтобы она встраивалась в посты
Мне насрать на имиджборды.
Пиксели простые и душевные, их можно делать мышкой и они читаются на тостере, как и текст. Как минимум у них есть сфера применения в математическом изложении. Это мог бы быть интересный арт ход.
Блин, как лень разгребать. Хочется, чтобы это не была просто куча говна, но реальность жестока.
>>1278
УСКОРЕНИЕ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ ПО ОКРУЖНОСТИ
При равномерном движении по окружности ускорение относится к скорости так же,
как скорость к радиус-вектору: a / v = v / r (вектор скорости и радиус-вектор
вращаются с одинаковой угловой скоростью).
>>1279
ДВИЖЕНИЕ МАЯТНИКА
Нам нужно найти решение уравнения x'' = -x. Равномерное движение по окружности
--- это решение. Спроецировав его на прямую получаем решение на прямой.
>>1342
ЦИКЛИЧНОСТЬ КОНЕЧНЫХ ПОДГРУПП МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ГРУППЫ ПОЛЯ
В подгруппе мультипликативной группы поля не более d решений уравнения x^d = 1,
которые называются элементами экспоненты d.
Утверждение.
Если в конечной группе не больше d элементов экспоненты d для любого d, то эта
группа циклическая.
Доказательство.
Обозначим порядок нашей группы через n. Буква d обозначает делитель n.
Если в группе есть элемент порядка d, то в ней есть d элементов экспоненты d
--- степени этого элемента. Все элементы экспоненты d среди них. Значит, все
элементы порядка d --- тоже. Значит, их столько же, сколько в циклической
группе порядка n. То есть для любого d элементов порядка d либо нет, либо их
столько же, сколько в циклической группе порядка n. Так как порядок группы
равен сумме по d элементов порядка d, то их не может не быть. Взяв d = n,
получаем, что группа циклическая.
>>1232
ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРЕДЕЛА
Отображение называется непрерывным в точке, если для любой окрестности образа
этой точки существует окрестность самой точки, которая в неё отображается.
Пределом отображения в точке называется значение, которое нужно придать
отображению в этой точке, чтобы оно стало непрерывным в этой точке.
>>1254
СИМВОЛ ШЛЕФЛИ
Символ Шлефли --- конечная последовательность чисел в фигурных скобках, вроде
{3,4,3}. Присваивается правильному многограннику.
Определяющие свойства:
Символ Шлефли правильного n-угольника --- {n}.
Начальный кусок символа Шлефли --- это символ Шлефли грани соответствующей
размерности.
При переходе к дуальному многограннику символ Шлефли отражается.
Пример:
Грани додекаэдра --- пятиугольники, поэтому символ додекаэдра --- {5,x}.
Найдём x. Дуальный к додекаэдру --- икосаэдр, значит у него символ {x,5}. С
другой стороны, грани икосаэдра --- треугольники, поэтому x=3.
>>1621
СТРОЕНИЕ КОНЕЧНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
Конечная абелева группа --- Z/n-модуль. По китайской теореме об остатках
разлагаем Z/n в прямую сумму Z/p^m, после чего разлагаем модуль на Z/p^m-модули
(модуль над прямой суммой = прямая сумма модулей над слагаемыми).
Возьмём в таком слагаемом элемент максимального порядка p^max, получим точную
последовательность
0 --> Z/p^max --> X --> \prod Z/p^n --> 0
(последнее слагаемое разлагается по предположению индукции).
Докажем, что такая последовательность всегда расщепляется. Достаточно найти
сечение для каждого слагаемого Z/p^n.
Пусть x --- произвольный прообраз образующей Z/p^n. Тогда p^n x попадает в
Z/p^max.
Лемма: произвольный элемент Z/p^i является p-кратным какой-то образующей.
Доказательство: он является кратным образующей, выделим из коэффициента
кратности p-часть, оставшееся тоже будет образующей.
Поэтому p^n x = p^k y, где y --- какая-то образующая Z/p^max (мы выбираем k
меньшим, чем max). Если p^n x = 0, то мы закончили. Если нет, то k не меньше
n, так как порядок y не меньше порядка x. Поэтому можно записать
p^n (x - p^{k-n} y) = 0
и убедиться, что x - p^{k-n} y --- это и есть нужное поднятие образующей
Z/p^n.
>>1624
КВАДРАТИЧНЫЙ ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ
Обозначим знак перестановки умножения на m по модулю n как (m/n).
Если n нечётно, то Z/nZ можно разделить на положительную часть, отрицательную
часть и ноль. Например: Z/5Z = {-2, -1, 0, 1, 2}.
Перестановка умножения на m разлагается на произведение перестановки, не
меняющей знак, и перестановки, которая только меняет знаки. Перестановка, не
меняющая знак, состоит из двух одинаковых частей --- положительной и
отрицательной, поэтому она чётная. То есть на (m/n) влияет только количество
перемен знака.
Если изобразить Z/nZ в виде циферблата, который затем разделили на 2m интевалов,
то количество перемен знака будет совпадать с количеством положительных
элементов Z/nZ, попавиших в нужные интервалы (на рис. 1 изображён случай (3/5),
элементы Z/5Z --- это чёрные точки). Если теперь (для нечётного n) достроить
симметрично белые точки (рис. 1), то нужный знак зависит от чётности/нечётности
количества чёрных и белых точек в нужных интервалах в первом квадранте и,
очевидно, выражается формулой
(m/n) = sgn \prod_{i=1}^{{n-1}/2} \prod_{j=1}^{{m-1}/2} (j/m-i/n).
Откуда сразу же следует квадратичный закон взаимности:
(m/n)(n/m)=(-1)^{{{m-1}/2}{{n-1}/2}} (m и n --- нечётные).
Если m и n --- нечётные простые, то знак умножения на m определяет, является
ли m квадратом mod n или нет, так как квадраты --- это чётные степени
мультипликативной образующей поля Z/nZ, а умножение на мультипликативную
образующую --- это цикл чётной длины n-1, который является нечётной
перестановкой.
КВАДРАТИЧНЫЙ ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ
Обозначим знак перестановки умножения на m по модулю n как (m/n).
Если n нечётно, то Z/nZ можно разделить на положительную часть, отрицательную
часть и ноль. Например: Z/5Z = {-2, -1, 0, 1, 2}.
Перестановка умножения на m разлагается на произведение перестановки, не
меняющей знак, и перестановки, которая только меняет знаки. Перестановка, не
меняющая знак, состоит из двух одинаковых частей --- положительной и
отрицательной, поэтому она чётная. То есть на (m/n) влияет только количество
перемен знака.
Если изобразить Z/nZ в виде циферблата, который затем разделили на 2m интевалов,
то количество перемен знака будет совпадать с количеством положительных
элементов Z/nZ, попавиших в нужные интервалы (на рис. 1 изображён случай (3/5),
элементы Z/5Z --- это чёрные точки). Если теперь (для нечётного n) достроить
симметрично белые точки (рис. 1), то нужный знак зависит от чётности/нечётности
количества чёрных и белых точек в нужных интервалах в первом квадранте и,
очевидно, выражается формулой
(m/n) = sgn \prod_{i=1}^{{n-1}/2} \prod_{j=1}^{{m-1}/2} (j/m-i/n).
Откуда сразу же следует квадратичный закон взаимности:
(m/n)(n/m)=(-1)^{{{m-1}/2}{{n-1}/2}} (m и n --- нечётные).
Если m и n --- нечётные простые, то знак умножения на m определяет, является
ли m квадратом mod n или нет, так как квадраты --- это чётные степени
мультипликативной образующей поля Z/nZ, а умножение на мультипликативную
образующую --- это цикл чётной длины n-1, который является нечётной
перестановкой.
Получше картинки вместо старых.
>>1886
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ СИММЕТРИЙ ТРЕУГОЛЬНИКА
S_3 = D_3 = <r_1, r_2 | {r_1}^2={r_2}^2=({r_1}{r_2})^3=1>
Все элементы группы: 1, r_1, r_2, {r_1}{r_2}, {r_2}{r_1},
{r_1}{r_2}{r_1}={r_2}{r_1}{r_2}.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИЭДРАЛЬНОЙ ГРУППЫ
D_n = <r_1, r_2 | {r_1}^2={r_2}^2=({r_1}{r_2})^n=1>
Доказательство: любое слово от инволюций x и y представляется в виде
...xyxyxyxy..., причём из соотношения типа xyxyxyx=1 двусторонним домножением
на x получается yxyxy=1 и так далее, то есть оно невозможно.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОКСТЕРА ГРУППЫ ПЕРЕСТАНОВОК
S_n = <r_1, ..., r_{n-1} | {r_i}^2=1, {r_i}{r_j}={r_j}{r_i} if j \neq i \pm 1,
({r_i}{r_{i+1}})^3=1>
Докажем по индукции.
Утверждение 1. Можно предполагать, что в слове не больше одного r_{n-1}.
Доказательство. По индукции мы можем предположить, что в слове от r_1, ...,
r_{n-2} не больше одного r_{n-2}. Тогда, если в исходном слове два или больше
r_{n-1}, рассмотрим два соседних r_{n-1}:
...r_{n-1}...r_{n-2}...r_{n-1}... =
= ...r_{n-1}r_{n-2}r_{n-1}... =
= ...r_{n-2}r_{n-1}r_{n-2}...
Мы уменьшили количество r_{n-1} на один.
Утверждение 2. |<r_1, ..., r_{n-2}> : <r_1, ..., r_{n-1}>| \leqslant n
Доказательство. По индукции мы знаем, что
|<r_1, ..., r_{n-3}> : <r_1, ..., r_{n-2}>| \leqslant n-1
Поэтому у r_{n-1} не больше n-1 образов под действием сопряжения элементами
<r_1, ..., r_{n-2}> (r_{n-1} коммутирует с r_1, ..., r_{n-3}). Мы протаскиваем
единственное (утверждение 1) в слове r_{n-1} направо и получаем результат.
Всё доказано: по индукции мы получили, что
|<r_1, ..., r_{n-1} | ... >| \leqslant n!.
>>1756
ОБРАТНЫЙ МУРА-ПЕНРОУЗА
Операторы компонуются справа налево.
Пусть $x$ и $y$ --- два линейных отображения, которые удовлетворяют тождествам
$xyx=x$ и $yxy=y$. Тогда $yxyx=yx$ и $xyxy=xy$, то есть $xy$ и $yx$ ---
проекторы. При этом $\text{kernel}(yx)$ содержится в $\text{kernel}(x)$ и,
следовательно, равен ему. Аналогично, $\text{image}(yx) = \text{image}(y)$, и
всё то же с заменой $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Отсюда получаем разложения
$\text{kernel}(x) \oplus \text{image}(y)$ и $\text{kernel}(y) \oplus
\text{image}(x)$, причём $x$ и $y$ определяют изоморфизм между
$\text{image}(y)$ и $\text{image}(x)$. Если на пространствах есть
невырожденное скалярное произведение, то $x$ однозначно определяет такой $y$,
для которого разложения ортогональны. Это и есть "обратный Мура-Пенроуза".
>>1226
ВПИСАННЫЙ УГОЛ
Угол при хорде равен половине дуги, на которую она опирается.
Доказательство: рис. 1.
Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается.
Доказательство: очевидным образом следует из предыдущего.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ СИММЕТРИЙ ТРЕУГОЛЬНИКА
S_3 = D_3 = <r_1, r_2 | {r_1}^2={r_2}^2=({r_1}{r_2})^3=1>
Все элементы группы: 1, r_1, r_2, {r_1}{r_2}, {r_2}{r_1},
{r_1}{r_2}{r_1}={r_2}{r_1}{r_2}.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИЭДРАЛЬНОЙ ГРУППЫ
D_n = <r_1, r_2 | {r_1}^2={r_2}^2=({r_1}{r_2})^n=1>
Доказательство: любое слово от инволюций x и y представляется в виде
...xyxyxyxy..., причём из соотношения типа xyxyxyx=1 двусторонним домножением
на x получается yxyxy=1 и так далее, то есть оно невозможно.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОКСТЕРА ГРУППЫ ПЕРЕСТАНОВОК
S_n = <r_1, ..., r_{n-1} | {r_i}^2=1, {r_i}{r_j}={r_j}{r_i} if j \neq i \pm 1,
({r_i}{r_{i+1}})^3=1>
Докажем по индукции.
Утверждение 1. Можно предполагать, что в слове не больше одного r_{n-1}.
Доказательство. По индукции мы можем предположить, что в слове от r_1, ...,
r_{n-2} не больше одного r_{n-2}. Тогда, если в исходном слове два или больше
r_{n-1}, рассмотрим два соседних r_{n-1}:
...r_{n-1}...r_{n-2}...r_{n-1}... =
= ...r_{n-1}r_{n-2}r_{n-1}... =
= ...r_{n-2}r_{n-1}r_{n-2}...
Мы уменьшили количество r_{n-1} на один.
Утверждение 2. |<r_1, ..., r_{n-2}> : <r_1, ..., r_{n-1}>| \leqslant n
Доказательство. По индукции мы знаем, что
|<r_1, ..., r_{n-3}> : <r_1, ..., r_{n-2}>| \leqslant n-1
Поэтому у r_{n-1} не больше n-1 образов под действием сопряжения элементами
<r_1, ..., r_{n-2}> (r_{n-1} коммутирует с r_1, ..., r_{n-3}). Мы протаскиваем
единственное (утверждение 1) в слове r_{n-1} направо и получаем результат.
Всё доказано: по индукции мы получили, что
|<r_1, ..., r_{n-1} | ... >| \leqslant n!.
>>1756
ОБРАТНЫЙ МУРА-ПЕНРОУЗА
Операторы компонуются справа налево.
Пусть $x$ и $y$ --- два линейных отображения, которые удовлетворяют тождествам
$xyx=x$ и $yxy=y$. Тогда $yxyx=yx$ и $xyxy=xy$, то есть $xy$ и $yx$ ---
проекторы. При этом $\text{kernel}(yx)$ содержится в $\text{kernel}(x)$ и,
следовательно, равен ему. Аналогично, $\text{image}(yx) = \text{image}(y)$, и
всё то же с заменой $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Отсюда получаем разложения
$\text{kernel}(x) \oplus \text{image}(y)$ и $\text{kernel}(y) \oplus
\text{image}(x)$, причём $x$ и $y$ определяют изоморфизм между
$\text{image}(y)$ и $\text{image}(x)$. Если на пространствах есть
невырожденное скалярное произведение, то $x$ однозначно определяет такой $y$,
для которого разложения ортогональны. Это и есть "обратный Мура-Пенроуза".
>>1226
ВПИСАННЫЙ УГОЛ
Угол при хорде равен половине дуги, на которую она опирается.
Доказательство: рис. 1.
Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается.
Доказательство: очевидным образом следует из предыдущего.
>>1225
ФОРМУЛЫ ДЛЯ УДВОЕНИЯ АЛГЕБРЫ
$i^2=a$
$xi=i\bar{x}$
$x(yi)=(yx)i$
$(iy)x=i(xy)$
$(xi)(iy)=yax$
>>1707
ТЕОРЕМА ТИХОНОВА (ПРОИЗВЕДЕНИЕ КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ КОМПАКТНО)
Компактное --- это когда из любого открытого покрытия можно выбрать конечное
подпокрытие. Эквивалентно (переходя к дополнениям): если у множества замкнутых
подмножеств конечные пересечения непустые, то пересечение их всех непустое.
Фильтр --- это множество подмножеств, замкнутое относительно пересечения и
перехода к надмножествам, а также не содержащее пустого множества. Множество
его предельных точек --- это пересечение замыканий его множеств.
Компактность эквивалентна наличию предельных точек у любого фильтра (от фильтра
мы переходим к замыканиям его множеств, а от замкнутых множеств мы переходим к
порождаемому ими фильтру).
Фильтр $A$ тоньше фильтра $B$ если в нём больше множеств т. е. $B \subset A$.
Фильтр сходится к точке, если он тоньше фильтра её окрестностей. Если все
пересечения множеств фильтра $A$ с множествами фильтра $B$ непустые, то они
порождают фильтр, который тоньше их обеих, называемый их пересечением.
Предельные точки фильтра --- это точки, к которым сходятся более тонкие
фильтры: точка лежит в пересечении замыканий тогда и только тогда, когда мы
можем взять пересечение с фильтром её окрестностей.
Каждый фильтр вкладывается в максимально тонкий, называемый ультрафильтром
(лемма Цорна). Поэтому компактность эквивалентна сходимости ультрафильтров.
Образ фильтра --- это фильтр, порождённый образами его множеств. Образ
ультрафильтра --- ультрафильтр (если к образу фильтра можно добавить множество,
то к исходному фильтру можно добавить его прообраз).
Последний ингредиент: фильтр на произведении сходится к точке тогда и только
тогда, когда его образы при координатных проекциях сходятся к образам точки при
координатных проекциях. Это простое следствие определения топологии
произведения (она порождена прообразами открытых множеств слагаемых при
координатных проекциях).
ФОРМУЛЫ ДЛЯ УДВОЕНИЯ АЛГЕБРЫ
$i^2=a$
$xi=i\bar{x}$
$x(yi)=(yx)i$
$(iy)x=i(xy)$
$(xi)(iy)=yax$
>>1707
ТЕОРЕМА ТИХОНОВА (ПРОИЗВЕДЕНИЕ КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ КОМПАКТНО)
Компактное --- это когда из любого открытого покрытия можно выбрать конечное
подпокрытие. Эквивалентно (переходя к дополнениям): если у множества замкнутых
подмножеств конечные пересечения непустые, то пересечение их всех непустое.
Фильтр --- это множество подмножеств, замкнутое относительно пересечения и
перехода к надмножествам, а также не содержащее пустого множества. Множество
его предельных точек --- это пересечение замыканий его множеств.
Компактность эквивалентна наличию предельных точек у любого фильтра (от фильтра
мы переходим к замыканиям его множеств, а от замкнутых множеств мы переходим к
порождаемому ими фильтру).
Фильтр $A$ тоньше фильтра $B$ если в нём больше множеств т. е. $B \subset A$.
Фильтр сходится к точке, если он тоньше фильтра её окрестностей. Если все
пересечения множеств фильтра $A$ с множествами фильтра $B$ непустые, то они
порождают фильтр, который тоньше их обеих, называемый их пересечением.
Предельные точки фильтра --- это точки, к которым сходятся более тонкие
фильтры: точка лежит в пересечении замыканий тогда и только тогда, когда мы
можем взять пересечение с фильтром её окрестностей.
Каждый фильтр вкладывается в максимально тонкий, называемый ультрафильтром
(лемма Цорна). Поэтому компактность эквивалентна сходимости ультрафильтров.
Образ фильтра --- это фильтр, порождённый образами его множеств. Образ
ультрафильтра --- ультрафильтр (если к образу фильтра можно добавить множество,
то к исходному фильтру можно добавить его прообраз).
Последний ингредиент: фильтр на произведении сходится к точке тогда и только
тогда, когда его образы при координатных проекциях сходятся к образам точки при
координатных проекциях. Это простое следствие определения топологии
произведения (она порождена прообразами открытых множеств слагаемых при
координатных проекциях).
>>1815
ЗНАК ПЕРЕСТАНОВКИ
Если умножить перестановку на транспозицию, соединяющую разные циклы, то эти
циклы сольются, а если на соединяющую элементы одного цикла, то этот цикл
разложится на два. Это абсолютно инвариантное рассуждение сразу даёт
разложение на транспозиции, определение знака и его корректность.
>>1567
ТЕОРЕМА КАНТОРА-БЕРШТЕЙНА-ШРЁДЕРА
Теорема.
Если два множества вкладываются друг в друга, то они равномощны.
Доказательство.
Вложим белое множество в чёрное, затем чёрное в белое и так до бесконечности
(рис. 1), после чего применим отображение к чёрным слоям, а белые оставим на месте.
ЗНАК ПЕРЕСТАНОВКИ
Если умножить перестановку на транспозицию, соединяющую разные циклы, то эти
циклы сольются, а если на соединяющую элементы одного цикла, то этот цикл
разложится на два. Это абсолютно инвариантное рассуждение сразу даёт
разложение на транспозиции, определение знака и его корректность.
>>1567
ТЕОРЕМА КАНТОРА-БЕРШТЕЙНА-ШРЁДЕРА
Теорема.
Если два множества вкладываются друг в друга, то они равномощны.
Доказательство.
Вложим белое множество в чёрное, затем чёрное в белое и так до бесконечности
(рис. 1), после чего применим отображение к чёрным слоям, а белые оставим на месте.
>>1362
ТЕОРЕМЫ СИЛОВА
Утверждение 1.
В конечной группе порядка p^n m, где m не делится на простое p,
существует подргруппа порядка p^n, называемая силовской p-подгруппой.
Утверждение 2.
Все подгруппы порядка p^k для какого-то k (называемые p-подгруппами) лежат в
силовских p-подгруппах, которые все сопряжены.
Утверждение 3.
Если n_p --- количество силовских p-подгрупп, то n_p=1 (mod p).
Доказательство.
В нашей группе количество подмножеств мощности p^n не делится на p:
(1+x)^{p^n m} = (1+x^{p^n})^m = 1+mx^{p^n}+... (mod p).
Группа действует умножением на множестве таких подмножеств, причём порядок по
крайней мере одной орбиты не делится на p. Стабилизатор точки из этой орбиты
имеет порядок p^n. Это доказывает утверждение 1.
Если мы посмотрим на действие произвольной p-подгруппы на этой
орбите, то порядок какой-то из её орбит не будет делится на p, то есть она
будет одноточечной. Это доказывает утверждение 2.
Рассмотрим действие силовской p-подгруппы P сопряжением на множестве силовских
p-подгрупп. У неё только одна одноточечная орбита (сама P), так как если P
фиксирует другую p-подгруппу H, то PH --- p-подгруппа, строго большая P, что
невозможно. Это доказывает утвержение 3.
ТЕОРЕМЫ СИЛОВА
Утверждение 1.
В конечной группе порядка p^n m, где m не делится на простое p,
существует подргруппа порядка p^n, называемая силовской p-подгруппой.
Утверждение 2.
Все подгруппы порядка p^k для какого-то k (называемые p-подгруппами) лежат в
силовских p-подгруппах, которые все сопряжены.
Утверждение 3.
Если n_p --- количество силовских p-подгрупп, то n_p=1 (mod p).
Доказательство.
В нашей группе количество подмножеств мощности p^n не делится на p:
(1+x)^{p^n m} = (1+x^{p^n})^m = 1+mx^{p^n}+... (mod p).
Группа действует умножением на множестве таких подмножеств, причём порядок по
крайней мере одной орбиты не делится на p. Стабилизатор точки из этой орбиты
имеет порядок p^n. Это доказывает утверждение 1.
Если мы посмотрим на действие произвольной p-подгруппы на этой
орбите, то порядок какой-то из её орбит не будет делится на p, то есть она
будет одноточечной. Это доказывает утверждение 2.
Рассмотрим действие силовской p-подгруппы P сопряжением на множестве силовских
p-подгрупп. У неё только одна одноточечная орбита (сама P), так как если P
фиксирует другую p-подгруппу H, то PH --- p-подгруппа, строго большая P, что
невозможно. Это доказывает утвержение 3.
>>1835
МОДУЛЯРНЫЙ ЗАКОН ДЕДЕКИНДА
Если $a$ --- подгруппа $A$, то
$ (aX) \cap A = a (X \cap A) $.
DIAMOND THEOREM
Если $N$ --- $H$-инвариантная подгруппа, то
$ HN/N \cong H/{H \cap N} $.
ЛЕММА ЦАССЕНХАУЗА
Если
$a$ --- нормальная подгруппа $A$, а
$b$ --- нормальная подгруппа $B$, то
$
\frac
{(A \cap B)a}
{(A \cap b)a}
\cong
\frac
{A \cap B}
{(A \cap b)(a \cap B)}
\cong
\frac
{(B \cap A)b}
{(B \cap a)b}
$
Первое равенство мгновенно получается применением diamond theorem при
$H = A \cap B$ и $N = {A \cap b}a$ и модулярного закона Дедекинда
($ A \cap b \leqslant A \cap B $).
Второе равенство получается из симметрии
$A \leftrightarrow B$,
$a \leftrightarrow b$.
Лемма иллюстрируется рис. 1.
МОДУЛЯРНЫЙ ЗАКОН ДЕДЕКИНДА
Если $a$ --- подгруппа $A$, то
$ (aX) \cap A = a (X \cap A) $.
DIAMOND THEOREM
Если $N$ --- $H$-инвариантная подгруппа, то
$ HN/N \cong H/{H \cap N} $.
ЛЕММА ЦАССЕНХАУЗА
Если
$a$ --- нормальная подгруппа $A$, а
$b$ --- нормальная подгруппа $B$, то
$
\frac
{(A \cap B)a}
{(A \cap b)a}
\cong
\frac
{A \cap B}
{(A \cap b)(a \cap B)}
\cong
\frac
{(B \cap A)b}
{(B \cap a)b}
$
Первое равенство мгновенно получается применением diamond theorem при
$H = A \cap B$ и $N = {A \cap b}a$ и модулярного закона Дедекинда
($ A \cap b \leqslant A \cap B $).
Второе равенство получается из симметрии
$A \leftrightarrow B$,
$a \leftrightarrow b$.
Лемма иллюстрируется рис. 1.
>>1324
ЛЕММА НЁТЕРА О НОРМАЛИЗАЦИИ
Теорема.
Конечно порождённая алгебра конечна над свободной (всё над одним полем).
Доказательство для бесконечного поля.
Возьмём какое-то конечное число образующих. Если между ними нет алгебраических
соотношений, то мы закончили. Если такое соотношение есть, то оно определяет
гиперповерхность. Проекция гиперповерхности вдоль оси конечна, если точка на
бесконечности, соответствующая этой оси, не лежит на гиперповерхности. Такая
точка всегда есть, так как поле бесконечно. Мы получили, что наша алгебра
конечна над алгеброй с меньшим числом образующих.
Доказательство для произвольного поля.
Возьмём какое-то конечное число образующих. Если между ними нет алгебраических
соотношений, то мы закончили. Если такое соотношение есть, возьмём одну из
участвующих в нём переменных $X_0$ и сдвинем остальные переменные на степени
$X_0$: $X_i \mapsto X_i+X_0^{N_i}$. Мы можем выбрать $N_i$ такими, чтобы
старшие члены, получающиеся из разных одночленов, имели разную степень, так
как совпадение степеней --- это линейное уравнение на $N_i$, а конечное число
линейных подпространств не может исчерпать всего положительного конуса. В
итоге мы получим, что $X_0$ целое над $X_i-X_0^{N_i}$, следовательно, $X_i$
тоже, так как целые элементы образуют кольцо. Мы получили, что наша алгебра
конечна над алгеброй с меньшим числом образующих.
ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА О НУЛЯХ
Лемма.
Если поле конечно над кольцом, то это кольцо само поле.
Доказательство.
Обратное к произвольному элементу кольца $x$ является целым над кольцом.
Умножив соответствющее соотношение $x^{-n}=ax^{-n+1}+...$ на $x^{n-1}$,
получаем, что $x^{-1}$ тоже лежит в кольце.
Утверждение (лемма Зарисского).
Если поле является конечно порождённой алгеброй над подполем, то оно является
его конечным расширением.
Доказательство.
Очевидным образом следует из леммы Нётера о нормализации и предыдущей леммы.
Теорема (о нулях).
Ненулевая конечно порождённая алгебра над полем имеет ноль в его
алгебраическом замыкании.
Доказательство.
Любой собственный идеал вкладывается в максимальный, что даёт гомоморфизм
нашей конечно порождённой алгебры в поле, которое является конечным
расширением поля коэффициентов по лемме Зарисского и, следовательно,
вкладывается в алгебраическое замыкание поля коэффициентов.
Теорема (сильная теорема о нулях).
Элементы конечно порождённой алгебры над полем, зануляемые всеми точками в
алгебраическом замыкании поля, нильпотентны.
Доказательство.
Если мы локализуем по такому элементу, то у полученной всё ещё конечно
порождённой алгебры не будет точек в алг. замык. поля => она будет нулевой =>
элемент нильпотентен.
ЛЕММА НЁТЕРА О НОРМАЛИЗАЦИИ
Теорема.
Конечно порождённая алгебра конечна над свободной (всё над одним полем).
Доказательство для бесконечного поля.
Возьмём какое-то конечное число образующих. Если между ними нет алгебраических
соотношений, то мы закончили. Если такое соотношение есть, то оно определяет
гиперповерхность. Проекция гиперповерхности вдоль оси конечна, если точка на
бесконечности, соответствующая этой оси, не лежит на гиперповерхности. Такая
точка всегда есть, так как поле бесконечно. Мы получили, что наша алгебра
конечна над алгеброй с меньшим числом образующих.
Доказательство для произвольного поля.
Возьмём какое-то конечное число образующих. Если между ними нет алгебраических
соотношений, то мы закончили. Если такое соотношение есть, возьмём одну из
участвующих в нём переменных $X_0$ и сдвинем остальные переменные на степени
$X_0$: $X_i \mapsto X_i+X_0^{N_i}$. Мы можем выбрать $N_i$ такими, чтобы
старшие члены, получающиеся из разных одночленов, имели разную степень, так
как совпадение степеней --- это линейное уравнение на $N_i$, а конечное число
линейных подпространств не может исчерпать всего положительного конуса. В
итоге мы получим, что $X_0$ целое над $X_i-X_0^{N_i}$, следовательно, $X_i$
тоже, так как целые элементы образуют кольцо. Мы получили, что наша алгебра
конечна над алгеброй с меньшим числом образующих.
ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА О НУЛЯХ
Лемма.
Если поле конечно над кольцом, то это кольцо само поле.
Доказательство.
Обратное к произвольному элементу кольца $x$ является целым над кольцом.
Умножив соответствющее соотношение $x^{-n}=ax^{-n+1}+...$ на $x^{n-1}$,
получаем, что $x^{-1}$ тоже лежит в кольце.
Утверждение (лемма Зарисского).
Если поле является конечно порождённой алгеброй над подполем, то оно является
его конечным расширением.
Доказательство.
Очевидным образом следует из леммы Нётера о нормализации и предыдущей леммы.
Теорема (о нулях).
Ненулевая конечно порождённая алгебра над полем имеет ноль в его
алгебраическом замыкании.
Доказательство.
Любой собственный идеал вкладывается в максимальный, что даёт гомоморфизм
нашей конечно порождённой алгебры в поле, которое является конечным
расширением поля коэффициентов по лемме Зарисского и, следовательно,
вкладывается в алгебраическое замыкание поля коэффициентов.
Теорема (сильная теорема о нулях).
Элементы конечно порождённой алгебры над полем, зануляемые всеми точками в
алгебраическом замыкании поля, нильпотентны.
Доказательство.
Если мы локализуем по такому элементу, то у полученной всё ещё конечно
порождённой алгебры не будет точек в алг. замык. поля => она будет нулевой =>
элемент нильпотентен.
>>1429
ВЫПОЛНЕНИЕ АКСИОМ АЛГЕБРЫ ЛИ
Если выразить условие того, что эндоморфизм является дифференцированием
алгебры, в виде коммутативной диаграммы
($\text{mult} \circ (d \otimes 1 + 1 \otimes d) = d \circ \text{mult}$),
то проверка того, что коммутатор дифференцирований является
дифференцированием, сводится к
$[a \otimes 1 + 1 \otimes a, b \otimes 1 + 1 \otimes b] =
[a \otimes 1, b \otimes 1] + [1 \otimes a, 1 \otimes b] =
[a,b] \otimes 1 + 1 \otimes [a,b]$.
Аналогично, если обозначить эндоморфизм левого умножения на $a$ как $a*$, а
правого умножения --- как $*a$, то проверка того, что коммутатор в
ассоциативной алгебре удовлетворяет тождеству Якоби-Лейбница, сводится к
$[a*-*a, b*-*b] = [a*,b*] + [*a,*b] = [a,b]* - *[a,b]$.
>>1437
ЭКСПОНЕНТА ПЕРЕВОДИТ ЛИЕВСКОЕ ДЕЙСТВИЕ В ГРУППОВОЕ
$e^{a \otimes 1 + 1 \otimes a} = e^a \otimes e^a$
$e^{a*-*a} = (e^a*) \circ (*e^{-a})$
Где $x*$ обозначает эндоморфизм левого умножения на $x$, а $*x$ --- правого.
ВЫПОЛНЕНИЕ АКСИОМ АЛГЕБРЫ ЛИ
Если выразить условие того, что эндоморфизм является дифференцированием
алгебры, в виде коммутативной диаграммы
($\text{mult} \circ (d \otimes 1 + 1 \otimes d) = d \circ \text{mult}$),
то проверка того, что коммутатор дифференцирований является
дифференцированием, сводится к
$[a \otimes 1 + 1 \otimes a, b \otimes 1 + 1 \otimes b] =
[a \otimes 1, b \otimes 1] + [1 \otimes a, 1 \otimes b] =
[a,b] \otimes 1 + 1 \otimes [a,b]$.
Аналогично, если обозначить эндоморфизм левого умножения на $a$ как $a*$, а
правого умножения --- как $*a$, то проверка того, что коммутатор в
ассоциативной алгебре удовлетворяет тождеству Якоби-Лейбница, сводится к
$[a*-*a, b*-*b] = [a*,b*] + [*a,*b] = [a,b]* - *[a,b]$.
>>1437
ЭКСПОНЕНТА ПЕРЕВОДИТ ЛИЕВСКОЕ ДЕЙСТВИЕ В ГРУППОВОЕ
$e^{a \otimes 1 + 1 \otimes a} = e^a \otimes e^a$
$e^{a*-*a} = (e^a*) \circ (*e^{-a})$
Где $x*$ обозначает эндоморфизм левого умножения на $x$, а $*x$ --- правого.
>>1636
УМНОЖЕНИЕ И КОУМНОЖЕНИЕ
Рис. 1 изображает условие согласованности умножения и коумножения в биалгебре.
Знаки тензорного произведения опущены.
УМНОЖЕНИЕ И КОУМНОЖЕНИЕ
Рис. 1 изображает условие согласованности умножения и коумножения в биалгебре.
Знаки тензорного произведения опущены.
>>1379
УМНОЖЕНИЕ НА ВЫРОЖДЕННЫХ КУБИЧЕСКИХ КРИВЫХ
Рис. 1, 2, 3, 4, 5, 6, при этом на всех рис. кроме рис. 2 кубика включает в
себя не изображённую прямую на бесконечности.
УМНОЖЕНИЕ НА ВЫРОЖДЕННЫХ КУБИЧЕСКИХ КРИВЫХ
Рис. 1, 2, 3, 4, 5, 6, при этом на всех рис. кроме рис. 2 кубика включает в
себя не изображённую прямую на бесконечности.
>>2096
Остальные рисунки.
Остальные рисунки.
>>1384
ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦЕ МАТРИЦ НАД ТЕЛОМ
Для двух матриц $x$ и $y$ их произведение $xy$ можно описать двумя способами.
С одной стороны, строки $xy$ --- это линейные комбинации строк $y$ с
коэффициентами, записанными в строках $x$. С другой стороны, столбцы $xy$ ---
это линейные комбинации столбцов $x$ с коэффициентами, записанными в столбцах
$y$.
Из этих двух описаний сразу ясно, как устроены идеалы в кольце матриц над
телом: левые идеалы задаются линейной оболочкой всех строк своих матриц,
правые идеалы --- столбцов. Или, инвариантно, левые идеалы состоят из
линейных преобразований, ядро которых содержит заданное подпространство, а
правые --- из преобразований, образ которых содержится в заданном
подпространстве. Отсюда, в частности, видно, что кольцо матриц над телом
простое, то есть не содержит нетривиальных собственных двусторонних идеалов.
ИДЕАЛЫ В КОЛЬЦЕ МАТРИЦ НАД ТЕЛОМ
Для двух матриц $x$ и $y$ их произведение $xy$ можно описать двумя способами.
С одной стороны, строки $xy$ --- это линейные комбинации строк $y$ с
коэффициентами, записанными в строках $x$. С другой стороны, столбцы $xy$ ---
это линейные комбинации столбцов $x$ с коэффициентами, записанными в столбцах
$y$.
Из этих двух описаний сразу ясно, как устроены идеалы в кольце матриц над
телом: левые идеалы задаются линейной оболочкой всех строк своих матриц,
правые идеалы --- столбцов. Или, инвариантно, левые идеалы состоят из
линейных преобразований, ядро которых содержит заданное подпространство, а
правые --- из преобразований, образ которых содержится в заданном
подпространстве. Отсюда, в частности, видно, что кольцо матриц над телом
простое, то есть не содержит нетривиальных собственных двусторонних идеалов.
Чуть поновее:
https://pastebin.com/raw/BGyRbeyn
Сдохнет через месяц.
LaTeX:
https://www.latex4technics.com/
https://pastebin.com/raw/BGyRbeyn
Сдохнет через месяц.
LaTeX:
https://www.latex4technics.com/
>>2101
т. е.
ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
Формулы Френе говорят, что, если мы выбрали произвольную ось, то произвольное
инфинитезимальное вращение разлагается на сумму инфинитезимального вращения
вокруг оси, ортогональной исходной, и инфинитезимального вращения вокруг
исходной оси.
т. е.
ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
Формулы Френе говорят, что, если мы выбрали произвольную ось, то произвольное
инфинитезимальное вращение разлагается на сумму инфинитезимального вращения
вокруг оси, ортогональной исходной, и инфинитезимального вращения вокруг
исходной оси.
Переезжаю сюда (обновляемая версия с исходным кодом): https://mega.nz/#F!LyglUAAT!K4eIT3HGnARicCLOzbjHsQ
Система образования — гроб, надо шаг за шагом создавать свободную альтернативу.
Оп пик — конфигурация Дезарга в виде двух взаимно вписанных пятиугольников. Я называю эту картинку «сатана», имхо, она понятнее чем в википедии. Центры перспективы — кончики рогов.