Ну например отношение сектора круга с центром в начале лучей и ограниченного этими лучами к площади полного круга (умноженное на некоторую константу, например 2pi, если в радианах, или 360 если в градусах). Должно вроде работать ваще в любых пространствах где определена мера. Так на вскидку. Ну и через скалярное произведение или комплексные числа тебе не нравится то почему?
Можно еще направление определить назвав один луч первым, второй вторым. Тогда еще и отрицательные углы будут. Но тут на вскидку никак без векторного произведения, а что тогда делать с бесконечномерными пространствами - хз. Скорее всего можно найти какой-то лайфак.
Это будет величина угла, а не угол.
Вращение, поворот (rotation) можно определить как ортогональную трансформацию без отражения, то есть с детерминантом матрицы компонент тензора поворота +1.
> через скалярное произведение
Там получается слишком сложно. До введения системы координат и как-то направленных† взаимно перпендикулярных единичных векторов базиса скалярное произведение определяется через две длины и... угол, oops :/
† в принципе всё равно как, можно и совершенно рандомно, без понятия об углах, о перпендикулярности и т.д. и т.п.
С разложением векторов на линейные комбинации базисных и определением a•b = a_i b_i уже всё okay.
> комплексные числа
А они тут как и зачем?
Причем тут координатная система и базис? Скалярное произведение это просто функция от двух векторов, которая удовлетворяет некоторому набору свойств и идейно характеризует их отклонение от ортогональности с учетом длины. А угол это преобразование этой функции к привычным геометрическим размерностям.
У меня скалярное произведение это несамостоятельная комбинация двух операций: тензорного произведения с получением диады и последующей свёртки этой диады.
Это не определение, а говорится, что обычное скалярное призведение тоже можно в такой форме представить.
a • b = (Σ) a_i b_i есть определение скалярного произведения, в википедии оно названо алгебраическим определением.
Все свойства операции “•” следуют из этого представления.
>(Σ) a_i b_i есть определение скалярного произведения
Простите, что вмешиваюсь, но чувствую желание подчеркнуть, что данная формула доставляет только пример скалярного произведения и вовсе не является определением.
Определять его можно и иначе, в википедии как раз написано
>есть определение скалярного произведения
Есть определение скалярного произведения для двух векторов, ты уж до конца дочитывай что у тебя на скрине. Открой уже любой учебник функана и почитай что действительно такое скалярное произведение.
Если тебе чем-то не нравится определение •-продукта как
a • b = (Σ) a_i b_i,
то напиши чем конкретно.
Я же не приемлю циркулярной дефиниции •-продукта через •-продукты как эта
a • b = √(a • a) √(b • b) Ω,
или она же самая
a • b = ||a|| ||b|| cos (a^b)
Давай операцию для бесконечномерных функционалов над полями комплексных чисел называть таки inner product (внутренним произведением), а dot/scalar product (скалярное произведение) это для эвклидового 3D/2D пространства.
Я другой анон, но мне лично не нравится, что понятие не зависящее от базиса определяется через базис. Никакой "цируклярной дефиниции" не происходит, скалярное произведение первичное понятие, которое задает и норму, и угол. Да, исторически это не так, но какая разница, исторически все хуево определяется.
Вот как раз "кип ит симпл" это значит не использовать координаты для безкоординатных понятий. Я понимаю, что вы физики даже тензорное произведение без координат не можете определить, но доска тут не физическая.
(вообще термин dot product используют для любых размерностей)
на русском языке это разграничение не принято
да и в англ. не всегда учитывается
и вообще не нужно оно
Ну физик, который вместо собственно скалярного произведения лезет в какое-то говно вроде оп-поста, как минимум странный физик.
>А есть логически удовлетворительное для меня определение угла?
>Давай операцию для бесконечномерных функционалов над полями комплексных чисел
В матеше всегда так?
Это довольно известный, а в /un/ дак вообще легендарный фрик из бауманки.
Ну баумка к подготовке физиков имеет одно из последний значений, там же обычно инженегров клепают. Впрочем если это какой-то известный фрик то хуй бы то с ним, так как в /un не был где-то с 2011.
справедливости ради, никаких "бесконечномерных функционалов" в математике нет. бесконечномерными бывают пространства
>А есть логически удовлетворительное для меня определение угла?
а это вопрос лично к спрашивающему, что, собственно, его удовлетворяет. его личное дело
Пример проблемы определения скалярного произведения через сумму произведений компонент
https://physics.stackexchange.com/questions/479656/formal-definition-of-dot-product
https://physics.stackexchange.com/questions/479656/formal-definition-of-dot-product
Какие же физики тупые.
По-умному определять нужно вот так?
Having two geometrical Euclidean vectors decomposed as a = (Σi) a_i e_i, b = (Σi) b_j e_j,
the dot product of these two geometrical Euclidean vectors is
a • b :def≡ (Σi,j) a_i b_j e_i • e_j
or
a • b :def≡ (Σi) a_i b_i if and only if e_i • e_j = δ_{ij}
b = (Σj) b_j e_j
quick correction
quick correction
Физики умнее математиков
Если не брать в расчёт гротендика, почти все самое крутое в математике пришло из физики
Угол это мера колинеарности двух геометрическиз обьектов. Значит ты должен определить для себя о какой геометрии идет речь, что есть понятие колинеарности в рамках этой геометрии и что за обьекты.
Тут вот что ещё с углами-то.
В одних случаях углы считаются как ненаправленные (через косинус тоже), а знак угла показывает зачем-то его "острость" или "тупость".
В других же случаях знак угла показывает направление самого угла (через синус тоже) — против вращения стрелки часов или в ту же сторону.
В одних случаях углы считаются как ненаправленные (через косинус тоже), а знак угла показывает зачем-то его "острость" или "тупость".
В других же случаях знак угла показывает направление самого угла (через синус тоже) — против вращения стрелки часов или в ту же сторону.
> dot product
> dot
> ×
> $\times$
>зачем-то его "острость" или "тупость"
>зачем-то
Если проецировать вектор $\boldsymbol{w}$ на вектор $\boldsymbol{v}$, то знак «минус» у проекции $\operatorname{proj}_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{w} < 0$ покажет то, что проекция направлена противоположно $\boldsymbol{v}$
Может быть тебе понравятся КВАТЕРНИОНЫ....
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD
Интересный подход. С тензорами поворота совместим?
>Это будет величина угла, а не угол.
А разве ОП не это и спрашивал?
>величина, а не угол.
Ну ок, тогда угол - просто часть плоскости ограниченная лучами с началом в одной точке в окрестности этой точки. Так тебе норм, лол?
А в векторных пространствах бывают лучи?
Что-то ни разу не видел.
Прямые типа $n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} + n_{0} = 0$ видел много раз.
Короче, получается угол это два вектора, а мера/величина это соответствующая функция от них.
Попробуй угол пополам поделить. Аналитически.
Если получится, то после поделить на три равные части.
Да пошел ты нахуй, ответил он уколончиво. А как тогда верно определеить угол в произвольном векторном пространстве со скалярным произведением?
>в произвольном векторном пространстве
А там нужны вообще углы?
Чем тебя не устраивает определение радианной меры углы как определения угла?
Скажем угол это часть дуги окружности меж двух лучей, с поправкой на подобие.
1. Концепт лучей не нужен. Либо ему нужно годное аналитическое определение, операции, связь с популярными пространствами и всё такое.
2. У окружности и дуг окружности радиус есть, от которого угол не зависит.
Бивекторы, тривекторы и роторы ещё никто не упоминал?
https://youtu.be/Idlv83CxP-8
https://en.wikipedia.org/wiki/Bivector
https://youtu.be/Idlv83CxP-8
https://en.wikipedia.org/wiki/Bivector
>ещё никто не упоминал?
Это не проходятзадрачивают в вузиках, поэтому никто про это не знает
В каком нормальном вузе не проходят внешнюю алгебру?
Лучше тащи пример, где её проходят, как называется курс и по нему лекции скачать бесплатно без смс
>lets remove quaternions from every 3d engine
Кватернионы гораздо быстрее вычисляются. Потому никуда они не денутся. Geometric algebra полезна, чтобы вывести таблицу умножения кватернионов.
Какие же всё-таки раньше были красивые книги по математике.
Это вот Στοιχεῖα (Elementa, The Elements, Элементы или, иногда, Начала) Εὐκλείδης (by Euclid, Евклида)
Это вот Στοιχεῖα (Elementa, The Elements, Элементы или, иногда, Начала) Εὐκλείδης (by Euclid, Евклида)
Курсы по алгебре:
Городенцев, Алгебра 2.
Вавилов, Алгебра.
Мануйлов, Линейная алгебра и геометрия (некрасиво, но есть).
Курсы по дифференциальной геометрии:
Вьюгин, Гладкие многообразия.
Фоменко, Дифференциальная геометрия и топология.
Пенской, Дифференциальная геометрия и топология.
Это если брать только курсы с записями лекций в открытом доступе.
Готов платить за книгу 380 тысяч рублей?
Ну, если скалярное произведение мы знаем, то можем найти величину угла между векторами. Есть разумный вопрос, если мы знаем два вектора между которыми угол 40 градусов, то можем ли мы построить единственный вектор между ними, угол до которого будет, например, 10 градусов от одного из них и 30 до другого? Чтобы был плоский угол, нужно брать вектор в их линейной оболочке. А дальше? По нерерывности искать его?
>можем ли мы построить единственный вектор между ними, угол до которого будет, например, 10 градусов от одного из них и 30 до другого
Такой вектор не единственный, их два
Таких векторов вообще сколько угодно может быть, я имел в виду, что мы его определим так, что будет однозначно. Вопрос как это сделать наиболее естественным образом. Может быть есть уже известное решение?
ну смотри, угол есть смысл только определять через скалярное произведение. Однако скалярное произведение можно взять любое ведь. Например взяли мы ортонормированный базис со скалярным произведением (1,1,1). Потом подвигали его стороны немного в рандомные стороны и снова ввели скалярное определение (1,1,1), согласно которому этот кривой базис должен быть ортогональным. Но мы просто смотрим на него и видим что он кривой. Хз где тут загвоздка, это шизоид какой-то придумал как и всю математику, ахахахах
>Но мы просто смотрим на него и видим что он кривой. Хз где тут загвоздка, это шизоид какой-то придумал как и всю математику, ахахахах
математика не зависит от того, что мы "видим"
это не баг, это фича
если математика не может отличить угол в 90 градусов от угла в 57 градусов то нахуй она нужна.
>угол есть смысл только определять через скалярное произведение
Тогда нужно что-то ещё, чтобы до скалярного умножения определять длину, типа евклидовой нормы. Получится, что
\begin{equation}
\operatorname{cos} \measuredangle (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})
\equiv
\displaystyle\frac{\boldsymbol{a}}{\| \boldsymbol{a} \|} \cdot \displaystyle\frac{\boldsymbol{b}}{\| \boldsymbol{b} \|}
\end{equation}
это ты не можешь отличить "90 градусов" от "ортогональность"
>чтобы до скалярного умножения определять длину, типа евклидовой нормы
норма естественным образом индуцируется из скалярного произведения
>это ты не можешь отличить "90 градусов" от "ортогональность"
почему, могу, 90 градусов я могу на глаз отличить, а ортогональность это бесполезное в математике понятие так как я для любого неортогонального базиса могу переопределить скалярное произведение так чтобы он был ортогональным. Математика даже не может выделить скалярное произведение на пикрил среди других скалярных произведений чтобы такой проблемы переопределения не было
>Математика даже не может выделить скалярное произведение на пикрил среди других скалярных произведений
О чём ты вообще?
>я для любого неортогонального базиса могу переопределить скалярное произведение так чтобы он был ортогональным
Так переопредели и покажи как.
>О чём ты вообще?
бля так и думал что тупого включишь
>Так переопредели и покажи как.
берёшь и задаёшь скалярное произведение (1,1,1)
Что такое скалярное произведение (1,1,1)?
Удваиваю вопрос.
единичная матрица. Скалярное произведение задаётся матрицей.
Ёпта, ты про метрические тензоры что ли? Так ведь они не "задаются" кем-то произвольно по желанию.
>почему, могу, 90 градусов я могу на глаз отличить,
ты можешь на глаз отличить 90 градусов от 57, но причём здесь ортогональность?
>а ортогональность это бесполезное в математике понятие
раз уж ты ощущаешь себя вправе рассуждать о том, что в математике полезно, а что нет, тебе бы следовало хотя бы осознать, что в математике градусов вообще никаких нет, это название для единицы измерения, концепции совершенно чуждой математике есть сигма-алгебры, но и они определяются абстрактно
напротив, понятие "ортогональности" как некоторое соотношение, определённое для предварительно заданной структуры (скалярном произведении) - понятие совершенно естественное и имманентное математике
тот факт, что на одном и том же пространстве можно по-разному вводить скалярное произведение, и каждый раз будут получаться свои понятия ортогональности, никого не смущает, более того, этот факт не просто не бесполезен, он ЧРЕЗВЫЧАЙНО полезен. отсюда растёт риманова геометрия, невероятно глубокая, сложная и красивая наука
далее, возвращаясь к
>Математика даже не может выделить скалярное произведение
я отмечу, что на $\mathbb R^n$, которое мы понимаем как множество столбцов чисел длины $n$, экзотические скалярные произведения никогда не рассматриваются. я, во всяком случае, ни разу не видел. "необычные" скалярные произведения возникают на пространствах, заданных иначе.
например, на пространстве многочленов (степени меньше $n$),
твой любимый пикрил, как и твои любимые "90 градусов", совершенно бессмысленны: скажем, что такое угол между $x^2+x$ и $x-1$? вот здесь и приходят на помощь абстрактные конструкции: мы вводим скалярное произведение на пространстве многочленов и относительно него можем вычислить такой угол.
чтобы вычислять длину угла, тебе всё равно надо каким-то образом объяснить строго определить а не отличать на глаз, что такое "угол" и что такое его длина, оказывается, через скалярное произведение очень удобно и естественно это делать
ты, конечно, шиз, и ничего не поймёшь из того, что я написал,
но истина дороже
так, ещё раз для особенных, может ли математика мне сказать равен ли угол в моей комнате 90ста градусам? Или она для этого потребует координаты векторов лежащих на этом угле в базисе из векторов между которыми 90 градусов?? Нахуя мне математика которая работает рекурсивно и чтобы определить 90 градусов требует угол в 90 градусов? Я же вижу на деле в реальной жизни что этот угол в 90 градусов особенный, в отличии от угла 57 градусов обладает всякими особенностями, а значит он не равносилен углу в 57 градусов и может быть как-то порождён из математики.
>так, ещё раз для особенных, может ли математика мне сказать равен ли угол в моей комнате 90ста градусам?
для этого у тебя есть транспортир
математика решает другие задачи
>Нахуя мне математика
этот вопрос следует задать зеркалу
а посторонних людей не трогать
>чтобы определить 90 градусов требует угол в 90 градусов
чтобы в абстрактном векторном пространстве определить угол, вводят скалярное произведение. ты можешь определить угол иначе как-нибудь, твоё личное дело, никто за руку не держит. никаких градусов в математике в принципе нет, я уже пояснил
>а значит он не равносилен углу в 57 градусов и может быть как-то порождён из математики.
что значит "равносилен"? это какие-то продукты твоей собственной фантазии
>для этого у тебя есть транспортир математика решает другие задачи
то есть не может
>никаких градусов в математике в принципе нет, я уже пояснил
ну не градусов так радиан, какая нахуй разница, четверть окружности в общем.
>что значит "равносилен"? это какие-то продукты твоей собственной фантазии
это значит что угол 90 градусов обладает особыми свойствами по сравнению с углом 57 градусов. Например делит окружность ровно на четыре части, а также задаёт самый удобный базис в нашем пространстве, три оси под углами 90 градусов друг к другу. Математика не может объяснить почему он самый удобный, у неё скалярное произведение привязано к ортонормированному базису, а ортонормированный базис к скалярному произведению
>то есть не может
если ты настаиваешь, то да, не может
причина в том, что математика не знает, что такое угол в твоей комнате
биология тоже не может измерить угол в твоей комнате по той же самой причине, но это у тебя анальных болей не вызывает
>ну не градусов так радиан, какая нахуй разница, четверть окружности в общем.
для этого надо научиться измерять длину окружности, кроме того, и саму окружность, если нет понятия длины вектора, нарисовать невозможно.
иначе говоря, надо по-прежнему ввести множество дополнительных структур, которых в абстрактном векторном пространстве нет, и выбор которых, я подчеркну, произвольный
в конце этого пути можно определить углы, я формальных препятствий не вижу. но эти углы будут зависеть от выборов дополнительных структур (от того, каким образом будут определены "длина вектора" и "длина окружности")
>это значит что угол 90 градусов обладает особыми свойствами
так ты начинаешь пытаться определить, что такое угол
когда доведёшь до строгого определения, можно будет обсудить
>Математика не может объяснить почему он самый удобный
и не должна
ты сам выбираешь, что для тебя удобно
>у неё скалярное произведение привязано к ортонормированному базису
оно не привязано, скалярное произведение вводится отдельно
>а ортонормированный базис к скалярному произведению
это правильно
Rotation is a distance preserving bijection of the space with a fixed point.
Angle is a measure of rotation.
Angle is a measure of rotation.
О чем весь тред? У тебя векторное пространство над каким полем? Если вещественное, то вводишь на нем симметричную билинейную форму с положительно определенной соответствующей квадратичной формой, называешь это скалярным произведением и определяешь через него косинус угла, доказывая, что он всегда от -1 до 1, вуаля. Если комплексное, то все то же самое, только форма эрмитова. Кострикин, второй том.
>пролистал один учебник, нацеплял оттуда дохуя лишних бесполезных слов и посчитал что сможет выебнуться
...и гарантировано не ответит на вопросы:
Почему косинус, а не синус?
Почему круговые функции, а не эллиптические?
Почему круговые, а не гиперболические?
Отличать углы "по часовой" от углов "против часовой" не нужно?
>пролистал один учебник, нацеплял оттуда дохуя лишних бесполезных слов и посчитал что сможет выебнуться
И гарантировано не ответит на вопросы:
Почему косинус, а не синус?
>пролистал один учебник, нацеплял оттуда дохуя лишних бесполезных слов и посчитал что сможет выебнуться
И гарантировано не ответит на вопросы типа таких:
Почему косинус, а не синус? Отличать углы "по часовой" от углов "против часовой" не нужно?
Почему циркульные функции, а не эллиптические?
Почему циркульные, а не гиперболические?
Что такое нулевой угол?
Как сложить или вычесть два угла?
Можно ли перемножить два угла?
Как умножить угол на скаляр?
Потому что это канонично, блядь в математическом смысле: Взяли интуитивную хуйню, раскрутили на пальцах на R^2, а потом на этой мотивировке построили общее определение, которое в частном случае вырождается в то, с чего начали. И в этом, внезапно, нет никакого логического противоречия. Ты пойди еще до физиков доебись за принцип наименьшего действия.
>Почему косинус, а не синус?
почему ты говоришь на русском, а не на хинди?
примерно такого же уровня вопрос
Некорректная аналогия.
मैं कई भाषाएं बोलता हूं, खासकर जब मेरे पास इंटरनेट है
корректная
потому что придираться за названия (c тысячелетней историей) - это бред и тупость
Какие ещё названия? Синус и косинус? По-твоему они отличаются лишь названиями? И причём тут какая-то сраная древняя история?
я не понял, чем тебе не нравятся косинус и синус
Понимаешь ли, sinus complementi (cosine) превосходен для получения ортогональных проекций. Скалярное произведение вводится и используется тоже для того же.
Когда же тебе нужны не проекции, ты осознаешь: косинус тут не совсем то, что тебе нужно.
синус - это конкретная функция, для неё указаны область определения, область значений и формула, по которой она вычисляется. это как число $1$ или $\sqrt{2}$
скалярное произведение - это дополнительная структура, которая в разных задачах может быть выбрана по-разному
Похвально, что ты это знаешь, можешь взять конфетку.
Наверняка тебе понравятся эллиптические функции ещё.
А этот тред – про поиск дефиниции угла.
Что такое угол?
>Что такое угол?
множество раз выше уже пояснили
И что, разве выбрали какой из сотни вариантов определения угла юзать окончательно?
Я не оп-шиз, за копротивлениями не следил
Просто оставлю это тут
http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1840_1_5_A39_0.pdf
http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1840_1_5_A39_0.pdf
И это
Euclid Book 1 Props I–V — a critical review
https://youtu.be/F-IgFTgQ61Y
Four lectures on Hamilton's discovery of quaternions
(i) https://youtu.be/uRKZnFAR7yw
(ii) https://youtu.be/0_XoZc-A1HU
(iii) https://youtu.be/g22jAtg3QAk
(iv) https://youtu.be/MkNfQtINEjo
Wild linear algebra
https://youtube.com/playlist?list=PLIljB45xT85BhzJ-oWNug1YtUjfWp1qAp
Euclid Book 1 Props I–V — a critical review
https://youtu.be/F-IgFTgQ61Y
Four lectures on Hamilton's discovery of quaternions
(i) https://youtu.be/uRKZnFAR7yw
(ii) https://youtu.be/0_XoZc-A1HU
(iii) https://youtu.be/g22jAtg3QAk
(iv) https://youtu.be/MkNfQtINEjo
Wild linear algebra
https://youtube.com/playlist?list=PLIljB45xT85BhzJ-oWNug1YtUjfWp1qAp
Euclid Book 1 Prop IV
BUMP
Если серьезно и по теме, то можно попытаться определить так.
Введите искусственным путем арккосинус, например, в виде интеграла.
Возьмите вещественное двумерное векторное пространство $ R^2 $, снабдите его стандартным скалярным произведением: $<(x_1,y_1);(x_2,y_2)>:=x_1y_1+x_2y_2$. Отсюда несложно определить длину вектора $l((x,y)):=\sqrt{x^2+y^2}$
Определите угол между векторами $a$ и $b$ как число $\operatorname{Angle}(a,b):=\operatorname{arccos}(\frac{<a;b>}{l(a)l(b)})$.
Более того, на аффином пространстве $RA^2$ наше скалярное произведение порождает метрику. У получившегося метрического пространства Вам теперь нужно расклассифицировать изометрии, выбрать те из них, которые в качестве множества неподвижных точек имеют $\{(0,0)\}$ (назовем их интересными поворотами), и всякой такой изометрии биективно сопоставить угол между векторами так. Пусть $e_1=(0,1)$, $i(e_1)$ суть кортеж-образ $e_1$ под действием изометрии $i$. Этим кортежам соответствуют очевидным образом вектора, и интересному повороту $i$ сопоставляем $\operatorname{Angle}(e_1,i(e_1))$.
Теперь рассмотрим множество $A:=[0,\infty)$ и интересный поворот$i_x$, соответствующий нужному значению $x$ угла между векторами. И теперь геометрическим углом в $x$ радиан назовем множество, которое некоторой изометрией того самого аффинного пространства вкладывается в $A\cup i_x(A)$.
Введите искусственным путем арккосинус, например, в виде интеграла.
Возьмите вещественное двумерное векторное пространство $ R^2 $, снабдите его стандартным скалярным произведением: $<(x_1,y_1);(x_2,y_2)>:=x_1y_1+x_2y_2$. Отсюда несложно определить длину вектора $l((x,y)):=\sqrt{x^2+y^2}$
Определите угол между векторами $a$ и $b$ как число $\operatorname{Angle}(a,b):=\operatorname{arccos}(\frac{<a;b>}{l(a)l(b)})$.
Более того, на аффином пространстве $RA^2$ наше скалярное произведение порождает метрику. У получившегося метрического пространства Вам теперь нужно расклассифицировать изометрии, выбрать те из них, которые в качестве множества неподвижных точек имеют $\{(0,0)\}$ (назовем их интересными поворотами), и всякой такой изометрии биективно сопоставить угол между векторами так. Пусть $e_1=(0,1)$, $i(e_1)$ суть кортеж-образ $e_1$ под действием изометрии $i$. Этим кортежам соответствуют очевидным образом вектора, и интересному повороту $i$ сопоставляем $\operatorname{Angle}(e_1,i(e_1))$.
Теперь рассмотрим множество $A:=[0,\infty)$ и интересный поворот$i_x$, соответствующий нужному значению $x$ угла между векторами. И теперь геометрическим углом в $x$ радиан назовем множество, которое некоторой изометрией того самого аффинного пространства вкладывается в $A\cup i_x(A)$.
вверх, тред охуенен
Дохлый раздел, казалось бы, откуда тут столько шизла?.. По аналогии с N-петухом, который не осилил определения N, предлагаю назвать опа угловым петухом. В чем вообще смысл искать определения того, что давно определено разными способами, более того, имеющиеся определения общеприняты и не вызывают никаких проблем с использованием? Пейте таблетки, граждане, меньше будет вопросов.
я помню такими же вопросами задавался, типа что такое площадь?
Мы же когда площадь считаем, то умножаем длину на ширину, и я задавался вопросами, как мы то что не имеет ширины умножаем, на то что не имеет длинны. Патом понял, что нужно принять за аксиому, единицу площади, что она существует, а перемножением длинны на ширину, мы получаем сколько раз единица площади умещается в этом пространстве длинной такой то и шириной такой то
> Мы же когда площадь считаем, то умножаем длину на ширину, и я задавался вопросами, как мы то что не имеет ширины умножаем, на то что не имеет длинны.
Это недостаточность абстрактного мышления. Если затык даже на таком простейшем примере, ты уже на тригонометрии соснешь. С другой стороны, можешь вкатиться в счёт древних шизов Рыбникова, просто прими, что все эти абстракции это приказ Израиля.
Логично в принципе. Если еврейская команда ZOG управляет миром, то кто мы такие чтобы копротивляться? Гораздо разумнее принять их волю.
Ну може ты и прав, я очень всегда хочу узнать полностью картину, каждую деталь и связь, и очень тяжело и обидно когда ради решения какой то задачи или понимания чего то, приходится абстрагироваться. И действительно тригонометрию плохо понял. Ну во первых потому что формулы я не хотел учить в школе, а во вторых сидел и искал смыслы в единичной окружности, и так как я люблю находить всякие физические аналогии математическим явлениям, то сидел и представлял что синус гипотенузы, это проекция и тень на ось y этой гипотенузы. Ну меня тупым никогда не считали, хоть и троешником был всю жизнь, но скажу не стесняясь, я наверное лучше всех из класса решал задачи по геометрии. Я иногда думаю, вот бы существовали психологи по математике и физике, что бы помочь мне мои проблемы по этим наукам решить.
>психолог по физике
Хм. А в этом что-то есть.
оценки ни о чём не говорят
сиди тут и задавай в треде для новичков свои вопросы, кто мешает-то
математика - это не спринт, коль скоро ты её (чистую или прикладную) в профессиональном плане не используешь, сиди хоть 20 лет оджну тему читай, не похуй ли
Я думал в школе, что площадь можно выразить через длину, а длину через количество.
Например прямоугольнике со сторонами 3х5 при подсчете площади 3х5 мы берем сторону 3 и копируем её к каждой точке стороны 5. Можно представить что получаем ломанную. Она имеет длину каким-то хитрым образом вычислимую, и её длина равна площади.
Наверное если бы мне нечем было больше заняться, то открыл бы что-то вроде метода неделимых. Но у меня был варкрафт.
Ну для меня было понятно что что бы найти количество ячеек в таблицы нужно количество столбцов умножить на количество строк. То есть таблица 3x5 = 15 ячеек. Так как там есть наименьшая мера измерения это ячейка, то понятно становится, что мы складываем 5 раза столбец размером 3 ячеек, или же 3 раза складываем строки размером 5 ячеек. А вот в геометрической фигуре нет единицы измерения визуальной, там можно бесконечно делить и делить ее.
И типо сколько мне раз нужно сложить ширину, если наименьшей единицы измерения нет у длинны
>Это недостаточность абстрактного мышления
Ну а вот эта твоя хуйня с математикой на основе цветных квадратиков? Это ничто иное как переход от более абстрактных, символических семиотик к менее абстрактным, наглядно-образным иконическим семиотикам. Можно ещё счётные палочки использовать, лол. Так что слушать тебя про абстрактное мышление - это всё равно что учиться целомудрию у проституток.
Каких ещё квадратиков?!
Пиздец, ты и оп просто два инвалида.
Это даже комментировать сложно, настолько тупорылые логические ошибки, что едва ли похоже на что-то кроме троллинга.
Опу:
Нет, угол -- это объект, который существует только в евклидовом пространстве, поэтому и описывается он в самом широком случае через свойство евклидова пространства: наличие скалярного произведения.
Ладно, есть ещё обобщения на случаи метрических пространств, но они разнятся по свойствам от определения к определению, поэтому под то, что ты представляешь под углом, не подходят.
Все остальные способы представления углов -- это для наглядности.
Добавлю: "количество вращения" определяться у тебя будет через линейные отображения, а то есть умножение матрицы на вектор, и в итоге всё равно сведётся к скалярному произведению.
Ты даун, я чувствую это через монитор
>Каких ещё квадратиков
Приходит министр сельского хозяйства к М. С. Горбачеву.
- Михаил Сергеевич, беда, в стране куры дохнут.
- Ничего страшного, нарисуйте перед каждой курицей желтый круг.
Пожал плечами министр, ушел. Через две недели приходит:
- Михаил Сергеевич, все равно дохнут.
- Впишите в желтый круг зеленый квадрат.
Пожал плечами, ушел. Приходит через неделю:
- Михаил Сергеевич, дохнут ведь, совсем мало осталось.
- Впишите в зеленый квадрат красный треугольник Проходит месяц,
встречает Горбачев Министра и воспрашает, а чтож вы не заходите не
рассказываете как там куры?
- Да понимаете Михаил Сергеевич, сдохли все.
- Ах как жаль, у меня еще так много идей!
ахахах, а здесь есть какой то глубинный смысл или шутка просто в том что горбачев методом тыка пытается решить проблему?
Да пидарас этот Горбачёв, такую страну развалил, вот и весь смысл.
>есть какой то глубинный смысл
Нет
пояснишь?
Я тут заморочился примерно тем же, но про линии.
Короче, всё от Эвклида, читай его книги.
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/defI2.html
https://youtu.be/udZi1OqAURA
А так всё это конечно же сферические абстракции в вакууме.
Степень рассихронизации траекторий.
Отсылает к тому что всё во вселенной определяется через движение.
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Если круг превратить в линию и отметить на нём точку старта и целевую точку, то это будет разность между ними.
test $\frac {12+4}{\pi}$
То есть угол - это сама степень отклонения одного луча от другого? А как называется область пространства, которая этими лучами отграничивается?
Не, наоборот, область пространства это и есть угол, а величина отклонения это угловая мера (иногда ее неверно называют углом).
Блядь проиграл с этих словесных мастурбаций. Вы блядь можете просто определение углу дать или нет? Вас не просили гимнастикой заниматься.
Какой же английский все таки охуенный язык. Простой, понятный и лаконичный. Пока местные клоуны спорят УГОЛ vs ВЕЛИЧИНА УГЛА, на английском языке буквально в трех словах дано определение без всякого двоемыслия.
Вот этот хуй отлично объяснил, что я начал понимать интуитивно синусы и косинусы без заучиваний. Но он на английском
https://www.youtube.com/watch?v=Pn1-DLihSh4
Как насчёт определения в
Lang, Serge - Basic mathematics (1971, Addison-Wesly Publishing Company) ?
Хз, чет он там полчаса идет к объяснению определения, которым меня в школе насиловали, Косинус - это абсцисса, а синус - ордината, точки лежащей на единичной окружности и соотвествующей данному углу поворота.
А где-то объясняют не так? Начинать лучше с подобных треугольников, потом синусы/косинусы в прямоугольном треугольнике, а только потом переходить к единичной окружности.
>Начинать лучше с подобных треугольников
?¿ Но зачем?
Чтобы понимать, почему в прямоугольных треугольниках разных размеров, но с одинаковыми углами одинаковые отношения сторон.
Видимо да, раз после чтения нескольких статей не приходит понимание. Заучить конечно можно, а вот понять - нет. А в видео объясняется сама суть синусов и косинусов, что становится понятно всё интуитивно и с первого раза.
В произвольном векторном пространстве что такое дуга?
Ясное дело, что угла нет, мы его тут определить пытаемся. Вот в определении есть дуга, что это такое, я хотел узнать.
Множество точек, равноудалённых от центра.
1) В произвольном векторном пространстве нет ни центра, ни расстояния. Но если даже это всё задать, то получится сфера, а не дуга.
2) Каким образом это множество предлагается делить на какой-то "радиус" для получения угла?
>В произвольном векторном пространстве нет ни центра, ни расстояния.
Но есть начало отсчёта и радиус векторы. Расстоянием вполне может послужить длина вектора.
>Каким образом это множество предлагается делить на какой-то "радиус" для получения угла?
А тебе же было дано определение дуги, а не радиуса.
Нет, начала отсчета и радиус-векторов тоже нет, для этого нужно аффинное пространство. Ты пишешь, что угол это дуга на радиус. Вот допустим, что дуга это то множество, что ты сказал. Как это множество делить на "радиус", и что такое вообще "радиус"?
Происходит троллинг тупостью, да?
Я думаю поворот это когда есть опорная точка и нужно сдвинуть другую точку относительно её и чтобы расстояние не поменялось. А угол это процент от поворота
>суть синусов и косинусов
Неужели где-то синусы с косинусами описываются не как отношения сторон в прямоугольном треугольнике?
Синусы и косинусы это и есть отношения сторон, но если не знающему объяснять, то он не поймёт. А в видео показывается, что синус это просто позиция по Y, а косинус это позиция по X. Вот и всё.
>Ты пишешь, что угол это дуга на радиус.
Тебе написал про определение дуги.
>Вот допустим, что дуга это то множество, что ты сказал. Как это множество делить на "радиус", и что такое вообще "радиус"?
В определении дуги нет "радиуса".
>Нет, начала отсчета и радиус-векторов тоже нет, для этого нужно аффинное пространство.
Т. е. для нулевого значения координаты требуется аффинное пространство?
Совокупно твой ответ - это проявление тупости?
>тебе написал про определение дуги
это я понял, но ранее ответил тебе, что это не определение дуги
>определении дуги нет "радиуса"
это я дальше развивал мысль, что кроме того, что "дуга" не определена, еще и слово "радиус" тоже не определно, то есть использовать указанное выше определение угла невозможно
>для нулевого значения координаты требуется аффинное пространство
не нулевого значения координат, а начала отсчета - да
>это я понял, но ранее ответил тебе, что это не определение дуги
Ранее ты писал другому, а на текущий момент тебе предоставлено определение дуги без радиуса.
>не нулевого значения координат, а начала отсчета - да
А я про нулевое значение в векторном пространстве, без затрагивания аффинного. Таким образом, начало отсчёта представляется через нулевые значения. Или у тебя это невозможно?
>что кроме того, что "дуга" не определена, еще и слово "радиус" тоже не определно, то есть использовать указанное выше определение угла невозможно
Всё определяется опосредованно, но ты соскакиваешь с элементарных трактовок, судя по вашей переписки.
>определение дуги без радиуса
твое определение дуги без радиуса это сфера, а не дуга и для него все еще нужно расстояние, которого нет в произвольном векторном пространстве
>начало отсчёта представляется через нулевые значения
что такое нулевые значения? в вп у тебя есть только один нуль вектор и всё
>определяется опосредованно
>соскакиваешь с элементарных трактовок
я задаю конкретные вопросы, а мне на них отвечают словами, значения которых не знают
>твое определение дуги без радиуса это сфера
За меня уже определил трёхмерное пространство?
>что такое нулевые значения?
У кортежа есть значения? Они могут быть все нулевыми?
>я задаю конкретные вопросы, а мне на них отвечают словами, значения которых не знают
Тебе отвечают, но не так, как тебе хочется, только и всего. Ты уже пытался перевести обсуждение то в аффинное пространство, то приписывал обязательное нахождения понятия "радиуса" в определении "дуги", что, очевидно, не так.
>трёхмерное пространство
не трехмерное пространство, а произвольное векторное пространство
>у кортежа есть значения
у какого кортежа? ты базис выбрал какой-то?
>но не так, как тебе хочется
мне отвечают ерунду, только и всего
>обязательное нахождения понятия "радиуса" в определении "дуги"
это не так, прочитай еще раз тред
>не трехмерное пространство, а произвольное векторное пространство
А почему ты решил, что там можно определить сферу? На основании чего ты решил, что у меня не двухместный кортеж?
>у какого кортежа? ты базис выбрал какой-то?
А что, невозможно?
>мне отвечают ерунду, только и всего
Повсюду видишь грязь.
>это не так, прочитай еще раз тред
Зачем? Ведь все мои прошлые аргументы не отклонены.
>ожет, стоит добавить „минимальное“, будет „минимальное количество вращения“?
Не стоит. Угла всегда два, а не один. Это хорошо видно на самом правом пике у
>всё во вселенной определяется через движение.
Электростатические поля тоже?
>Электростатические поля тоже?
Конечно, это же связность на расслоении.
А разве снаряды не по эллипсу хуячат?
лол
↑↑↑↑
ну так по факту пты пришел к площади через интеграл. сам не зная того, при расчете через интеграл мы тоже ж из бесконечно малых кусков собираем площадь...
а какая нам разница есть наименьшая или нет, главное ее представить и убедится что она !=0
только если больше первой космической разогнать, и то не долго... а так любое тело брошенное под углом к горизонту по параболедаже если больше первой космической, но там вырожденный случай, когда постоянно мимо земли падает по параболе
>это есть количество вращения
а вращение это что, как определяешь ?
угла от времени? курица—яйцо проблема
а время воображаемо-конечное?
тред ещё жив?
Угол это мера поворота. Ок?
вращение - трансформация с одной неизменной точкой и без сжатия/растяжения.
Логарифм комплексного числа с модулем 1.
Многозначная функция.
>трансформация
>неизменной
надмозг?
Есть преобразования с одной неподвижной точкой без сжатия\растяжения, не являющиеся поворотом.
Область определения косинуса (или любой другой тригонометрической функции).
Точнее довольный элемент из этого множества (области определения)
а
>Область определения
это что? откуда она берётся?
угол — это
ψ = acos ( x / √(x² + y²) )
если y = √(1 – x²), то x² + y² = 1,
ψ = acos x,
cos ψ = x
https://www.youtube.com/watch?v=SrU9YDoXE88
нон-мультиконтинуальные алеф нули
Считает корни из минусовых чисел
https://web2.0calc.com/
нон-мультиконтинуальные алеф нули
Считает корни из минусовых чисел
https://web2.0calc.com/
если уж уходить в комплексные числа, то надо вспомнить о том, что корень это многозначная функция
Ну что потомки, построили уже башню Маркова? Конструктивная математика теперь проще пареной репы?
Угол это два луча исходящих из центра окружности
Луча потому что лучи не включают в себя центр окружности
https://www.youtube.com/watch?v=VrcNOTen_x0
Кардио́ида — плоская лиминальная линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом.
Лиминальный — происходит из латинского liminal и означает «переходный».
Герцовку протонов утяжеляешь по кардиоиде далее ты мощен в том числе радиационно. Качалка уровня /math/
Тут всё просто из точки угол меряешь и ньюрал нетворк готов некогда объяснять, главное с угла начать
http://www.fractal.org/Life-Science-Technology/Publications/Fractal-Neural-Networks.htm
Шо, всё интересное в итоге закончилось тут?
не может закончиться то, что не начиналось
Так и не определили N угол. Угол-петух...
Ну как же не начаналось, когда в итоге ОП задушился от доказательств с определениями и ливнул куда-то
Всё ещё жду определение нуль мерного угла в рамках позитивно искривлённого пространства
чё за н угол ты чё ебанутый ты думаешь попадут в континуум тебе ответив. так и будешь без даты про н угол но в другом континууме будешь.
но тут-то не будешь.
If x is increased by a small amount dx by extending the side AC slightly to D, then y also increases by dy. These form two sides of a triangle, CDE, which (with E chosen so CE is perpendicular to the hypotenuse) is a right triangle approximately similar to ABC. Therefore, the ratios of their sides must be the same, that is
$\frac{dy}{dx}={\frac{x}{y}}$.
This can be rewritten as
$y\,dy=x\,dx$.
This differential equation that can be solved by direct integration
$\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx\,$,
giving
$y^{2}=x^{2}+C$.
The constant can be deduced from $x = 0, y = a$
$C = a^{2}$.
$\frac{dy}{dx}={\frac{x}{y}}$.
This can be rewritten as
$y\,dy=x\,dx$.
This differential equation that can be solved by direct integration
$\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx\,$,
giving
$y^{2}=x^{2}+C$.
The constant can be deduced from $x = 0, y = a$
$C = a^{2}$.
Евклид так то линию называл длинной без ширины, у него тоже недостаточность абстрактного мышления?
А я так и не понял - угол в итоге существует?
Угол -- это одна точка и две исходящие из этой точки полупрямые
угол это не математика даже
пошел на хуй
Gg
чмо уймись
у такого определения есть проблемы с хиральностью (“какой же из двух углов — угол? имеет ли значение какая сторона первая и какая вторая? и какую же из них выбрать за «первую»?”) и из него уж совсем не понятно, как углы складывать† и сравнивать
† а можно ли вообще углы (конечные) складывать? может, они вообще... умножаются ?🤔
Двачую, очевидно люди думают о математических сущностях по-разному, даже счет в голове, сложить там поделить, происходит по-разному, и вероятно можно людей переучивать на более эффективные алгоритмы и паттерны мышления, ведь они возникают спонтанно у детей, можно сказать рандомно и быстро закрепляются хоть могут и быть неэффективны
Предлагаю не ебать мозги и сойтись на том, что можно и складывать, и умножать и в степени возводить. Определять все эти вычисления впадлу
Парни, если кто знает, есть презентация от какого-то универа, в котором расписаны все темы вышмата и где можно по ключевым словам переходить к слайду. Не помню от какого универа именно. Если кто понял, о чем речь и кому-то попадалась, киньте ссылку
ты заебал, иди нахуй, говно тупое
На днях я начал решать вот эту задачу (пик рилейтед № 1), где фигурирует поиск максимума площади 4-угольника. Не ведая, каким путём это вообще максимизировать, я вопросил у эйая (ai, искусственного интеллекта, электронного ублюдка). Получив ответ, я сделал снимок (пик рилейтед № 2) и написал :
“ поверим эйаю на слово, что максимальная площадь у такого, все вершины которого лежат на одной окружности? ”
Но затем, совсем не желая “верить на слово,” я обратился к другому электронному разуму, написавшему (пик рилейтед № 3), что сумма противоположных углов такого четыреугольника равна почему-то всенепременно π (видимо по определению), что и даёт максимум.
Дальнейшие поиски в интернетах того, а с чего бы это вдруг внезапно так, вывели меня на the fundamental principle in geometry very very known by everyone as the Inscribed Angle Theorem (пик рилейтед № 4) :
“ An inscribed angle is an angle formed by two chords in a circle that have a common endpoint on the circle. The measure of an inscribed angle is half the measure of its intercepted arc. ”
“ поверим эйаю на слово, что максимальная площадь у такого, все вершины которого лежат на одной окружности? ”
Но затем, совсем не желая “верить на слово,” я обратился к другому электронному разуму, написавшему (пик рилейтед № 3), что сумма противоположных углов такого четыреугольника равна почему-то всенепременно π (видимо по определению), что и даёт максимум.
Дальнейшие поиски в интернетах того, а с чего бы это вдруг внезапно так, вывели меня на the fundamental principle in geometry very very known by everyone as the Inscribed Angle Theorem (пик рилейтед № 4) :
“ An inscribed angle is an angle formed by two chords in a circle that have a common endpoint on the circle. The measure of an inscribed angle is half the measure of its intercepted arc. ”
Получается, что именно оттуда и следует, что в две стороны эта перехватываемая дуга будет полной окружностью, сиречь 2π, половина которой есть π....
Остановился ли я? Нет!! Я продолжил поиски в Википедии, но оказалось что доказательство этого всем давно известного совершенно абсолютно очевидного фундаментальнейшего факта https://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_angle настолько муторное, что приводится аж отдельно для трёх случаев.
Немного подумав, взяв лист клетчатой бумаги и набор цветных гелевых ручек с блёстками, я сотворил своё собственное доказательство the Inscribed Angle Theorem (пик очень рилейтед) и написал :
но вообще-то это легко выводится из того, что сумма углов в любом трёхугольнике равна сумме углов в любом другом трёхугольнике,
и это в самом общем виде, безо всяких трёх отдельных случаев,
и явно получается, что угол ψ не влияет на α = ω/2 ну никак, точно так же и φ(ψ)
Но тут, конечно же, сразу возникает вопрос об арифметике углов — действительно ли углы линейны, то есть допустимо углы складывать и умножать на скалярный коэффициент❓
Искусственная нейросеть ответила мне на этот вопрос так (пик рилейтед 3.1).
Позже, я погрузился в эту проблему глубже и откопал постулат о сложении углов (angle addition postulate) :
“ если два угла находятся рядом так, что они имеют общую вершину и общую сторону, то сумма этих углов считается равной получающемуся общему углу ”
https://www.cuemath.com/geometry/angle-addition-postulate/ (пик рилейтед 3.2)
Не останавливая своего стремления замучить электронные мозги, я поинтересовался
1️⃣ А валиден ли постулат о сложении углов для 3d пространства?
На это ЭйАй отписал :
The concept of an angle itself is inherently planar, even when embedded in a 3D environment. Therefore, when applying the angle addition postulate in 3D space, it's crucial to consider angles that are coplanar. For angles that do not lie in the same plane, vector addition or other methods for combining spatial orientations would be used instead of the simple angle addition postulate.
2️⃣ How the angle addition postulate applies to the sum of a triangle’s angles?
While this postulate directly concerns the sum of adjacent angles forming a larger angle, its application to the sum of a triangle's angles is indirect and conceptual, primarily through the understanding of parallel lines and transversals. The fundamental theorem that the sum of angles in a triangle is 180° is derived using properties of parallel lines, where angles formed by a transversal intersecting parallel lines are congruent.
— “косвенно и концептуально” (пик рилейтед 3.3)
Копание первоисточника этого постулата привело меня к “three points principle (принципу трёх точек)”— между прочим, настолько фундаментальному( для античной геометрии Εὐκλείδης’а, что про него я вообще до этого никогда и нигде не слышал и не видел :
“ Three distinct points either lie on a single line (collinear) or lie on a single circle (concyclic). ”
“ Три разные точки либо лежат на одной линии (коллинеарны), либо лежат на одной окружности (концикличны). ”
(ставь лайк, если ты тоже никогда до этого не слышал о таком принципе)
(пик фундаментально рилейтед)
) Нет-нет! Если что, я не фундаментальность этого оспариваю, а удивлённо негодую от того, что никогда ни от кого об этом раньше не слышал 😔
>постулат о сложении углов
Угол это интеграл от коцепи из определенного класса первых когомологий де Рама, поэтому все свойства линейности тривиально наследуются и ничего постулировать не нужно.
>Искусственная нейросеть ответила мне
А, ты из этих, похуй тогда.
в тригонометрии я не понял почему это у двух равных треугольников синусы равных углов внезапно отличаются знаком
может быть, потому, что ты неправильно понимаешь, что такое синус?
Потому что он переопределил значения синуса и косинуса. Изначально это отношение сторон, определено только для углов (0,90). Хотелось бы иметь область определения любое число, всё R.
Если ввести координаты и оставаться в 1 четверти, гипотенуза = 1, то cos(a) и sin(a) это координаты точки, которая лежит на пересечении луча и окружности.
Дальше тригонометрические функции переопределяют, для того чтобы расширить область определения на все числа. Говорят, что cos(a) это координата x, а sin(a) это координата y.
Потому sin(56) и sin(-56) отличаются по знаку, у них координата разная.
Переопределить функции можно по-разному. Можно например вспомнить формулу разности углов sin(a - b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a), она выводится из стандартной ситуации, но можно туда закинуть рандомные углы и посмотреть что будет. Возьмём b = 2a, тогда sin(a - 2a) = = sin(-a) = sin(a)cos(2a) - sin(2a)cos(a)
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
sin(a)cos(2a) - 2sin(a)cos^2(a) = sin(a)[cos(2a) - 2cos^2(a)] = sin(a)[1-2sin^2(a)-2cos^2(a)]
sin(a)[1-2(sin^2(a)+cos^2(a))] = sin(a)[1-2] = -sin(a)
ещё можно через ряды, но это уже за рамками школьной программы, хотя впервые именно через ряды синус/косинус переопределили-обобщили.
ВЕЛИЧИНА ДУГИ
...я подумал что электронный ублюдок уж точно напишет мне про арк-ленгθ, но...
я рил в шоке, что такое понятие вообще существует
...я подумал что электронный ублюдок уж точно напишет мне про арк-ленгθ, но...
я рил в шоке, что такое понятие вообще существует
скалярное произведение векторов деленное на произведение их длин
Можно еще как расстояние образов на единичной сфере. Но мне кажется вопрос был не про угол как число, а про концепцию угла.
Не через лучи с одним началом и не через внутреннее или скалярное произведение евклидовых векторов.
То есть без дефиниций типа угол это нечто без определения всем известное или сдай и забудь как все или «фигура» или «объект» или бесконечный кусок плоскости между двумя лучами или векторами, начинающимися в одной и той же точке‡
‡ версии дефиниций из интернетов, книг и школ
Пока самое понятное, что я нашёл, вот
„угол между двумя плоскостями или линиями это есть количество вращения†, нужного для совмещения(совпадения) одной плоскости или линии с другой плоскостью или линией“.
Но тут сразу возникает вопрос об определении вращения и его измерении.
† может, стоит добавить „минимальное“, будет „минимальное количество вращения“?